Warto przeczytać

RLxj9N1hp0lP8

Rys. 1. Zdjęcie przedstawia korony drzew jesienią na tle nieba. Na pierwszym planie widoczny jest żółto‑brązowy liść swobodnie spadający z drzewa.

Podczas ruchu danego ciała, zazwyczaj dochodzi do przemian energii, jakie to ciało posiada. Najprostszym przykładem jest spadek swobodnyspadek swobodnyspadek swobodny (Rys. 1.), podczas którego energia potencjalna grawitacji ciała przekształca się w energię kinetyczną. Energia potencjalna grawitacji związana jest z wysokością ciała nad Ziemią, a energia kinetyczna – z jego bieżącą prędkością. Oznacza to, że możemy powiązać ze sobą ilość energii, jaką ciało posiada z jego parametrami ruchu, to jest położeniem, prędkością czy przyspieszeniem.

W tym e‑materiale skupimy się przede wszystkim na powiązaniu parametrów ruchu ciała z jego energią. Szczegółowe informacje o zasadzie zachowania energii mechanicznej znajdziesz w e‑materiale “O czym mówi zasada zachowania energii mechanicznej?”.

Energia kinetyczna ciała o masie m poruszającego się w danym układzie odniesienia z prędkością v dana jest wzorem:

Prędkość i energia kinetyczna ciała mogą ulegać zmianie (Rys. 2.), jeśli na ciało działa niezrównoważona siła. Pojawia się wtedy przyspieszenie.

R1K2BJC4wOmA1

Rys. 2. Rysunek przedstawia ciało niebieskie koloru brązowego, po którym jedzie samochód. Samochód jest przedstawiony w trzech pozycjach. W każdej z nich siła grawitacji opisana zieloną strzałką i iloczynem zielonej litery m i zielonej litery g jest skierowana ku środkowi masy ciała niebieskiego. Prędkość natomiast w każdej z tych pozycji została przedstawiona w postaci czerwonego wektora, opisanego małą czerwoną literą v ze znaczkiem wektora ponad nią, równoległego do stycznej do powierzchni ciała niebieskiego w danym punkcie. Samochód po tym ciele jedzie zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Energia potencjalna grawitacji ciała o masie m znajdującego się w pobliżu powierzchni planety (lub księżyca, gwiazdy czy innego ciała niebieskiego), gdzie występuje przyspieszenie grawitacyjne o wartości g dana jest wzorem:

Wielkość h oznacza odległość ciała od punktu (Rys. 3.), w którym przyjmujemy że energia potencjalna jest równa zeru (np. powierzchnia planety). Energia ta ulega zatem zmianie, gdy zmienia się położenie ciała.

RTvOi5Fl7rvZ9

Rys. 3. Rysunek przedstawia postać animowaną (skoczka hipopotama) w niebieskim skafandrze i zielonym kasku, spadającego z rozłożonym żółtym spadochronem z wysokości opisanej małą czarną literą h pod wpływem siły grawitacji przedstawionej w postaci czerwonego wektora, skierowanego pionowo w dół i opisanego czerwonymi literami małą m razy małą g, Skoczek spada na brązową powierzchnię ziemi stanowiącą „poziom zerowy”.

Przeanalizujmy teraz przykład, który pozwoli zrozumieć Ci bardziej złożone przemiany energii.

Przykład 1 – ruch sanek z tarciem

Jaką maksymalną prędkość uzyskają sanki zjeżdżające ze wzniesienia o wysokości h = 3 m i kącie nachylenia 5°? Współczynnik tarcia sanek o zbocze wynosi μmu = 0,08.

Analiza zadania

W tym przypadku zachodzi przemiana energii potencjalnej sanek w energię kinetyczną oraz zamiana części energii na ciepło pod wpływem pracy siły tarciasiła tarciasiły tarcia.

Rozwiązanie

Porównując energię sanek na początku (EIndeks dolny pg0_pg0) i na końcu ruchu (EIndeks dolny kmax_kmax), możemy, zgodnie z zasadą zachowania energii, zapisać:

gdzie WIndeks dolny T_T jest pracą siły tarcia. Pracę tę można wyrazić poprzez wartość siły tarcia oraz drogę, na której działa ta siła:

gdzie N jest siłą nacisku ciała na podłoże. Wzniesienie o stałym kącie nachylenia można potraktować jako równię pochyłą (Rys. 4.). Przeanalizujmy rozkład sił na takiej równi:

R11LriOSiCsS6

Rys. 4. Rysunek przedstawia symbolicznie czarne sanki zjeżdżające z górki w postaci szarego trójkąta, której stok jest nachylony pod kątem opisanym czarną małą literą alfa do poziomu. Na sanki pionowo w dół działa siła ciężkości przedstawiona w postaci pomarańczowego wektora opisanego dużą, pomarańczową literą F z indeksem dolnym g oraz ze znaczkiem wektora ponad nią. Siłę tę rozłożono na rysunku na dwie składowe: działającą równolegle do stoku, nazywaną siłą zsuwającą, przedstawioną w postaci niebieskiego wektora opisanego dużą, niebieską literą F z indeksem dolnym g i znaczkiem równoległości oraz ze znaczkiem wektora ponad nią oraz działającą prostopadle do stoku, przedstawioną w postaci czerwonego wektora opisanego dużą, czerwoną literą F z indeksem dolnym g i znaczkiem prostopadłości oraz ze znaczkiem wektora ponad nią. Sanki prostopadle do powierzchni stoku działają na stok siłą nacisku przedstawioną w postaci fioletowego wektora opisanego dużą, fioletową literą N ze znaczkiem wektora ponad nią. Siła nacisku ma ten sam zwrot, kierunek i wartość co prostopadła do stoku składowa siły grawitacji. W wyniku tego zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona stok działa na sanki siłą reakcji przedstawioną w postaci zielonego wektora opisanego dużą, zieloną literą F z indeksem dolnym r oraz ze znaczkiem wektora ponad nią. Siła reakcji ma ten sam kierunek i wartość co siła nacisku ale przeciwny do niej zwrot. Na sanki wydłuż stoku, przeciwnie do kierunku ich ruchu działa siła tarcia przedstawioną w postaci bordowego wektora opisanego dużą bordową literą F z indeksem dolnym T oraz ze znaczkiem wektora ponad nią.

Siła nacisku N na podłoże jest co do wartości równa prostopadłej składowej siły ciężkości: $N=F_{g}cos\alpha =mgcos\alpha$. Praca siły tarcia jest zatem równa:

Musimy jeszcze wyznaczyć drogę s, na której działa siła tarcia. Ponieważ dana jest wysokość zbocza h oraz kąt nachylenia. Drogę możemy wyznaczyć z prostych relacji geometrycznych:

Ostatecznie zatem:

Wstawmy otrzymane wyrażenia do równania opisującego bilans energiibilans energiibilans energii i wyznaczmy wartość prędkości:

Słowniczek