Przeczytaj
Warto przeczytać
Oscylator harmoniczny to jeden z najważniejszych układów w fizyce, ponieważ drgania występują powszechnie i często mogą być przybliżane tym modelem. W zasadzie każdy układ, nie tylko mechaniczny, ale i elektryczny czy biologiczny, może wykonywać drgania wokół swojego punktu równowagi. Przykładem są drgania elektryczne obwodu LC, czyli obwodu złożonego z cewki i kondensatora, który jest źródłem fal radiowych. Zachęcamy do zapoznania się z e‑materiałem W jaki sposób wytwarzane są fale elektromagnetyczne radiowe?.
Równanie ruchu opisujące układ wykonujący drgania harmoniczne ma postać:
tj. opisuje siłę skierowaną przeciwnie do wychylenia z położenia równowagi. Jego rozwiązaniem okazuje się być wychylenie zależące od czasu wg wzoru
Należy pamiętać, że równania te opisują układ wyidealizowany - model, czyli uproszczoną wersję układu rzeczywistego. Tak opisany model będzie w nieskończoność wykonywać drgania o stałej amplitudzie, a więc i energii. Zastanówmy się zatem, jakich zjawisk nie uwzględnia prosty oscylator harmoniczny opisany powyższymi równaniami.
Jeśli posadzimy dziecko na huśtawce i odchylimy ją od pionu, dziecko zacznie się huśtać - nasz układ zacznie wykonywać drgania wokół punktu równowagi. Szybko jednak zauważymy, że amplituda, czyli maksymalne wychylenie huśtawki, z czasem maleje. Jeśli poczekamy dostatecznie długo, huśtawka całkowicie się zatrzyma. Oznacza to, że oprócz siły elastycznej, proporcjonalnej do wychylenia, działają w układzie również inne siły, w tym siły oporu. Pierwszą z nich jest siła tarcia, która występuje w ruchomej części mechanizmu huśtawki, np. w łożyskach. Kolejną siłą jest opór powietrza (tzw. opór aerodynamicznyopór aerodynamiczny). Prawdopodobnie to nie wszystko, ponieważ część drgań może być przenoszona przez konstrukcję huśtawki do gruntu i tam ulegać rozproszeniu.
W zależności od układu możemy mówić o różnych siłach oporu. Amplituda drgań ciała zawieszonego na sprężynie zacznie gwałtownie maleć, jeśli całość zanurzymy w oleju (Rys. 1.). Amplituda drgań spławika będzie maleć o wiele szybciej, jeśli zanurzymy go w cieczy o wysokim współczynniku lepkości.
Cechą, która łączy wszystkie siły oporu, jest ich kierunek i zwrot. Mianowicie: takie siły mają kierunek zgodny z prędkością ciała i przeciwny zwrot (Rys. 2.). Kolejną wspólną cechą jest zależność tego typu sił od prędkości.
Zauważ, że spędzając wakacje nad morzem lub jeziorem, łatwiej jest powoli wejść do wody niż do niej wbiec. Woda stawia nam opór (hydrodynamicznyhydrodynamiczny), utrudnia nam rozpędzenie się, a im szybciej się poruszamy, tym bardziej czujemy go wpływ. Oznacza to, że zapisując równanie ruchu oscylatora z tłumieniem, np. zanurzonego w cieczy, musimy uwzględnić siłę oporu i jej zależność od prędkości.
Określenie postaci zależności siły tłumienia od prędkości jest zadaniem nietrywialnym, a na ogół najlepszą metodą jej określenia jest metoda empiryczna, czyli oparta o doświadczenie. Rozważmy najprostszą postać takiej zależności – zależność liniową. Wprowadźmy do równania dynamiki oscylatora siłę postaci dla . Wartość tej siły jest wprost proporcjonalna do wartości prędkości, a znak minus gwarantuje, że zwroty prędkości i siły oporu są przeciwne. Parametr mówi, jak silne jest tłumienie w układzie, np. jak gęsty (a właściwie: lepki) jest olej, w którym zanurzona jest sprężyna z ciężarkiem. Równanie opisujące dynamikę takiego układu przyjmie więc postać
Jednym z parametrów opisujących tłumienie jest tzw. dekrement tłumieniadekrement tłumienia. W obecności siły tłumienia każde kolejne maksimum wychylenia, czyli amplituda, ma mniejszą wartość niż poprzednie. Dekrement tłumienia to stosunek dwóch kolejnych maksimów wychylenia:
W ogólności zależy on od , ale w dwóch szczególnych przypadkach - nie. Jeden z tych przypadków, , to brak tłumienia. Drugi - właśnie opisywane tłumienie, którego siła jest proporcjonalna do prędkości ciała.
Porównaj poniższe rysunki. Oba przedstawiają położenie w funkcji czasu – rozwiązanie ostatniego równania ruchu oscylatora harmonicznego z tłumieniem. Na Rys. 3. z dekrementem tłumienia , na Rys. 4. - z . Przerywaną czerwoną linią zaznaczona jest obwiedniaobwiednia, dająca pewną orientacyjną informację o zależności amplitudy drgań od czasu (patrz wyjaśnienie i rysunek w haśle słowniczka).
Tłumienie ma wpływ nie tylko na amplitudę drgań, lecz również na ich częstość, rozumianą jako odstęp czasu między kolejnymi położeniami równowagi - ściśle rzecz biorąc, nie jest to przecież ruch okresowy. Według tej uproszczonej definicji, układ tłumiony drga z nową częstością
gdzie . Widać więc, że istnieje ograniczenie na - powyżej pewnej wartości możemy mieć problem z obliczeniem powyższego pierwiastka. Tak jest w istocie - charakter rozwiązań zmienia się i dla bardzo silnego tłumienia de facto ruch nie opisuje drgań, przejście przez punkt równowagi może być co najwyżej jedno. Jednak wpływ tłumienia na częstość nie jest tak spektakularny jak w przypadku amplitudy, co można zaobserwować porównując dwa powyższe wykresy.
Równanie opisujące drgania tłumione będzie więc miało ogólną postać:
gdzie to funkcja opisująca zmniejszanie się amplitudy drgań w wyniku tłumienia. Wykres tej właśnie funkcji przedstawiony jest na powyższych rysunkach jako górna gałąź obwiedni wykresu .
Pozostaje więc jeszcze odpowiedzieć na ostatnie pytanie: co z energią? Zasada zachowania energii mówi, że całkowita energia nie może się zmienić, co najwyżej może zmieniać formę. Jeśli amplituda drgań tłumionych gaśnie, oznacza to, że z czasem maleje energia oscylatora. Energia ta jednak nie ginie. Tłumienie oscylatora wynika z jego oddziaływania z otoczeniem, zatem część energii oscylatora przekazywana jest do jego otoczenia w innej postaci. Np. sprężyna poruszająca się w oleju sprawia, że temperatura oleju rośnie. Podobnie: łożyska w huśtawce ogrzewają się w wyniku siły tarcia.
Słowniczek
(ang.: drag, air and liquid resistance) część siły aero- lub hydrodynamicznej proporcjonalna do wartości prędkości ciała.
(ang.: viscous drag) siła wynikająca z istnienia tarcia wewnętrznego w płynie, proporcjonalna do prędkości poruszającego się w nim ciała.
(ang.: decrement) stosunek dwóch kolejnych amplitud w układzie drgającym .
(ang.: envelope) krzywa, która w każdym swoim punkcie jest styczna do pewnego elementu rodziny krzywych.