Przeczytaj

Wartość dokładna logarytmu dziesiętnego

Logarytm dziesiętny to logarytm o podstawie $10$ .

Matematycy umówili się, że zapisując logarytm dziesiętny, zwykle pomija się podstawę.
Zamiast $\log_{10} x$ możemy napisać $\log x$ . Logarytmy dziesiętne obliczamy podobnie, jak logarytmy o innych podstawach. Pamiętamy przy tym, że liczba logarytmowana musi być dodatnia.

Przykład 1

Przykłady obliczania logarytmów dziesiętnychlogarytm dziesiętnylogarytmów dziesiętnych przy wykorzystaniu definicji logarytmu.

$\log 1 = 0,$ bo $10^{0} = 1$
$\log 10 = 1,$ bo $10^{1} = 10$
$\log 100 = 2,$ bo $10^{2} = 100$
$\log 1000 = 3,$ bo $10^{3} = 1000$

Przykład 2

Przykłady obliczania logarytmów dziesiętnych przy wykorzystaniu definicji logarytmu.

$\log 0, 1 = - 1,$ bo $10^{- 1} = 0, 1$
$\log 0, 01 = - 2,$ bo $10^{- 2} = 0, 01$
$\log \frac{1}{1000} = - 3,$ bo $10^{- 3} = \frac{1}{1000}$
$\log \frac{1}{10000} = - 4,$ bo $10^{- 4} = \frac{1}{10000}$

Przykład 3

$\log 10^{3} = 3$
$\log 10^{7} = 7$
$\log 10^{- 3} = - 3$
$\log 10^{- 1} = - 1$
$\log 10^{- 6} = - 6$

Zauważmy, że logarytm dziesiętny potęgi liczby $10$ jest równy wykładnikowi tej potęgi.

Logarytm dziesiętny liczby przedstawionej w postaci iloczynu, którego pierwszym czynnikiem jest liczba całkowita, a drugim potęga liczby dziesięć, można zapisywać za pomocą sumy logarytmu dziesiętnego pierwszego czynnika i liczby, będącej wykładnikiem drugiego czynnika.

Przykład 4

$300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 10^{2}$ , zatem $\log 300 = \log 3 + \log 100 = \log 3 + 2$

$0, 008 = 8 \cdot 0, 001 = 8 \cdot 10^{- 3}$ , zatem $\log 0, 008 = \log 8 \cdot 10^{- 3} = \log 8 - 3$

Wartość przybliżona logarytmu dziesiętnego

Nie zawsze obliczając logarytm dziesiętnylogarytm dziesiętnylogarytm dziesiętny można skorzystać z definicji logarytmu. Wtedy korzystamy z wartości przybliżonych logarytmów dziesiętnych.

RfADZXYikaAuX

Ilustracja przedstawia wykres logarytmiczny. Pozioma oś określa wartości dla x od zera do stu z podziałką co dziesięć, natomiast oś pionowa określa wartość logarytmu z x i przyjmuje wartości od minus jeden (przy czym oś określająca wartości dla x jest poprowadzona na poziomie minus jeden, nie jak w standardowym układzie współrzędnych, gdzie oś Xleży na pozimie zero). Nnajwyższa wartość dla osi pionowej to dwa, przy czym podziałka jest tu co jedną drugą. Rysunek przedstawia wykres funkcji logarytmicznej y=logx.

Podstawa logarytmów dziesiętnych jest większa od $1$ , zatem funkcja $y = \log x$ jest rosnąca (rysunek przedstawia wykres tej funkcji).

Wykorzystując tę własność, można łatwo znaleźć dwie kolejne potęgi liczby $10$ , między którymi zawarty jest dany logarytm.

Przykład 5

Oszacujemy wartość liczby $\log 6, 8$ .

Zauważmy, że $1 < 6, 8 < 10$ , zatem $10^{0} < 6, 8 < 10$ .

Zatem $\log 10^{0} < \log 6, 8 < \log 10^{1}$ , stąd $0 < \log 6, 8 < 1$ .

Przykład 6

Oszacujemy wartość $\log 0, 3456$ .

Zauważmy, że $0, 1 < 0, 3456 < 1$ , zatem $10^{- 1} < \log 0, 3456 < 10^{0}$ .

Zatem $\log 10^{- 1} < \log 0, 3456 < \log 10^{0}$ , stąd $- 1 < \log 0, 3456 < 0$ .

Przybliżone wartości logarytmów, dokładniejsze niż znalezione w powyższych przykładach, można odczytać z tablic logarytmicznych. Z takich tablic można odczytać też liczby logarytmowane. Jednak jest to dość skomplikowane. Zatem warto, korzystając np. z kalkulatora lub komputera odczytać i zapamiętać wartości przybliżone co najmniej dwóch logarytmów (np. $\log 2$ , $\log 3$ ) i za ich pomocą, wyznaczać przybliżone wartości innych logarytmów.

Przykład 7

Wiedząc, że $\log 2 \approx 0, 3010$ obliczymy $\log 8$ , $\log \sqrt{2}$ , $\log 5$ .

$\log 8 = \log (2^{3}) = 3 \log 2 \approx 3 \cdot 0, 3010 = 0, 9030$

$\log \sqrt{2} = \log 2^{\frac{1}{2}} \approx \frac{1}{2} \cdot 0, 3010 = 0, 1505$

$\log 5 = \log (10 : 2) = \log 10 - \log 2 \approx 1 - 0, 3010 = 0, 699$

Przykład 8

Wiedząc, że $\log 3 \approx 0, 4771$ obliczymy przybliżoną wartość wyrażenia $W = \frac{\log 9}{\log 30 - \log 6}$ .

$W = \frac{\log 9}{\log 30 - \log 6} = \frac{2 \log 3}{\log 10 + \log 3 - \log 3 - \log 2}$

$W \approx \frac{2 \cdot 0, 4771}{1 - 0, 3010} = \frac{0, 9542}{0, 699}$

$W \approx 1, 365$

Słownik

logarytm dziesiętny

logarytm o podstawie $10$

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Wartość dokładna logarytmu dziesiętnego

Wartość przybliżona logarytmu dziesiętnego

Słownik