Przeczytaj
W wielu okolicznościach życia codziennego spotykamy się z sytuacjami, które można opisać za pomocą ciągu arytmetycznego. Podamy teraz kilka takich przykładów.
Na początek przypomnienie najważniejszych wzorów dotyczących ciągu arytmetycznego, z których będziemy korzystać.
Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg , jest określony dla i .
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby , zwanej różnicą ciągu.
Ciąg arytmetyczny | ||
---|---|---|
Wyraz ogólny ciągu | Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu | Suma początkowych wyrazów ciągu |
W pierwszym i drugim przykładzie korzystać będziemy bezpośrednio z definicji ciągu arytmetycznego.
W zegarze wahadłowym, przy każdym uderzeniu zegara, „waga” obniża się o . Obliczymy o ile centymetrów obniży się „waga” w ciągu dwunastu godzin, jeżeli zegar wybija tylko godziny.
Po wybiciu godziny „waga” obniży się o ,
po wybiciu godziny „waga” obniży się o ,
po wybiciu godziny „waga” obniży się o ,
Zauważmy, że liczby określające długość odcinka, o który obniża się „waga” są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie i różnicy .
Oznaczmy ten ciąg i obliczmy jego kolejne wyrazy, korzystając ze wzoru rekurencyjnego.
Dodajemy otrzymane liczby.
„Waga” obniży się o , czyli o .
W pewnym zakładzie pracy każdy pracownik dostaje raz w roku podwyżkę – za każdym razem taką samą. Pani Eliza pracowała w tym zakładzie przez lat. Obliczymy, ile łącznie zarobiła pani Eliza przez siedem lat pracy w tym zakładzie, jeżeli w czwartym roku pracy zarobiła .
Pani Eliza co roku dostawała taką samą kwotę podwyżki – oznaczmy ją .
Oznaczmy kwotę, jaką zarobiła pani Eliza w pierwszym roku przez .
W kolejnych latach zarobiła więc pani Eliza następujące kwoty (w ):
Zatem w sumie zarobiła (w ): .
Zauważmy, że .
Czyli:
Odpowiedź:
Pani Eliza zarobiła łącznie .
Teraz zastosowanie wzoru na –ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Z prostopadłościennego zbiornika o wymiarach napełnionego w całości wodą wypływa woda. W ciągu pierwszej minuty wypłynęło wody, a w każdej następnej minucie o więcej niż w poprzedniej. Obliczymy, ile litrów wody zostanie w pojemniku po minutach.
Liczby określające objętość wypływającej wody tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie i różnicy .
Zapiszmy wzór ogólny tego ciągu.
dla
Obliczymy, ile litrów wody wyciekło ze zbiornika po minutach. Korzystamy ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Do uzyskanego wzoru w miejsce zmiennej podstawiamy .
Po minutach wyciekło wody.
W pojemniku było , czyli wody.
Obliczamy, ile wody zostało.
Odpowiedź:
W pojemniku zostało wody.
Rafał miał do rozwiązania zadań z matematyki. Pierwszego dnia rozwiązał zadań i postanowił zwiększyć tempo rozwiązywania zadań – każdego dnia rozwiązywać więcej zadań niż w dniu poprzednim. W ciągu ilu dni Rafał rozwiązał wszystkie zadania?
Liczby rozwiązanych zadań w poszczególnych dniach tworzą –wyrazowy ciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny, w którym
Zapisujemy wzór ogólny tego ciągu.
Korzystamy ze wzoru na sumę –kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Do zapisanego wzoru podstawiamy znalezione wielkości.
Z treści zadania wynika, że suma ta jest równa .
Otrzymujemy równanie:
Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
– nie spełnia warunków zadania
Odpowiedź:
Rafał wszystkie zadania rozwiązał w ciągu dni.
W turnieju szachowym rozegrano partii, przy czym każdy z uczestników turnieju grał z każdym tylko jeden raz. Obliczymy, ilu było uczestników turnieju.
Zauważmy, że jeśli ponumerujemy zawodników, to liczby partii rozegranych przez kolejnych uczestników są kolejnymi wyrazami –wyrazowego ciągu arytmetycznego.
Istotnie:
pierwszy uczestnik nie gra z nikim –
drugi uczestnik gra z pierwszym –
trzeci uczestnik gra z pierwszym i drugim –
czwarty uczestnik gra z pierwszym, drugim i trzecim –
W tak utworzonym ciągu:
,
.
Dana jest suma ciągu:
Należy znaleźć –liczbę uczestników turnieju.
Korzystamy ze wzoru na sumę kolejnych –wyrazów ciągu arytmetycznego.
Rozwiązujemy otrzymane równanie.
– nie spełnia warunków zadania
Odpowiedź:
W turnieju uczestniczyło zawodników.
Słownik
ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby , zwanej różnicą ciągu