Przeczytaj
Liczby Fibonacciego tworzone są w ten sposób, że każda następna liczba (począwszy od czwartej liczby ciągu, czyli liczby o numerze ) jest sumą dwóch liczb bezpośrednio ją poprzedzających. Przy czym najmniejsza liczba to , a dwie następne to i .
Zatem liczby o numerach , , to odpowiednio , ,
Liczba o numerze to , czyli .
Liczba o numerze to , czyli .
Liczba o numerze to , czyli .
Itd.
Ciąg Fibonacciego , to ciąg (określony w zbiorze wszystkich liczb naturalnych), którego wyrazami są kolejne liczby Fibonacciego:
Liczby Fibonacciego odegrały znaczącą rolę w rozwoju teorii liczb, a także w rozwoju innych dziedzin wiedzy matematycznej. Doceniając ich znaczenie, dzień listopada ustanowiono Dniem Fibonacciego (, i , to kolejne liczby Fibonacciego).
Znajdziemy wyraz ciągu Fibonacciego.
Skorzystamy z przedstawionej powyżej tabelki, z której odczytamy wyrazy i .
Ciąg Fibonacciego najłatwiej jest zdefiniować rekurencyjnie:
Ciąg ten można też definiować pomijając wyraz równy , wtedy wzór rekurencyjny ciągu jest następujący:
Wyrazy ciągu Fibonacciego mają wiele ciekawych własności. Niektóre z nich przedstawiono w poniższych przykładach.
Wyrazy ciągu Fibonacciego – własności | |||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Zaobserwujmy podzielność wyrazów ciągu Fibonacciego.
Co trzeci wyraz ciągu Fibonacciego jest podzielny przez , począwszy od wyrazu .
Co czwarty wyraz ciągu Fibonacciego jest podzielny przez , począwszy od wyrazu .
Co piąty wyraz ciągu Fibonacciego jest podzielny przez , począwszy od wyrazu .
Określimy jeszcze kilka własności wyrazów ciagu Fibonaccciego. Suma dowolnych dziesięciu kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego (pierwszą dziesiątkę liczb rozpoczynamy od wyrazu ) jest podzielna przez .
Wyraz ciągu Fibonacciego równy kwadratowi swojego indeksu to .
Największy znany wyraz ciągu Fibonacciego składający się z cyfr nieparzystych to .
Niektóre liczby Fibonacciego to liczby pierwsze np. , , , , , ,
Prawdopodobnie tych liczb w ciągu jest nieskończenie wiele.
Każdą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę liczb Fibonacciego.
Np.
.
Ciąg Fibonacciego można opisać wzorem ogólnym .
Obliczymy na podstawie tego wzoru .
Pokażemy teraz zastosowanie liczb Fibonacciego w obliczeniach kombinatorycznych.
Mamy do dyspozycji płyty o wymiarach . Chcemy nimi wyłożyć plac o wymiarach , gdzie . Niech będzie liczbą różnych pokryć tego placu płytami.
Na rysunku pokazane są sposoby ułożenia płyt na placu o wymiarach odpowiednio , , .
Przyjmujemy też, że .
Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej prawdziwa jest równość
Dowód:
Jeśli należy pokryć plac płytami o wymiarach , to płytę możemy położyć pionowo lub poziomo.
Jeżeli płyta na pierwszym polu leży poziomo to należy pokryć pozostałą część placu o wymiarach . Jest możliwości tego dokonania.
Jeżeli płyta leży pionowo, to należy pokryć pozostałą część placu o wymiarach . Jest możliwości tego dokonania.
Dodając te liczby, otrzymujemy
Zauważmy, że dla każdej liczby naturalnej
Rzeczywiście,
oraz ta sama zasada rekurencjizasada rekurencji obowiązuje dla ciągu i zatem .
Przyjrzyjmy się zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego.
Wniosek:
Jeśli dane są trzy kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego to kwadrat wyrazu środkowego, odpowiednio zwiększony bądź zmniejszony o jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich.
Ciąg Fibonacciego można określić też dla indeksów ujemnych.
Czyli
Ciąg Fibonacciego dla indeksów ujemnych i dodatnich | |||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Obliczymy wyraz ciągu Fibonacciego.
Skorzystamy ze wzoru
.