Przeczytaj
Podstawami każdego graniastosłupa są równoległe, przystające wielokąty znajdujące się w różnych płaszczyznach, a jego ściany boczne są prostokątami lub równoległobokami. Wielokątami są również przekroje graniastosłupów. Są to figury geometryczne, w których z łatwością można zastosować funkcje trygonometryczne. Najczęściej będziemy korzystać z funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w trójkątach prostokątnych.
Warto przypomnieć również dwa twierdzenia geometrii wykorzystujące funkcje trygonometryczne.
gdzie:
, , – są bokami trójkąta,
– kąt trójkąta, który znajduje się na przeciwko boku .
gdzie:
, , – są bokami trójkąta,
, , – są kątami, które znajdują się na przeciwko boków , , odpowiednio,
– jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Przypomnijmy ponadto, że funkcje trygonometryczne są wykorzystywane we wzorach na pola wielokątów.
Pole trójkąta
gdzie:
, – są bokami trójkąta,
– kąt między tymi bokami.
Pole równoległoboku
gdzie:
, – są sąsiednimi bokami równoległoboku,
– kąt między nimi.
gdzie:
, – są przekątnymi równoległoboku,
– kąt między nimi.
Funkcje trygonometryczne kątów w podstawie i na ścianie bocznej
W podstawie graniastosłupa prostego jest trójkąt o bokach i i kącie o mierze między nimi. Krawędź boczna ma długość . Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Rozwiązanie
Narysujmy podstawę tego graniastosłupa.
Możemy policzyć pole podstawy
.
Do obliczenia pola powierzchni bocznej brakuje długości krawędzi oznaczonej przez .
Wykorzystamy twierdzenie cosinusów
,
czyli .
Ostatecznie .
Teraz możemy już obliczyć pole powierzchni bocznej
.
A zatem .
Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość i tworzy kąt z krawędzią podstawy. Obliczymy objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązanie
Zróbmy rysunek pomocniczy.
Zaznaczony trójkąt jest prostokątny. Obliczamy długość krawędzi podstawy i wysokości z funkcji trygonometrycznych
oraz .
Odczytujemy z tablic wartości funkcji trygonometrycznych
oraz ,
czyli oraz .
Możemy już obliczyć objętość .
Funkcje trygonometryczne kątów między odcinkami w graniastosłupie
W prostopadłościanie jedna z krawędzi podstawy jest dwukrotnie dłuższa od drugiej. Wysokość prostopadłościanu jest równa dłuższej krawędzi podstawy. Obliczymy miarę kąta pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych.
Rozwiązanie
Narysujmy prostopadłościanprostopadłościan i zaznaczmy na nim dane i szukany kąt.
Przekątna podstawy i przekątna mniejszej ściany bocznej mają tę samą długość.
Możemy ją policzyć z twierdzenia Pitagorasa
. Czyli .
Przekątna większej ściany bocznej jest przekątną kwadratu, tak więc .
Skorzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta zaznaczonego na rysunku
.
Wtedy , czyli .
A stąd .
Dłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt, którego cosinus wynosi . Krawędź podstawy ma długość . Obliczymy długość wysokości tego graniastostosłupa.
Rozwiązanie
Zróbmy rysunek pomocniczy.
Zauważmy najpierw, że trójkąt, którego bokami są dłuższa i krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowegograniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest prostokątny.
Dłuższa przekątna bryły ma długość , a krótsza , co wynika z twierdzenia Pitagorasa.
Zauważmy, że , co z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa oznacza, że jest to trójkąt prostokątny.
Mamy zatem , a stąd , czyli .
Z twierdzenia Pitagorasa
,
czyli i ostatecznie .
Funkcje trygonometryczne kąta między odcinkiem, a płaszczyzną w graniastosłupie
W podstawie graniastosłupa prostego znajduje się romb o przekątnych długości i . Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Obliczymy sumę długości krawędzi tego graniastosłupa. Wynik podamy w przybliżeniu do .
Rozwiązanie
Zróbmy rysunek pomocniczy.
Dłuższa przekątna graniastosłupa, dłuższa przekątna podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny.
Obliczamy długość krawędzi bocznej z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: .
Stąd otrzymujemy i ostatecznie .
Obliczamy długość krawędzi podstawy z twierdzenia Pitagorasa
, a stąd .
A zatem suma wszystkich krawędzi wynosi .
Sinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do ściany bocznej wynosi . Długość tej przekątnej wynosi . Obliczymy objętość graniastosłupa.
Rozwiązanie
Zróbmy rysunek pomocniczy.
W zaznaczonym trójkącie prostokątnym obliczamy długość boku , korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: .
Zatem , a stąd krawędź podstawy .
Obliczymy teraz wysokość graniastosłupawysokość graniastosłupa.
Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa
. Stąd .
Wyznaczamy objętość tego graniastosłupa
.
Funkcje trygonometryczne kątów między płaszczyznami
Oblicz pole przekroju sześcianu przedstawionego na rysynku, wiedząc, że cosinus kąta nachylenia przekroju do podstawy wynosi , a krawędź sześcianu ma długość .
Kąt nachylenia przekroju do podstawy będzie kątem pomiędzy dłuższym bokiem prostokąta, a krawędzią podstawy.
Oznaczmy go na rysunku przez .
Mamy więc , a stąd .
Ostatecznie .
Przekrój jest prostokątem o wymiarach , więc jego pole wynosi
.
Przypomnijmy, że kąty pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi w graniastosłupie prostymgraniastosłupie prostym mają miarę taką, jak kąty w podstawie tego graniastosłupa.
Wróćmy do Przykładu 1:
W podstawie graniastosłupa prostego jest trójkąt o bokach i i kącie o mierze między nimi. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli wiemy, że krawędź boczna ma długość .
Zadanie to mogłoby być sformułowane w sposób następujący:
Kąt pomiędzy dwiema ścianami bocznymi graniastosłupa prostego trójkątnego ma miarę . Krawędzie podstawy, na których zbudowane są te ściany, mają długość i . Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli krawędź boczna ma długość .
Słownik
graniastosłup, którego wszystkie ściany boczne są prostokątami
graniastosłup prosty, w którego podstawie jest wielokąt foremny
graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami
odcinek, którego długość jest równa odległości między płaszczyznami podstaw graniastosłupa i którego końce należą do rozłącznych płaszczyzn podstaw