Przeczytaj

Logarytmem liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a \in ℝ_{+} ∖ \{1\}$ Logarytmem liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a \in ℝ_{+} ∖ \{1\}$ nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę $a$ , żeby otrzymać liczbę $b$ .

Przy powyższych założeniach mamy zatem: $\log_{a} b = c \Leftrightarrow a^{c} = b$ .

Funkcję $f (x) = \log_{a} x$ , gdzie $a \in ℝ_{+} ∖ \{1\}$ i $x \in ℝ_{+}$ , nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie $a$ .

Wykres funkcji $f (x) = \log_{a} x$ nazywamy krzywą logarytmiczną.

Sporządźmy wykresy funkcji $y = \log_{2} x$ i $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$y = \log_{2} x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = \log_{\frac{1}{2}} x$	$3$	$2$	$1$	$0$	$- 1$	$- 2$

Z zestawienia w tabeli wynika, że wartości funkcji dla tych samych argumentów są liczbami przeciwnymi.

R1HDjLgNiBXPw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 9 i pionową osią y od minus 5 do pięć. W układzie zaznaczono dwa wykresy. Pierwszy z nich ma równanie fx=log2x, wykres ten pojawia się w czwartej ćwiartce i biegnie wzdłuż osi y następnie biegnie po łuku przez punkty nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu i nawias osiem średnik trzy zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. Drugi wykres ma równanie fx=log12x, pojawia się w pierwsze ćwiartce i biegnie wzdłuż osi y, a następnie biegnie po łuku przez punkty nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i nawias osiem średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce.

Widzimy, że krzywe logarytmiczne o równaniach $y = \log_{2} x$ i $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ są symetryczne względem osi $X$ . Możemy zapisać następujący związek:

$\log_{a} x = - \log_{\frac{1}{a}} x$ .

Przeanalizujmy teraz wykres funkcji $f (x) = \log_{a} x$ , dla $0 < a < 1$ i $x \in ℝ_{+}$ .

RskzMB80D1x64

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono wykres, który pojawia się w pierwszej ćwiartce i biegnie wzdłuż osi y, następnie biegnie po łuku przez punkt nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i dalej biegnąc po łuku wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. Obok znajduje się zapis: fx=logax dla 0<a<1 i x∈ℝ+.

Korzystając z wykresu funkcji krzywej logarytmicznej będącej wykresem funkcji $f (x) = \log_{a} x$ dla $a \in (0, 1)$ i $x \in ℝ_{+}$ odczytujemy:

Dziedziną funkcjidziedzina funkcjiDziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich $ℝ_{+}$ .
Zbiorem wartości funkcjizbiór wartości funkcjiZbiorem wartości funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych $Z W_{f} = ℝ$ .
Funkcja jest malejąca w zbiorze $ℝ_{+}$ .
Funkcja ma jedno miejsce zerowe $x = 1$ .
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie $(f (x) > 0)$ dla $x \in (0, 1)$ .
Funkcja przyjmuje wartości ujemne $(f (x) < 0)$ dla $x \in (1, + \infty)$ .

Dla każdego $a \in (0, 1)$ funkcja logarytmiczna jest malejąca w zbiorze $ℝ_{+}$ .

Wynika z tego, że gdy $a \in (0, 1)$ to $\log_{a} x_{1} < \log_{a} x_{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x_{1} > x_{2}$ .

Przykład 1

Porównamy następujące pary liczb:

a) $\log_{0, 4} 9, 467$ i $\log_{0, 4} 19, 282$ ,

b) $\log_{0, 5} 8$ i $\log_{0, 5} 4$ .

Rozwiązanie:

a) $\log_{0, 4} 9, 467 > \log_{0, 4} 19, 282$ , ponieważ $y = \log_{0, 4} x$ jest funkcją malejącą i $9, 467 < 19, 282$ ,

b) $\log_{0, 5} 8 < \log_{0, 5} 4$ , ponieważ $y = \log_{0, 5} x$ jest funkcją malejącą i $8 > 4$ .

Przykład 2

Znajdziemy liczby ujemne w zbiorze: $\{\log_{0, 2} 2; \log_{0, 10} 0, 2; \log_{0, 4} 12; \log_{0, 3} 0, 6\}$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ $a \in (0, 1)$ , funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x > 1$ .

Liczbami ujemnymi są zatem: $\log_{0, 2} 2$ i $\log_{0, 4} 12$ .

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność: $\log_{0, 3} x < \log_{0, 3} 5$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ funkcja $\log_{0, 3} x$ jest funkcją malejącą, to nierówność $\log_{0, 3} x < \log_{0, 3} 5$ jest równoważna nierówności $x > 5$ .

Zatem zbiorem rozwiązań nierówności $\log_{0, 3} x < \log_{0, 3} 5$ ,

jest przedział $(5, \infty)$ .

Przykład 4

Rozwiążemy graficznie nierówność: $\log_{\frac{1}{3}} x > - 1$ .

Rozwiązanie:

W układzie współrzędnych rysujemy wykres funkcji $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ oraz prostą o równaniu $y = - 1$ .

Wszystkie punkty krzywej logarytmicznej o równaniu $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ , które leżą nad prostą $y = - 1$ mają tę własność, że ich pierwsza współrzędna spełnia nierówność: $\log_{\frac{1}{3}} x > - 1$ .

RdmkNrnRMTyJh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 9 i pionową osią y od minus 2 do pięć. W układzie zaznaczono wykres, który ma równanie fx=log13x, pojawia się on w pierwsze ćwiartce i biegnie wzdłuż osi y, a następnie biegnie po łuku przez punkty nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, nawias dziewięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. W układzie zaznaczono poziomy odcinek, który rozpoczyna się i kończy niezamalowanymi kropkami, których współrzędne to nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu i nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu. W układzie linią przerywaną zaznaczono poziomą prostą o równaniu y=-1.

Odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności $\log_{\frac{1}{3}} x > - 1$ .

Rozwiązaniem nierówności $\log_{\frac{1}{3}} x > - 1$ jest przedział $(0, 3)$ .

Rozwiążmy teraz tę nierówność rachunkowo:

$\log_{\frac{1}{3}} x > - 1$ gdzie $x \in (0, + \infty)$ .

Zapisujemy $(- 1)$ jako $\log_{\frac{1}{3}} 3$ , gdyż ${(\frac{1}{3})}^{- 1} = 3$ .

Otrzymujemy w ten sposób nierówność: $\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} 3$ .

Ponieważ funkcja logarytmiczna jest malejąca w zbiorze $ℝ_{+}$ , gdyż $a \in (0, 1)$ , stąd też przechodzimy do równoważnej nierówności:

$x < 3$ ,

której rozwiązaniem jest przedział $(- \infty, 3)$ .

Ponieważ dziedziną funkcji $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ jest $x \in (0, + \infty)$ , to rozwiązaniem nierówności jest:

$x \in (0, 3)$ .

Nierówność $\log_{\frac{1}{3}} x > - 1$ zachodzi dla $x \in (0, 3)$ .

Przykład 5

Jakie wartości funkcja $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ przyjmuje dla $x \in ⟨\frac{1}{2}, 4⟩$ ?

Rozwiązanie:

R1CpVsGnXFGyY

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 9 i pionową osią y od minus 3 do pięć. W układzie zaznaczono wykres, który ma równanie fx=log12x, pojawia się on w pierwsze ćwiartce i biegnie wzdłuż osi y, a następnie biegnie po łuku przez punkty nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, nawias osiem średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. W układzie zaznaczono pionowy odcinek, który rozpoczyna się i kończy zamalowanymi kropkami, których współrzędne to nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu. W układzie linią przerywaną zaznaczono również poziomy odcinek o początku w zamalowanym punkcie nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i końcu w punkcie nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono obszar znajdujący się pomiędzy dwoma pionowymi prostymi o równaniach x=12 oraz x=4.

Odczytujemy: $f (\frac{1}{2}) = 1$ i $f (4) = - 2$ . Dla $x \in ⟨\frac{1}{2}, 4⟩$ funkcja przyjmuje wartości $f (x) \in ⟨- 2, 1⟩$ .

Potwierdzimy ten wynik drogą rachunkową:

$f (\frac{1}{2}) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$ i $f (4) = \log_{\frac{1}{2}} 4 = - 2$ .

Ponieważ funkcja przyjmuje wszystkie wartości w zbiorze $ℝ$ i jest monotoniczna w swojej dziedzinie, to $Z W_{f} = ⟨- 2, 1⟩$ .

Przykład 6

Dla jakich wartości $x$ , wartości funkcji $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ należą do przedziału $⟨- 2, 2⟩$ ?

Rozwiązanie:

R1ZZhY5bF4KJ1

Odczytujemy z wykresu, że dla $x \in ⟨\frac{1}{4}, 4⟩$ funkcja przyjmuje wartości z przedziału $⟨- 2, 2⟩$ .

Potwierdzimy ten wynik drogą rachunkową.

Jeżeli wartości funkcji $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ należą do przedziału $⟨- 2, 2⟩$ , to oznacza to, że wartości funkcji spełniają nierówność:

$- 2 \leq \log_{\frac{1}{2}} x \leq 2$ i $x \in ℝ_{+}$ .

Zapisujemy $- 2 = \log_{\frac{1}{2}} 4$ i $2 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}$ .

Stąd nierówność przyjmuje postać:

$\log_{\frac{1}{2}} 4 \leq \log_{\frac{1}{2}} x \leq \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}$ ,

która jest równoważna układowi nierówności:

$\log_{\frac{1}{2}} x \leq \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}$ i $\log_{\frac{1}{2}} x \geq \log_{\frac{1}{2}} 4$ .

Dla $0 < a < 1$ funkcja jest malejąca w zbiorze $ℝ_{+}$ .

Otrzymujemy zatem:

$x \geq \frac{1}{4}$ i $x \leq 4$ , a stąd $x \in ⟨\frac{1}{4}, 4⟩$ .

Wartości funkcji $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ należą do przedziału $⟨- 2, 2⟩$ dla $x \in ⟨\frac{1}{4}, 4⟩$ .

Słownik

logarytm liczby dodatniej b przy podstawie a

wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę $a$ , żeby otrzymać liczbę $b$ ; $\log_{a} b = c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{c} = b$

dziedzina funkcji

zbiór wszystkich wartości zmiennej niezależnej $x$ , dla których funkcja $f (x)$ jest określona

zbiór wartości funkcji

zbiór wszystkich wartości tej funkcji

Wprowadzenie

Animacja

Słownik