Przykłady wielkości wprost proporcjonalnych:

• Obwód kwadratu $L$ jest wprost proporcjonalny do długości $x$ boku kwadratu, bowiem zawsze jest od niego cztery razy większy. Można to wyrazić wzorem:
  $L\left(x\right)=4x$, gdzie $x>0$.

• Masa złota $Z$ wyrażona w gramach jest wprost proporcjonalna do jego objętości $x$ wyrażonej w centymetrach sześciennych:
  $Z\left(x\right)=\frac{193}{10}x$.
  Współczynnik proporcjonalności (gęstość złota wyrażona w gramach na centymetr sześcienny) wynosi $19,3$.

• Masa srebra $S$ wyrażona w gramach też jest wprost proporcjonalna do jego objętości $x$ wyrażonej w centymetrach sześciennych:
  $S\left(x\right)=\frac{21}{2}x$.
  Jednak tym razem współczynnik proporcjonalności (przedstawiający gęstość srebra) wynosi $10,5$.

Jak mogliśmy zauważyć w powyższych przykładach, zależność pomiędzy wielkościami wprost proporcjonalnymiwielkości wprost proporcjonalnewielkościami wprost proporcjonalnymi opisuje funkcja postaci:

gdzie $x$ jest argumentem funkcji, natomiast $a$ to pewna ustalona liczba rzeczywista różna od $0$, zwana współczynnikiem proporcjonalności.

Funkcję takiej postaci nazywamy proporcjonalnością prostą.

Przykład 1

Narysujmy wykres proporcjonalności prostej danej wzorem $f\left(x\right)=2x$. Sporządzimy tabelę wartości funkcji.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f\left(x\right)$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$

REaPhDDmvYb6l

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono pięć punktów o współrzędnych: nawias minus dwa średnik minus cztery zamknięcie nawiasu, nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu.

Czy możemy powstałe punkty połączyć prostąprostaprostą i w ten sposób otrzymać wykres proporcjonalności prostej $f$?

Tak, ponieważ dziedziną podanej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

ep2019.contentplus.io:R117OOISHuBwW

W przypadku, gdyby dziedziną funkcji byłby zbiór $\left\{-2,-1,0, 1, 2\right\}$ to wykres byłby taki jak na pierwszej grafice.

Powyższe twierdzenie ułatwia rysowanie wykresu funkcji $f\left(x\right)=ax$.

Przeanalizujmy wykresy proporcjonalności prostej danej wzorem $f\left(x\right)=ax$ dla kilku dodatnich wartości $a$, a następnie dla kilku ujemnych.

Spójrzmy na wykresy proporcjonalności prostych danych wzorami $f\left(x\right)=ax$ dla: $a=\frac{1}{4}$, $a=\frac{1}{2}$, $a=1$, $a=2$ oraz $a=4$.

A teraz spójrzmy na wykresy proporcjonalności prostych danych wzorami $f\left(x\right)=ax$ kolejno dla: $a=-\frac{1}{4}$, $a=-\frac{1}{2}$, $a=-1$, $a=-2$ oraz $a=-4$.

Powyższe przykłady można podsumować następująco: im większa jest wartość bezwzględna liczby $a$, tym bardziej „stroma” jest prosta $y=ax$.

Kąt nachylenia prostej do osi $X$

Kątem nachylenia prostej do osi nazwiemy kąt, którego jedno ramię jest dodatnią częścią osi $X$, a drugie ramię zawiera się w tej części prostej, która leży nad osią.

RrZWfN8ltxjET

Ilustracja przedstawia dwa układy współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszym układzie zaznaczono ukośną prostą, która przechodzi przez pierwszą i trzecią ćwiartkę oraz przecina środek układu współrzędnych. Pomiędzy osią x i prostą zaznaczono kąt ostry alfa. W drugim układzie zaznaczono ukośną prostą, która przechodzi przez drugą i czwartą ćwiartkę oraz przecina środek układu współrzędnych. Pomiędzy osią x i prostą zaznaczono kąt rozwarty alfa.

Prosta $y=0$ ma kąt nachylenia równy $0°$, ponieważ pokrywa się ona z osią $X$, a więc tworzy z nią kąt zerowy.

RFUGSiKHxM9yK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono poziomą prostą, która pokrywa się z osią x, nad prostą znajduje się napis $\alpha =0°$.

Przykład 4

Określimy kąt nachylenia prostej $y=x$ do osi $X$.

Prosta $y=x$ ma kąt nachylenia równy $45°$, ponieważ punkty leżące na tej prostej mają obie współrzędne równe sobie. Na rysunku obok trójkąt o różowych bokach jest równoramiennym trójkątem prostokątnym, więc różowy kąt, to znaczy kąt nachylenia prostej $y=x$, ma miarę $45°$.

RIA8KY0bdKvgP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 3 i pionową osią y od minus 1 do trzy. W układzie zaznaczono ukośną prostą $y=x$, która przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono trójkąt o wierzchołkach: nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Kąt przy punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu ma miarę 45 stopni.

Przykład 5

Określimy kąt nachylenia prostej $y=-x$ do osi $X$.

Rozumując podobnie, jak w poprzednim przykładzie, można wykazać, że na rysunku poniżej różowy kąt jest kątem o mierze $45°$. Zatem niebieski kąt z rysunku poniżej ma miarę $135°$ (jako kąt przyległy do kąta o mierze $45°$), co oznacza, że prosta $y=-x$ ma kąt nachylenia równy $135°$.

RelK69rK8XXn3

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 3 i pionową osią y od minus 1 do trzy. W układzie zaznaczono ukośną prostą $y=-x$, która przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu i nawias jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono trójkąt o wierzchołkach: nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Kąt rozwarty pomiędzy osią x i prostą ma miarę 135 stopni.

Sposób wyznaczenia kąta nachylenia prostej $y=ax$ precyzuje następujące twierdzenie.

kąt nachylenia

Twierdzenie: kąt nachylenia

Jeśli $\alpha$ jest kątem nachylenia prostej $y=ax$ do osi $X$, to:

$a=\mathrm{tg}\alpha$.

Dowód

Rozpatrzmy dwa przypadki.

Przypadek I

Jeśli $a>0$, to wiemy, że punkt $\left(1,a\right)$ należy do prostej $y=ax$ i sytuację obrazuje rysunek poniżej. Zaznaczony trójkąt jest prostokątny, więc:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{1}=a$.

RYSoRZ84piJSZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono ukośną prostą, która przechodzi przez trzecią i pierwszą ćwiartkę układu oraz przecina środek układu współrzędnych i punkt znajdujący się w pierwszej ćwiartce. Kąt ostry pomiędzy osią x a prostą podpisano literą alfa. Z punktu poprowadzono pionowy odcinek prostopadły do osi x i podpisano go literą a, odległość od środka układu współrzędnych do odcinka o długości a wynosi jeden.

Przypadek II

Jeśli $a<0$, to zauważmy, że punkt $\left(-1,-a\right)$ należy do prostej $y=ax$, a całą sytuację obrazuje kolejny rysunek (zauważmy, że wówczas liczba $\left(-a\right)$ jest dodatnia). Zaznaczony trójkąt jest prostokątny, więc:

$\mathrm{tg}\beta =\frac{-a}{1}=-a$.

Stąd

$\mathrm{tg}\alpha =-\mathrm{tg}\beta =a$.

RIJPkBeCuqeuT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono ukośną prostą, która przechodzi przez drugą i czwartą ćwiartkę układu oraz przecina środek układu współrzędnych i punkt znajdujący się w drugiej ćwiartce. Kąt rozwarty pomiędzy osią x a prostą podpisano literą alfa, a kąt ostry literą beta. Z punktu poprowadzono pionowy odcinek prostopadły do osi x i podpisano go minus a, odległość od środka układu współrzędnych do odcinka minus a wynosi jeden.

Słownik