Wartość dokładna logarytmu dziesiętnego

Logarytm dziesiętny to logarytm o podstawie 10.

Matematycy umówili się, że zapisując logarytm dziesiętny, zwykle pomija się podstawę.
Zamiast log10x możemy napisać logx. Logarytmy dziesiętne obliczamy podobnie, jak logarytmy o innych podstawach. Pamiętamy przy tym, że liczba logarytmowana musi być dodatnia.

Przykład 1

Przykłady obliczania logarytmów dziesiętnychlogarytm dziesiętnylogarytmów dziesiętnych przy wykorzystaniu definicji logarytmu.

log 1 = 0, bo 100=1

log 10 = 1, bo 101=10

log 100 = 2, bo 102=100

log 1000 = 3, bo 103=1000

Przykład 2

Przykłady obliczania logarytmów dziesiętnych przy wykorzystaniu definicji logarytmu.

log 0,1 = 1, bo 10-1=0,1

log 0,01 = 2,  bo 10-2=0,01

log 11000 = 3,   bo 10-3=11000

log 110000 = 4,  bo 10-4=110000

Przykład 3

log103=3
log107=7
log10-3=-3
log10-1=-1
log10-6=-6

Zauważmy, że logarytm dziesiętny potęgi liczby 10 jest równy wykładnikowi tej potęgi.

Logarytm dziesiętny liczby przedstawionej w postaci iloczynu, którego pierwszym czynnikiem jest liczba całkowita, a drugim potęga liczby dziesięć, można zapisywać za pomocą sumy logarytmu dziesiętnego pierwszego czynnika i liczby, będącej wykładnikiem drugiego czynnika.

Przykład 4

300=3·100=3·102, zatem log300=log3+log100=log3+2

0,008=8·0,001=8·10-3, zatem log0,008=log8·10-3=log8-3

Wartość przybliżona logarytmu dziesiętnego

Nie zawsze obliczając logarytm dziesiętnylogarytm dziesiętnylogarytm dziesiętny można skorzystać z definicji logarytmu. Wtedy korzystamy z wartości przybliżonych logarytmów dziesiętnych.

RfADZXYikaAuX

Podstawa logarytmów dziesiętnych jest większa od 1, zatem funkcja y=logx jest rosnąca (rysunek przedstawia wykres tej funkcji).

Wykorzystując tę własność, można łatwo znaleźć dwie kolejne potęgi liczby 10, między którymi zawarty jest dany logarytm.

Przykład 5

Oszacujemy wartość liczby log6,8.

Zauważmy, że 1<6,8<10, zatem 100<6,8<10.

Zatem log100<log6,8<log101, stąd 0<log6,8<1.

Przykład 6

Oszacujemy wartość log0,3456.

Zauważmy, że 0,1<0,3456<1, zatem 10-1<log0,3456<100.

Zatem log10-1<log0,3456<log100, stąd -1<log0,3456<0.

Przybliżone wartości logarytmów, dokładniejsze niż znalezione w powyższych przykładach, można odczytać z tablic logarytmicznych. Z takich tablic można odczytać też liczby logarytmowane. Jednak jest to dość skomplikowane. Zatem warto, korzystając np. z kalkulatora lub komputera odczytać i zapamiętać wartości przybliżone co najmniej dwóch logarytmów  (np. log2log3) i za ich pomocą, wyznaczać przybliżone wartości innych logarytmów.

Przykład 7

Wiedząc, że log20,3010 obliczymy log8, log2, log5.

log8=log23=3log23·0,3010=0,9030

log2=log212120,3010=0,1505

log5=log10:2=log10log210,3010=0,699

Przykład 8

Wiedząc, że log30,4771 obliczymy przybliżoną wartość wyrażenia W=log9log30-log6.

W=log9log30-log6=2log3log10+log3-log3-log2

W20,477110,3010=0,95420,699

W1,365

Słownik

logarytm dziesiętny
logarytm dziesiętny

logarytm o podstawie