Przykłady wielkości wprost proporcjonalnych:

• Obwód kwadratu $L$ jest wprost proporcjonalny do długości $x$ boku kwadratu, bowiem zawsze jest od niego cztery razy większy. Można to wyrazić wzorem:
  $L\left(x\right)=4x$, gdzie $x>0$.

• Masa złota $Z$ wyrażona w gramach jest wprost proporcjonalna do jego objętości $x$ wyrażonej w centymetrach sześciennych:
  $Z\left(x\right)=\frac{193}{10}x$.
  Współczynnik proporcjonalności (gęstość złota wyrażona w gramach na centymetr sześcienny) wynosi $19,3$.

• Masa srebra $S$ wyrażona w gramach też jest wprost proporcjonalna do jego objętości $x$ wyrażonej w centymetrach sześciennych:
  $S\left(x\right)=\frac{21}{2}x$.
  Jednak tym razem współczynnik proporcjonalności (przedstawiający gęstość srebra) wynosi $10,5$.

Jak mogliśmy zauważyć w powyższych przykładach, zależność pomiędzy wielkościami wprost proporcjonalnymiwielkości wprost proporcjonalnewielkościami wprost proporcjonalnymi opisuje funkcja postaci:

gdzie $x$ jest argumentem funkcji, natomiast $a$ to pewna ustalona liczba rzeczywista różna od $0$, zwana współczynnikiem proporcjonalności.

Funkcję takiej postaci nazywamy proporcjonalnością prostą.

Przykład 1

Narysujmy wykres proporcjonalności prostej danej wzorem $f\left(x\right)=2x$. Sporządzimy tabelę wartości funkcji.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f\left(x\right)$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$

R76L9H1LK9KCK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono pięć punktów o współrzędnych: nawias minus dwa średnik minus cztery zamknięcie nawiasu, nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu.

Czy możemy powstałe punkty połączyć prostąprostaprostą i w ten sposób otrzymać wykres proporcjonalności prostej $f$?

Tak, ponieważ dziedziną podanej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

RRL75FK8RMNON

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono pięć punktów o współrzędnych: nawias minus dwa średnik minus cztery zamknięcie nawiasu, nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawis dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu. Przez wymienione punkty poprowadzono prostą, ma ona równanie y, równa się, dwa x.

W przypadku, gdyby dziedziną funkcji byłby zbiór $\left\{-2,-1,0, 1, 2\right\}$ to wykres byłby taki jak na pierwszej grafice.

Powyższe twierdzenie ułatwia rysowanie wykresu funkcji $f\left(x\right)=ax$.

Przykład 2

Narysujmy wykres proporcjonalności prostej:
$f\left(x\right)=\frac{1}{2}x$.
Aby go narysować, wystarczy zauważyć, że np.:
$f\left(2\right)=\frac{1}{2}·2=1$,
a następnie narysować prostą przechodzącą przez punkty $O=\left(0,0\right)$ i $A=\left(2,1\right)$.

R1CE78PC123CP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 2 do dwa. W układzie zaznaczono dwa punkty i prostą o równaniu y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, która przechodzi przez te punkty. Pierwszy punkt ma współrzędne nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, punkt drugi podpisano literą A i ma on współrzędne nawias dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Przykład 3

Narysujmy wykres proporcjonalności prostej:
$f\left(x\right)=-\frac{1}{3}x$.

Zauważmy, że np.:
$f\left(3\right)=-\frac{1}{3}·3=-1$,
następnie poprowadźmy prostą przez punkty $O=\left(0,0\right)$ i $A=\left(3,-1\right)$.

R1PR4VA6XB8BC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 2 do dwa. W układzie zaznaczono dwa punkty i prostą o równaniu y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, która przechodzi przez te punkty. Pierwszy punkt ma współrzędne nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, punkt drugi podpisano literą A i ma on współrzędne nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu.

Przeanalizujmy wykresy proporcjonalności prostej danej wzorem $f\left(x\right)=ax$ dla kilku dodatnich wartości $a$, a następnie dla kilku ujemnych.

Spójrzmy na wykresy proporcjonalności prostych danych wzorami $f\left(x\right)=ax$ dla: $a=\frac{1}{4}$, $a=\frac{1}{2}$, $a=1$, $a=2$ oraz $a=4$.

R12DDMAQVE4A9

Ilustracja przedstawia pięć układów współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 2 i pionową osią y od minus 2 do dwa. W pierwszym układzie zaznaczono ukośną prostą, która pojawia się w trzeciej ćwiartce układu tuż pod osią x, następnie przechodzi przez środek układu współrzędnych i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu tuż nad osią x. W drugim układzie zaznaczono ukośną prostą, która pojawia się w trzeciej ćwiartce układu przechodzi przez punkt nawias minus dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, następnie przechodzi przez środek układu współrzędnych oraz punkt nawias dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu. W trzecim układzie zaznaczono ukośną prostą, która pojawia się w trzeciej ćwiartce układu przechodzi przez punkt nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, następnie przechodzi przez środek układu współrzędnych oraz punkt nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu. W czwartym układzie zaznaczono ukośną prostą, która pojawia się w trzeciej ćwiartce układu przechodzi przez punkt nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, następnie przechodzi przez środek układu współrzędnych oraz punkt nawias jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu. . W piątym układzie zaznaczono ukośną prostą, która pojawia się w trzeciej ćwiartce układu tuż przy osi y, następnie przechodzi przez środek układu współrzędnych i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu tuż przy osi y.

A teraz spójrzmy na wykresy proporcjonalności prostych danych wzorami $f\left(x\right)=ax$ kolejno dla: $a=-\frac{1}{4}$, $a=-\frac{1}{2}$, $a=-1$, $a=-2$ oraz $a=-4$.

R1D6TOXDDKDND

Ilustracja przedstawia pięć układów współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 2 i pionową osią y od minus 2 do dwa. W pierwszym układzie zaznaczono ukośną prostą, która pojawia się w drugiej ćwiartce układu tuż nad osią x, następnie przechodzi przez środek układu współrzędnych i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce układu tuż nad pod osią x. W drugim układzie zaznaczono ukośną prostą, która pojawia się w drugiej ćwiartce układu przechodzi przez punktu nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, następnie przechodzi przez środek układu współrzędnych oraz punkt nawias dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce układu. W trzecim układzie zaznaczono ukośną prostą, która pojawia się w drugiej ćwiartce układu przechodzi przez punkt nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, następnie przechodzi przez środek układu współrzędnych oraz punkt nawias dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce układu. W czwartym układzie zaznaczono ukośną prostą, która pojawia się w drugiej ćwiartce układu przechodzi przez punkt nawias minus jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu, następnie przechodzi przez środek układu współrzędnych oraz punkt nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce układu. . W piątym układzie zaznaczono ukośną prostą, która pojawia się w drugiej ćwiartce układu tuż przy osi y, następnie przechodzi przez środek układu współrzędnych i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce układu tuż przy osi y.

Powyższe przykłady można podsumować następująco: im większa jest wartość bezwzględna liczby $a$, tym bardziej „stroma” jest prosta $y=ax$.

Ważne!

Jeśli $a$ jest liczbą dodatnią, to prosta $y=ax$ przechodzi przez $\text{I}$ i $\text{III}$ ćwiartkę układu współrzędnych. Jeśli zaś $a$ jest liczbą ujemną, to prosta $y=ax$ przechodzi przez $\text{II}$ i $\text{IV}$ ćwiartkę układu współrzędnych.

R1NJJDBN1GB7A

Ilustracja przedstawia pięć układów współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 3 i pionową osią y od minus 3 do trzy. Ćwiartka znajdując się w prawym górnym rogu jest ćwiartką pierwszą, ta w lewym górnym rogu jest ćwiartką drugą, ćwiartka z lewego dolnego rogu jest ćwiartką trzecią, a ta z prawego dolnego rogu ćwiartką czwartą.

Kąt nachylenia prostej do osi $X$

Kątem nachylenia prostej do osi nazwiemy kąt, którego jedno ramię jest dodatnią częścią osi $X$, a drugie ramię zawiera się w tej części prostej, która leży nad osią.

RKPPST9E7JT1U

Ilustracja przedstawia dwa układy współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszym układzie zaznaczono ukośną prostą, która przechodzi przez pierwszą i trzecią ćwiartkę oraz przecina środek układu współrzędnych. Pomiędzy osią x i prostą zaznaczono kąt ostry alfa. W drugim układzie zaznaczono ukośną prostą, która przechodzi przez drugą i czwartą ćwiartkę oraz przecina środek układu współrzędnych. Pomiędzy osią x i prostą zaznaczono kąt rozwarty alfa.

Prosta $y=0$ ma kąt nachylenia równy $0°$, ponieważ pokrywa się ona z osią $X$, a więc tworzy z nią kąt zerowy.

R4S1MHX4T9HNQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono poziomą prostą, która pokrywa się z osią x, nad prostą znajduje się napis alfa, równa się, zero stopień.

Przykład 4

Określimy kąt nachylenia prostej $y=x$ do osi $X$.

Prosta $y=x$ ma kąt nachylenia równy $45°$, ponieważ punkty leżące na tej prostej mają obie współrzędne równe sobie. Na rysunku obok trójkąt o różowych bokach jest równoramiennym trójkątem prostokątnym, więc różowy kąt, to znaczy kąt nachylenia prostej $y=x$, ma miarę $45°$.

R1D17MUR7HUQ5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 3 i pionową osią y od minus 1 do trzy. W układzie zaznaczono ukośną prostą y, równa się, x, która przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono trójkąt o wierzchołkach: nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Kąt przy punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu ma miarę 45 stopni.

Przykład 5

Określimy kąt nachylenia prostej $y=-x$ do osi $X$.

Rozumując podobnie, jak w poprzednim przykładzie, można wykazać, że na rysunku poniżej różowy kąt jest kątem o mierze $45°$. Zatem niebieski kąt z rysunku poniżej ma miarę $135°$ (jako kąt przyległy do kąta o mierze $45°$), co oznacza, że prosta $y=-x$ ma kąt nachylenia równy $135°$.

R1EA4SS7SGMXK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 3 i pionową osią y od minus 1 do trzy. W układzie zaznaczono ukośną prostą y, równa się, minus, x, która przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu i nawias jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono trójkąt o wierzchołkach: nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Kąt rozwarty pomiędzy osią x i prostą ma miarę 135 stopni.

Sposób wyznaczenia kąta nachylenia prostej $y=ax$ precyzuje następujące twierdzenie.

kąt nachylenia

Twierdzenie: kąt nachylenia

Jeśli $\alpha$ jest kątem nachylenia prostej $y=ax$ do osi $X$, to:

$$a=\mathrm{tg}\alpha$$.

Dowód

Rozpatrzmy dwa przypadki.

Przypadek I

Jeśli $a>0$, to wiemy, że punkt $\left(1,a\right)$ należy do prostej $y=ax$ i sytuację obrazuje rysunek poniżej. Zaznaczony trójkąt jest prostokątny, więc:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{1}=a$$.

R57O4BU9ZE8NL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono ukośną prostą, która przechodzi przez trzecią i pierwszą ćwiartkę układu oraz przecina środek układu współrzędnych i punkt znajdujący się w pierwszej ćwiartce. Kąt ostry pomiędzy osią x a prostą podpisano literą alfa. Z punktu poprowadzono pionowy odcinek prostopadły do osi x i podpisano go literą a, odległość od środka układu współrzędnych do odcinka o długości a wynosi jeden.

Przypadek II

Jeśli $a<0$, to zauważmy, że punkt $\left(-1,-a\right)$ należy do prostej $y=ax$, a całą sytuację obrazuje kolejny rysunek (zauważmy, że wówczas liczba $\left(-a\right)$ jest dodatnia). Zaznaczony trójkąt jest prostokątny, więc:

$$\mathrm{tg}\beta =\frac{-a}{1}=-a$$.

Stąd

$$\mathrm{tg}\alpha =-\mathrm{tg}\beta =a$$.

RU8DCV6D9X6L6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono ukośną prostą, która przechodzi przez drugą i czwartą ćwiartkę układu oraz przecina środek układu współrzędnych i punkt znajdujący się w drugiej ćwiartce. Kąt rozwarty pomiędzy osią x a prostą podpisano literą alfa, a kąt ostry literą beta. Z punktu poprowadzono pionowy odcinek prostopadły do osi x i podpisano go minus a, odległość od środka układu współrzędnych do odcinka minus a wynosi jeden.

Słownik