Przeczytaj
Opiszemy własności funkcji na podstawie jej wykresu.
Rozwiązanie
Dziedzina funkcji: .
Zbiór wartości funkcji: .
Funkcja nie ma miejsc zerowych.
Wykres funkcji nie przecina osi .
Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: , .
.
.
Funkcja jest różnowartościowa.
Funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani największej.
Wykres funkcji ma asymptotęasymptotę poziomą o równaniu: , która pokrywa się z osią .
Wykres funkcji ma asymptotę pionową o równaniu: , która pokrywa się z osią .
Zauważmy, że:
Wykresem funkcji jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.
Wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, czyli względem punktu .
Wykres funkcji jest symetryczny względem prostej oraz .
Funkcja jest malejąca w zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów , należących do zbioru z nierówności wynika nierówność .
Udowodnimy, że funkcja , , jest malejąca w zbiorze .
Założenie:
, , i
Teza:
Dowód:
Zbadamy znak różnicy wartości funkcji dla argumentów :
Uzasadnienie:
z założenia, ponieważ
ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią
z założenia, ponieważ iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią
, ponieważ iloraz dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią
Otrzymaliśmy nierówność , zatem , co należało udowodnić.
Udowodnimy, że funkcja , , jest malejąca w zbiorze .
Założenie:
, , i
Teza:
Dowód:
Zbadamy znak różnicy wartości funkcji dla argumentów :
Uzasadnienie:
z założenia, ponieważ
ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią
z założenia, ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią
, ponieważ iloraz dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią
Otrzymaliśmy nierówność , zatem , co należało udowodnić.
Pokażemy, że funkcja nie jest malejąca w zbiorze .
Dowód:
Wystarczy podać kontrprzykładkontrprzykład, czyli przykład dwóch takich argumentów , że , ale .
Niech , a , obie liczby należą do zbioru oraz . Obliczamy wartości funkcji dla tych argumentów: , . Zauważmy, że .
Zatem z nierówności nie wynika nierówność , więc o funkcji nie możmy powiedzieć, że jest malejąca.
Okazuje się, że funkcja, która jest malejąca w każdym ze zbiorów , traci tę własność w sumie zbiorów
Nie można powiedzieć, że funkcja jest malejąca w swojej dziedzinie, czyli w zbiorze . Można tylko powiedzieć, że funkcja jest malejąca w każdym ze zbiorów: , .
Ciekawostka
Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, to znaczy:
Dla każdego , jeśli , to , gdzie oznacza dziedzinędziedzinę funkcji .
Udowodnimy, że funkcja , , jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.
Założenie:
,
, , czyli
Teza:
Dowód:
Badamy różnicę wartości funkcji dla argumentów , .
Uzasdnienie:
z założenia
, ponieważ iloczyn dwóch liczb różnych od zera jest liczbą różną od zera
, ponieważ iloraz dwóch liczb różnych od zera jest liczbą różną od zera
Wobec tego, że , oznaczały dowolne liczby rzeczywiste różne od zera, wykazaliśmy, że funkcja jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.
Ciekawostka
Funkcja jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy dla przeciwnych argumentów przyjmuje przeciwne wartości, to znaczy:
Dla każdej liczby należącej do , liczba również należy do oraz .
Dziedzina funkcji nieparzystej musi być zbiorem symetrycznym względem punktu na osi . Tylko wtedy dla każdej liczby liczba .
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu .
Udowodnimy, że funkcja , , jest nieparzysta.
Dziedziną funkcji jest zbiór , czyli zbiór symetryczny względem punktu na osi .
Zbadamy wartość funkcji dla liczby :
Udowodniliśmy, że dla przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje przeciwne wartości, czyli jest nieparzysta.
Słownik
zbiór argumentów, dla których wzór funkcji ma sens
takie podstawienie wartości logicznych za konkretne zmienne w wyrażeniu, dla którego schemat (definicja) jest fałszywy, używa się go najczęściej do obalania fałszywych twierdzeń zawierających określenie „dla każdego”
prosta, do której coraz bardziej „zbliża się” wykres pewnej funkcji. W dostatecznie odległych punktach krzywa prawie pokrywa się ze swoją asymptotą