Warto przeczytać

Oscylator harmoniczny to jeden z najważniejszych układów w fizyce, ponieważ drgania występują powszechnie i często mogą być przybliżane tym modelem. W zasadzie każdy układ, nie tylko mechaniczny, ale i elektryczny czy biologiczny, może wykonywać drgania wokół swojego punktu równowagi. Przykładem są drgania elektryczne obwodu LC, czyli obwodu złożonego z cewki i kondensatora, który jest źródłem fal radiowych. Zachęcamy do zapoznania się z e‑materiałem W jaki sposób wytwarzane są fale elektromagnetyczne radiowe?.

Równanie ruchu opisujące układ wykonujący drgania harmoniczne ma postać:

tj. opisuje siłę skierowaną przeciwnie do wychylenia z położenia równowagi. Jego rozwiązaniem okazuje się być wychylenie zależące od czasu wg wzoru

Należy pamiętać, że równania te opisują układ wyidealizowany - model, czyli uproszczoną wersję układu rzeczywistego. Tak opisany model będzie w nieskończoność wykonywać drgania o stałej amplitudzie, a więc i energii. Zastanówmy się zatem, jakich zjawisk nie uwzględnia prosty oscylator harmoniczny opisany powyższymi równaniami.

Jeśli posadzimy dziecko na huśtawce i odchylimy ją od pionu, dziecko zacznie się huśtać - nasz układ zacznie wykonywać drgania wokół punktu równowagi. Szybko jednak zauważymy, że amplituda, czyli maksymalne wychylenie huśtawki, z czasem maleje. Jeśli poczekamy dostatecznie długo, huśtawka całkowicie się zatrzyma. Oznacza to, że oprócz siły elastycznej, proporcjonalnej do wychylenia, działają w układzie również inne siły, w tym siły oporu. Pierwszą z nich jest siła tarcia, która występuje w ruchomej części mechanizmu huśtawki, np. w łożyskach. Kolejną siłą jest opór powietrza (tzw. opór aerodynamicznyopór aero- i hydrodynamicznyopór aerodynamiczny). Prawdopodobnie to nie wszystko, ponieważ część drgań może być przenoszona przez konstrukcję huśtawki do gruntu i tam ulegać rozproszeniu.

W zależności od układu możemy mówić o różnych siłach oporu. Amplituda drgań ciała zawieszonego na sprężynie zacznie gwałtownie maleć, jeśli całość zanurzymy w oleju (Rys. 1.). Amplituda drgań spławika będzie maleć o wiele szybciej, jeśli zanurzymy go w cieczy o wysokim współczynniku lepkości.

R1egkIc6SxNPf

Rys. 1. Rysunek przedstawia wysokie naczynie wypełnione do połowy olejem. Do pokrywki naczynia przyczepiono sprężynę z przymocowaną kulą zanurzoną całkowicie w oleju. Po prawej przedstawiono na rysunku układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas opisany małą literą t, a na osi pionowej wychylenie kuli z położenia równowagi opisane małą literą x. Wykres ma kształt sinusoidy o malejącej amplitudzie. Wykres zaczyna się w punkcie na osi pionowej oznaczonym wielką literą A z indeksem dolnym zero. Punkt ten leży powyżej początku układu i ma współrzędną 2,5 jednostki. Od wskazanego punktu wykres opada stromo w prawo i w dół, aż osiągnie minimum o wartości wychylenia minus dwie jednostki. Następnie wykres wznosi się w górę i w prawo do maksimum o wartości wychylenia 1,3 jednostki. Kolejne minimum znajduje się w punkcie o wartości wychylenia minus 0,9 jednostek. Wykres przecina poziomą oś w równych odległościach. Zaznaczono odcinek między kolejnymi punktami przecięcia, w których wykres nachylony jest w górę i w prawo. Długość tego odcinka opisano wielką literą T.

Cechą, która łączy wszystkie siły oporu, jest ich kierunek i zwrot. Mianowicie: takie siły mają kierunek zgodny z prędkością ciała i przeciwny zwrot (Rys. 2.). Kolejną wspólną cechą jest zależność tego typu sił od prędkości.

RZ9Drxep5ybXg

Rys. 2. Na rysunku pokazano klocek leżący na poziomej powierzchni. Nad klockiem narysowano poziomy zwrócony w prawo wektor prędkości, oznaczony małą literą v. Do klocka przyłożone są dwa wektory sił skierowane poziomo w lewo. Wektor opisany wielką literą T przyczepiony jest do punktu podstawy klocka, wektor opisany wielką literą F z indeksem dolnym zero przyczepiony jest do środka klocka.

Zauważ, że spędzając wakacje nad morzem lub jeziorem, łatwiej jest powoli wejść do wody niż do niej wbiec. Woda stawia nam opór (hydrodynamicznyopór aero- i hydrodynamicznyhydrodynamiczny), utrudnia nam rozpędzenie się, a im szybciej się poruszamy, tym bardziej czujemy go wpływ. Oznacza to, że zapisując równanie ruchu oscylatora z tłumieniem, np. zanurzonego w cieczy, musimy uwzględnić siłę oporu i jej zależność od prędkości.

Określenie postaci zależności siły tłumienia od prędkości jest zadaniem nietrywialnym, a na ogół najlepszą metodą jej określenia jest metoda empiryczna, czyli oparta o doświadczenie. Rozważmy najprostszą postać takiej zależności – zależność liniową. Wprowadźmy do równania dynamiki oscylatora siłę postaci $\vec{F}_o = -\gamma\vec{v}$ dla $\gamma > 0$. Wartość tej siły jest wprost proporcjonalna do wartości prędkości, a znak minus gwarantuje, że zwroty prędkości i siły oporu są przeciwne. Parametr $\gamma$ mówi, jak silne jest tłumienie w układzie, np. jak gęsty (a właściwie: lepki) jest olej, w którym zanurzona jest sprężyna z ciężarkiem. Równanie opisujące dynamikę takiego układu przyjmie więc postać

Jednym z parametrów opisujących tłumienie jest tzw. dekrement tłumieniadekrement tłumieniadekrement tłumienia. W obecności siły tłumienia każde kolejne maksimum wychylenia, czyli amplituda, ma mniejszą wartość niż poprzednie. Dekrement tłumienia $\delta$ to stosunek dwóch kolejnych maksimów wychylenia:

W ogólności zależy on od $n$, ale w dwóch szczególnych przypadkach - nie. Jeden z tych przypadków, $\delta \equiv 1$, to brak tłumienia. Drugi - właśnie opisywane tłumienie, którego siła jest proporcjonalna do prędkości ciała.

Porównaj poniższe rysunki. Oba przedstawiają położenie w funkcji czasu  – rozwiązanie ostatniego równania ruchu oscylatora harmonicznego z tłumieniem. Na Rys. 3. z dekrementem tłumienia $\delta = 1,1$, na Rys. 4. - z $\delta=2,5$. Przerywaną czerwoną linią zaznaczona jest obwiedniaobwiedniaobwiednia, dająca pewną orientacyjną informację o zależności amplitudy drgań od czasu (patrz wyjaśnienie i rysunek w haśle słowniczka).

R8CMWXPL9Qmlm

Rys. 3. Na rysunku pokazano układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas w sekundach, a na osi pionowej wychylenie w centymetrach. Wykres ma kształt sinusoidy o malejącej amplitudzie. Wykres zaczyna się w punkcie o współrzędnych: czas zero, wychylenie 26 centymetrów i opada stromo w prawo i w dół, aż osiągnie minimum o współrzędnych: czas jedna sekunda, wychylenie minus 25 centymetrów. Następnie wykres wznosi się w górę i w prawo do maksimum o współrzędnych: czas dwie sekundy, wychylenie 23 centymetry. Kolejne minimum znajduje się w punkcie o współrzędnych: czas 3 sekundy, wychylenie minus 21 centymetrów. W sumie na wykresie widać 6 maksimów i 5 minimów. Poprowadzono dwie czerwone linie przerywane, zwane obwiedniami. Jedna z nich znajduje się nad wykresem i łączy wszystkie maksima. Linia ta skierowana jest w prawo i dół. Druga linia znajduje się pod wykresem i łączy wszystkie minima. Linia ta skierowana jest w prawo i górę.

RvgVsEZyFJlkO

Rys. 4. Na rysunku pokazano układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas w sekundach, a na osi pionowej wychylenie w centymetrach. Wykres ma kształt sinusoidy o szybko malejącej amplitudzie. Wykres zaczyna się w punkcie o współrzędnych: czas zero, wychylenie 26 centymetrów i opada stromo w prawo i w dół, aż osiągnie minimum o współrzędnych: czas jedna sekunda, wychylenie minus 15 centymetrów. Następnie wykres wznosi się w górę i w prawo do maksimum o współrzędnych: czas dwie sekundy, wychylenie 10 centymetrów. Kolejne minimum znajduje się w punkcie o współrzędnych: czas 3 sekundy, wychylenie minus 6 centymetrów. Trzecie maksimum ma współrzędne: czas 4 sekundy, wychylenie 4 centymetry, czwarte maksimum: czas 6 sekund, wychylenie 1,6 centymetra, piąte maksimum: czas 8 sekund, wychylenie 0,6 centymetra. Dalej wykres jest linią poziomą o współrzędnej wychylenia równej zero. Poprowadzono dwie czerwone linie przerywane, zwane obwiedniami. Jedna z nich znajduje się nad wykresem i łączy wszystkie maksima. Linia ta ma kształt łuku opadającego w prawo i w dół. Druga linia znajduje się pod wykresem i łączy wszystkie minima. Linia ta ma kształt łuku wznoszącego się w prawo i w górę.

Tłumienie ma wpływ nie tylko na amplitudę drgań, lecz również na ich częstość, rozumianą jako odstęp czasu między kolejnymi położeniami równowagi - ściśle rzecz biorąc, nie jest to przecież ruch okresowy. Według tej uproszczonej definicji, układ tłumiony drga z nową częstością

gdzie $\alpha = \gamma/2m$. Widać więc, że istnieje ograniczenie na $\gamma$ - powyżej pewnej wartości możemy mieć problem z obliczeniem powyższego pierwiastka. Tak jest w istocie - charakter rozwiązań zmienia się i dla bardzo silnego tłumienia de facto ruch nie opisuje drgań, przejście przez punkt równowagi może być co najwyżej jedno. Jednak wpływ tłumienia na częstość nie jest tak spektakularny jak w przypadku amplitudy, co można zaobserwować porównując dwa powyższe wykresy.

Równanie opisujące drgania tłumione będzie więc miało ogólną postać:

gdzie $A\left(t\right)$ to funkcja opisująca zmniejszanie się amplitudy drgań w wyniku tłumienia. Wykres tej właśnie funkcji przedstawiony jest na powyższych rysunkach jako górna gałąź obwiedni wykresu $x(t)$.

Pozostaje więc jeszcze odpowiedzieć na ostatnie pytanie: co z energią? Zasada zachowania energii mówi, że całkowita energia nie może się zmienić, co najwyżej może zmieniać formę. Jeśli amplituda drgań tłumionych gaśnie, oznacza to, że z czasem maleje energia oscylatora. Energia ta jednak nie ginie. Tłumienie oscylatora wynika z jego oddziaływania z otoczeniem, zatem część energii oscylatora przekazywana jest do jego otoczenia w innej postaci. Np. sprężyna poruszająca się w oleju sprawia, że temperatura oleju rośnie. Podobnie: łożyska w huśtawce ogrzewają się w wyniku siły tarcia.

Słowniczek

Obwiednia

Obwiednia

(ang.: envelope) krzywa, która w każdym swoim punkcie jest styczna do pewnego elementu rodziny krzywych.

R1Qp1PEi0vFwX

Rys. 5. Na rysunku pokazano układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas opisany małą literą t, a na osi pionowej wychylenie opisane małą literą x. Wykres ma kształt sinusoidy o malejącej amplitudzie. Widoczne są trzy punkty, w których sinusoida osiąga maksimum. Punkty te połączono linią o kształcie łuku opadającego w prawo i w dół. Obok narysowano powiększenie okolicy punktu styczności z pierwszym maksimum. Na powiększeniu pokazano, że punkt styczności linii i sinusoidy leży w pobliżu maksimum, nieco niżej i na prawo od niego.