Jeden procent liczby $M$ to jej setna część: $1\%$ liczby $M$ to $\frac{M}{100}$.

$50\%$ liczby $72$ to $36$, a $25\%$ liczby $16$ to $4$.

Pewien towar kosztuje netto $150 \mathrm{zł}$. Cena brutto jest wyższa od ceny netto o podatek VAT, który stanowi $23\%$ ceny netto. Ustalimy, jaka jest cena brutto tego towaru.

Najpierw obliczymy, ile wynosi $23\%$ liczby $150$.
Mamy: $23\%$ liczby $150$, to $\frac{23}{100}\cdot 150=34,50$. Zatem towar łącznie z podatkiem VAT kosztuje: $150 \mathrm{zł}+34,50$ zł $=184,50 \mathrm{zł}$.

Pani dyrektor przyjęła do pracy dwie sekretarki, Anię i Kasię. Obie pracownice dostały na początek miesięczną pensję w wysokości $1000 \mathrm{zł}$. Po pierwszym miesiącu pracy pensja Kasi została obniżona o $10\%$, a po kolejnym pensję podwyższono o $10\%$. Odwrotnie było w przypadku drugiej sekretarki. Po pierwszym miesiącu pracy pensję Ani podwyższono o $10\%$, a potem zmniejszono ją o $10\%$.

Ustalimy, czy w trzecim miesiącu pracy obie sekretarki zarabiają więcej, mniej, czy tyle samo, co przed zmianami.

Obliczamy:

• zarobki Kasi po zmianach są równe:

R1TVeiVKbm3q0

Ilustracja przedstawia równanie $1,1·0,9·1000=0,99·1000=990$ złotych po miesiącu $0,9·1000$, po dwóch miesiącach $1,1·0,9·1000$

Ilustracja przedstawia równanie $1,1·0,9·1000=0,99·1000=990$ złotych po miesiącu $0,9·1000$, po dwóch miesiącach $1,1·0,9·1000$

1

2

1. po miesiącu

2. po dwóch miesiącach

• natomiast zarobki Ani po zmianach wynoszą:

A zatem i Ania, i Kasia zarabiają o $10 \mathrm{zł}$ mniej po zmianach w pensji.

Janek zarabia $1000 \mathrm{zł}$, zaś Marek otrzymuje pensję o $60\%$ większą. Czy Janek zarabia o $60\%$ mniej od Marka?

Marek zarabia o $60\%$ więcej niż Janek, tzn. jego pensja jest równa:

$1000+60\%$ liczby $1000$ to $160\%$ liczby $1000$, czyli $1600 \mathrm{zł}$.

Gdyby Janek zarabiał o $60\%$ mniej niż Marek, to miałby $40\%$ z $1600 \mathrm{zł}$, czyli:

$40\%$ liczby $1600$ to $\frac{40}{100}·1600$ a $40·16$ daje $640 \mathrm{zł}$, a przecież zarabia $1000 \mathrm{zł}$.

Jeśli pewna wielkość wyrażona w procentach jest początkowo równa $m\%$, a następnie $n\%$, to mówimy, że:

• wzrosła ona o $n-m$ punktów procentowych, gdy $n>m$,

• zmalała ona o $m-n$ punktów procentowych, gdy $n<m$.

Kandydat na burmistrza był w maju popierany przez $5\%$ obywateli, a we wrześniu popierało go już $45\%$ obywateli. Możemy zatem powiedzieć, że jego poparcie wzrosło o $40$ punktów procentowychpunkt procentowypunktów procentowych.

Z drugiej strony widzimy, że jego poparcie zwiększyło się dziewięciokrotnie, czyli wzrosło o $800\%$.

Kandydat na prezydenta miasta był w maju popierany przez $40\%$ wyborców, a we wrześniu popierało go już tylko $10\%$ wyborców.
Możemy więc powiedzieć, że jego poparcie spadło o $30$ punktów procentowychpunkt procentowypunktów procentowych.

Z drugiej strony widzimy, że jego poparcie zmniejszyło się czterokrotnie, czyli zmalało o $75\%$.

W tabeli pokazano, ilu było kandydatów do pewnego liceum i ilu z nich chciało się uczyć w klasie matematycznej.

Dane te można skomentować na wiele sposobów:

• podchodząc do problemu pesymistycznie, możemy powiedzieć, że: „W drugim roku kandydatów do klasy matematycznej było mniej niż w pierwszym”;

• zauważmy jednak, że: $\frac{47}{188}=0,25$ oraz $\frac{42}{150}=0,28$, więc można skomentować te dane optymistycznie, mówiąc, że: „Odsetek chętnych do klasy matematycznej zwiększył się o $3$ punkty procentowepunkt procentowypunkty procentowe, z $25\%$ do $28\%$”.

jeśli pewna wielkość wyrażona w procentach jest początkowo równa $m\%$, a następnie $n\%$, to mówimy, że wzrosła ona o $n-m$ punktów procentowych, gdy $n>m$, zmalała o $m-n$ punktów procentowych, gdy $n<m$