Jeżeli istnieje złożenie funkcji $f$ z funkcją $g$ i funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0$, zaś funkcja $g$ jest różniczkowalna w punkcie $f\left(x_0\right)$, to funkcja $g\circ f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0$ oraz

Wyznaczymy wzór na pochodną funkcji $f\left(x\right)={\left(ax+b\right)}^2$ korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej.

Rozwiązanie:

Funkcja $f\left(x\right)$ jest złożeniem funkcji $g\left(x\right)=ax+b$ oraz $h\left(x\right)=x^2$.

Funkcja $g$ jest funkcją wewnętrzną, a funkcja $h$ jest funkcją zewnętrzną. Pochodna funkcji wewnętrznej jest równa $g\text{'}\left(x\right)=a$ oraz pochodna funkcji zewnętrznej $h\text{'}\left(x\right)=2x$. Stąd na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy:

$f\text{'}\left(x\right)=2a\left(ax+b\right)$.

Wyznaczymy złożenie funkcjizłożenie funkcjizłożenie funkcji $\left(g\circ f\right)\left(x\right)$, gdzie $f\left(x\right)=2x-3$ oraz $g\left(x\right)=x^4$. Obliczymy pochodną funkcji $h\left(x\right)=\left(g\circ f\right)\left(x\right)$.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy funkcję $h$:

$h\left(x\right)=\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(2x-3\right)={\left(2x-3\right)}^4$

Wyznaczamy pochodną funkcji $h$:

$h\text{'}\left(x\right)=\underset{\left(2x-3\right)\text{'}}{\underbrace{2}}·\underset{g\text{'}\left(2x-4\right)}{\underbrace{4{\left(2x-3\right)}^3}}=8{\left(2x-3\right)}^3$.

Przedstawimy funkcję $f\left(x\right)={\left(x^2+1\right)}^{50}$ jako złożenie funkcji elementarnych, a następnie wyznaczymy jej pochodną.

Rozwiązanie:

Funkcja $f\left(x\right)$ jest funkcją złożoną.

Funkcją wewnętrzną jest funkcja $g\left(x\right)=x^2+1$, a funkcją zewnętrzną $h\left(x\right)=x^{50}$.

Zatem $f\left(x\right)=h\left(g\left(x\right)\right)=\left(h\circ g\right)\left(x\right)$.

Pochodna funkcji zewnętrznej jest równa $h\text{'}\left(x\right)=50x^{49}$.

Pochodna funkcji wewnętrznej jest równa $g\text{'}\left(x\right)=2x$.

Na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy:

$f\text{'}\left(x\right)=2x·50{\left(x^2+1\right)}^{49}=100x{\left(x^2+1\right)}^{49}$.

Wyznaczymy pochodną funkcji $f\left(x\right)=\sin \left(5x\right)$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f\left(x\right)$ jest funkcją złożoną.

Funkcją wewnętrzną jest funkcja $g\left(x\right)=5x$, a funkcją zewnętrzną $h\left(x\right)=\sin x$.

Pochodna funkcji zewnętrznej wynosi $h\text{'}\left(x\right)=\cos x$.

Pochodna funkcji wewnętrznej wynosi $g\text{'}\left(x\right)=5$.

Na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy:

$f\text{'}\left(x\right)=5\cos \left(5x\right)$.

Wyznaczymy pochodną funkcji $f\left(x\right)={\sin }^{5}x$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f\left(x\right)$ jest funkcją złożoną.

Funkcja wewnętrzną jest funkcja $g\left(x\right)=\sin x$, a funkcją zewnętrzną $h\left(x\right)=x^5$.

Pochodna funkcji zewnętrznej wynosi $h\text{'}\left(x\right)=5x^4$, a funkcji wewnętrznej $g\text{'}\left(x\right)=\cos x$.

Na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy

$f\text{'}\left(x\right)=5\cos x·{\sin }^{4}x$.

jeśli $f:X\to Y$ i $g:Y\to Z$, to funkcję $h:X\to Z$ określoną wzorem $h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$ nazywamy złożeniem funkcji $f$ i $g$; funkcję $f$ nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję $g$ funkcją zewnętrzną