Na początku należy określić pojęcia pierwotne, czyli pojęcia których się nie definiuje, ale stosuje się jako fundamentalne, niezbędne do sformułowania aksjomatów i opisania teorii.

Pojęciami pierwotnymipojęcie pierwotnePojęciami pierwotnymi geometrii przestrzennej są:

• punkty,

• proste,

• płaszczyzny,

• relacja incydencji, czyli relacja należenia punktu do prostej lub płaszczyzny.

Podając aksjomaty geometrii przestrzennej należy sformułować proste własności mające potwierdzenie w obserwacji rzeczywistości. Następnie stosujemy aksjomatyaksjomataksjomaty do wyprowadzania własności bardziej złożonych.

Aksjomaty incydencji

Aksjomat 1.
Każda prosta zawiera przynajmniej dwa różne punkty. Przez dwa różne punkty można poprowadzić dokładnie jedną prostą.

Aksjomat 2.
Istnieją trzy punkty, które nie należą do jednej prostej.

Aksjomat 3.
Każda płaszczyzna zawiera przynajmniej jeden punkt. Przez każde trzy punkty można przeprowadzić płaszczyznę. Przez każde trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej, można przeprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę.

Aksjomat 4.
Istnieją cztery punkty, które nie leżą na tej samej płaszczyźnie.

Aksjomat 5.
Jeśli prosta i płaszczyzna mają przynajmniej dwa różne punkty wspólne, to wszystkie punkty prostej należą do płaszczyzny.

Aksjomat 6.
Jeśli dwie płaszczyzny mają wspólny punkt, to mają więcej punktów wspólnych niż jeden.

Przykład 1

Pokażemy, dlaczego stolik o trzech nogach ustawiony na równej podłodze nie chwieje się. Natomiast zdarza się, że stolik o czerech nogach się chwieje.

Rozwiązanie

Poniższy rysunek przedstawia schematycznie stolik o trzech nogach, które dotykają podłogi w trzech punktach. Ponieważ przez trzy niewspółliniowe punkty można poprowadzić tylko jedną płaszczyznę (aksjomat 3), podłoga jest właśnie tą płaszczyzną.

RbwvmaVqeeCwR

Na ilustracji przedstawiono stolik o trzech nogach, stojący na płaszczyźnie.

Aksjomat 4 mówi, że istnieją cztery punkty, które nie leżą na tej samej płaszczyźnie, więc w przypadku stolika o czterech nogach, może zdarzyć się, że stół się wykrzywi i wtedy trzy nogi będą stały na podłodze, a czwarta nie.

R1dZzByCwZ9O2

Na ilustracji przedstawiono stół o czterech nogach, stojący na płaszczyźnie. Jedna z nóg nie dotyka płaszczyzny.

Powyższa własność pozwoli lepiej zrozumieć kolejny, bardzo ważny aksjomat.

Aksjomat równoległości (postulat Euklidesa)

Dla prostej $l$ i punktu $B$, który nie leży na tej prostej, istnieje w płaszczyźnie zawierającej prostą $l$ i punkt $B$ dokładnie jedna prosta, która przechodzi przez $B$ i nie ma punktów wspólnych z $l$.

Na podstawie udowodnionej wyżej własności istnieje dokładnie jedna płaszczyzna zawierająca prostą $l$ i punkt $B$. Aksjomat równoległości mówi, że w tej płaszczyźnie istnieje dokładnie jedna prosta równoległa do prostej $l$ i przechodząca przez punkt $B$.

R1V0liyyvFsbr

Na ilustracji przedstawiono płaszczyznę. Na płaszczyźnie narysowano dwie równoległe do siebie linie, przerywaną z zaznaczonym punktem B, oraz ciągłą oznaczoną l.

Wprost z aksjomatu równoległości możemy zdefiniować proste równoległe w przestrzeni. Mówimy, że dwie proste są równoległe, jeżeli leżą na jednej płaszczyźnie i są równoległe na tej płaszczyźnie. Przyjmujemy, że równe proste są równoległe. Proste przecinają się, jeśli mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Istnieje w przestrzeni wiele prostych równoległych do danej prostej, ale po wybraniu konkretnego punktu jest tylko jedna prosta równoległa do danej przechodząca przez ten punkt.

Na poniższym rysunku czerwona prosta jest prostą równoległą do prostej $DC$ i przechodzącą przez punkt $B$, leży ona na płaszczyźnie wyznaczonej prze punkty $B$, $C$, $D$. Niebieska prosta jest prostą równoległą do prostej $DC$ i przechodzącą przez punkt $A$, leży ona na płaszczyźnie wyznaczonej przez punkty $A$, $C$, $D$.

R1YMURyl4GJ6H

Na ilustracji przedstawiono czerwoną prostą, równoległą do prostej DC i przechodzącą przez punkt B, leży ona na płaszczyźnie wyznaczonej prze punkty B, C, D. Niebieska prosta jest prostą równoległą do prostej DC i przechodzącą przez punkt A, leży ona na płaszczyźnie wyznaczonej przez punkty A, C, D.

Pominiemy dowód tej własności. Spróbujesz ją udowodnić samodzielnie w części „Sprawdź się”.

Pokażemy teraz kilka kolejnych wniosków z podanego zbioru aksjomatówaksjomataksjomatów.

Punkty wspólne płaszczyzn

Własność: Punkty wspólne płaszczyzn

Jeżeli dwie płaszczyzny mają jeden punkt wspólny, to mają wspólną prostą.

R1O0A5ZaR8KAW

Na ilustracji przedstawiono dwie prostopadle przecinające się płaszczyzny. W miejscu ich przecięcia poprowadzono prostą.

Dowód

Aksjomat 6 mówi, że jeśli dwie płaszczyzny mają wspólny punkt, to mają więcej punktów wspólnych niż jeden. A skoro mają co najmniej dwa punkty wspólne, to z aksjomatu 1 wynika, że przez te dwa punkty można poprowadzić dokładnie jedną prostą. Ta prosta jest wspólną prostą obu płaszczyzn.

Wspólna prosta dwóch płaszczyzn nazywana jest krawędzią.

Przykład 2

Pokażemy, że krawędź sześcianu leży na prostej wspólnej dwóch płaszczyzn zawierających sąsiednie ściany sześcianu.

Rozwiązanie

RlBvDHIkn0CLu

Na ilustracji przedstawiono dwie prostopadle przecinające się płaszczyzny. Narysowano sześcian o dolnej podstawie $ABCD$, oraz górnej $EFGH$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B, wierzchołek F, i tak dalej. Krawędź HD, leży na prostej, która jest wspólna dla obu płaszczyzn.

Wybierzmy krawędź $HD$ z powyższego rysunku. Wierzchołki $H$ i $D$ należą do płaszczyzn zawierających ściany $ADHE$ i $CDHG$. Stąd te płaszczyzny mają $H$ i $D$ jako punkty wspólne, więc prosta $HD$ jest prostą wspólną tych płaszczyzn. Ponieważ punkty $H$ i $D$ leżą na tej prostej, to prosta zawiera krawędź $HD$.

Jeżeli prosta nie ma punktu wspólnego z płaszczyzną lub leży na tej płaszczyźnie, to mówimy, że jest równoległa do tej płaszczyzny.

Jeżeli prosta ma jeden punkt wspólny z płaszczyzną, to mówimy, że przebija płaszczyznę, a punkt wspólny nazywamy punktem przebicia płaszczyzny tą prostą.

Przykład 3

Wskażemy w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przedstawionym na poniższym rysunku przykłady prostych równoległych do płaszczyzn zawierających ściany oraz prostych przebijających ściany tego graniastosłupa.

RWr0IsOR6r3ku

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny, o podstawie dolnej $ABC$, oraz górnej $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek $A\text{'}$, nad wierzchołkiem B, wierzchołek $B\text{'}$, nad wierzchołkiem C, wierzchołek $C\text{'}$.

Rozwiązanie

Proste zawierające krawędzie $A\text{'}B\text{'}$, $B\text{'}C\text{'}$ i $A\text{'}C\text{'}$ są równoległe do płaszczyzny zawierającej podstawę $ABC$. Krawędź $AA\text{'}$ leży na prostej równoległej do płaszczyzny zawierającej ścianę $BCC\text{'}B\text{'}$. Krawędź $AA\text{'}$ jest krawędzią wspólną płaszczyzn zawierających ściany boczne $ABB\text{'}A\text{'}$ oraz $ACC\text{'}A\text{'}$, więc leży w tych płaszczyznach i stąd jest do nich równoległa. Podobnie, pozostałe proste zawierające krawędzie boczne tego graniastosłupa są równoległe do ścian bocznych. Prosta zawierająca krawędź $CC\text{'}$ przebija płaszczyznę zawierającą podstawę $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ w punkcie $C\text{'}$, a podstawę $ABC$ w punkcie $C$.

Przykład 4

Biatlon jest zimową dyscypliną sportu, łączącą biegi narciarskie ze strzelectwem. Na rysunku przedstawiony jest biatlonista strzelający do tarczy. Pokażemy w jaki sposób biatlonista trafia do tarczy.

R1ExE01t3rE4l

Na ilustracji przedstawiono dwie postacie w nartach, strzelające do tarczy.

Rozwiązanie

Popatrzmy na poniższy rysunek.

RHQn08bAY2wqM

Na ilustracji przedstawiono karabin. Poprowadzono linię wzroku oraz tor pocisku. Proste przecinają się w punkcie, znajdującym się na odległej tarczy.

Karabinek wyposażony jest w celownik i tzw. muszkę na końcu lufy. Na celowniku ustawia się odległość do tarczy. Sportowiec celując ustawia karabinek tak, żeby prosta (linia wzroku) poprowadzona od oka przez celownik i muszkę przebijała płaszczyznę tarczy w wybranym obszarze. Pocisk wypuszczony z lufy karabinka porusza się po prostej wyznaczonej przez lufę. Jeśli strzał jest celny, to proste: linia wzroku i tor pocisku przebijają płaszczyznę tarczy w pewnym punkcie obszaru docelowego.

Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi, jeśli są równe lub nie mają punktów wspólnych.

Wykorzystując pojęcie płaszczyzn równoległych możemy zauważyć, że prosta jest równoległa do płaszczyzny, jeśli leży na płaszczyźnie równoległej do danej płaszczyzny.

RxyNqqNXtLRi9

Na ilustracji przedstawiono dwie równoległe płaszczyzny oraz prostą, która przebija jedną płaszczyznę w punkcie A, a drugą płaszczyznę w punkcie B. Proste AC, AD i BE są równoległe do obu płaszczyzn.

Na powyższym rysunku przedstawiono dwie równoległe płaszczyzny oraz prostą, która przebija jedną płaszczyznę w punkcie $A$, a drugą płaszczyznę w punkcie $B$. Proste $AC$, $AD$ i $BE$ są równoległe do obu płaszczyzn.

Dwie proste są skośne, jeśli nie mają punktów wspólnych i nie istnieje płaszczyzna, do której obie proste należą. Innymi słowy, proste skośne nie mają punktu wspólnego i nie są równoległe.

Poniższy rysunek przedstawia proste skośne.

RXjhhQyt8zsHE

Na rysunku przedstawiono dwie równoległe płaszczyzny oraz prostą, która przebija jedną płaszczyznę w punkcie A, a drugą płaszczyznę w punkcie B. Proste AC i EB, są skośne, nie są równoległe oraz nie mają punktów wspólnych.

Przykład 5

Pokażemy płaszczyzny równoległe, proste równoległe i proste skośne na przykładzie poniższego sześcianu.

R1W6ub1QjtZ6t

Na ilustracji przedstawiono sześcian o podstawie dolnej $ABCD$, oraz górnej $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek $A\text{'}$, nad wierzchołkiem B, wierzchołek $B\text{'}$ i tak dalej.

Rozwiązanie

Przeciwległe ściany sześcianu leżą w płaszczyznach równoległych.

Proste zawierające krawędzie $AA\text{'}$, $BB\text{'}$, $CC\text{'}$, $DD\text{'}$ są parami równoległe do siebie i jednocześnie są równoległe do płaszczyzn zawierających ściany boczne sześcianu. Są również równoległe do płaszczyzn $AA\text{'}C$ i $BB\text{'}D$.

Proste zawierające krawędzie $BC$, $B\text{'}C\text{'}$ i $CD$ są skośne do prostej zawierającej krawędź $AA\text{'}$.

Dla zainteresowanych

Pierwszą próbę aksjomatyzacji geometrii podjął Euklides podając pięć aksjomatów, które dziś brzmią archaicznie:

1. Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.

2. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie (uzyskując prostą).

3. Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym jego długości.

4. Wszystkie kąty proste są przystające.

5. Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony.

Dla geometrii na płaszczyźnie piąty z aksjomatów, zwany postulatem Euklidesa lub postulatem równoległości, można sformułować następująco:

5’. Przez dany punkt nienależący do danej prostej można poprowadzić jedną prostą rozłączną z daną prostą.

Geometrię, w której prawdziwe są wszystkie podane aksjomaty Euklidesa nazywa się geometrią euklidesową. Odrzucenie piątego aksjomatu prowadzi do geometrii, które nazywane są geometriami nieeuklidesowymi. W drugiej połowie $\text{XIX}$ w. zauważono, że aksjomaty podane przez Euklidesa nie są wystarczające o udowodnienia prawdziwości lub fałszywości wszystkich zdań, które można wyrazić w języku geometrii, czyli pokazano, że system aksjomatów Euklidesa nie jest zupełny.

W $\mathrm{1899}$ r. David Hilbert podał pełny zestaw aksjomatówaksjomataksjomatów, który jest dziś podstawą większości aksjomatycznych ujęć geometrii euklidesowej. Powstały również inne systemy geometrii euklidesowej, z których najbardziej znane to aksjomatykaaksjomatykaaksjomatyka Birkhoffa i aksjomatyka Tarskiego. System stworzony przez Alfreda Tarskiego miał na celu wykazanie rozstrzygalności geometrii euklidesowej.

Podane wyżej aksjomaty incydencji i aksjomat równoległości są częścią systemu Hilberta. Pozostałe aksjomaty tego systemu sformułowane są następująco:

Aksjomaty uporządkowania

1. Jeżeli punkt $B$ leży pomiędzy punktami $A$ i $C$, to punkty $A$, $B$, $C$ są różnymi punktami leżącymi na jednej prostej.

2. Dla dowolnych różnych punktów $A$, $C$ istnieje na prostej $AC$ punkt $B$ taki, że $C$ leży pomiędzy $A$ i $B$.

3. Dla dowolnych trzech różnych punktów $A$, $B$, $C$ leżących na jednej prostej, jeden i tylko jeden leży pomiędzy pozostałymi dwoma.

4. Aksjomat Pascha: Dla dowolnych trzech punktów $A$, $B$, $C$, które nie leżą na jednej prostej i prostej $l$ leżącej w płaszczyźnie $ABC$, lecz nie zawierającej żadnego z punktów $A$, $B$, $C$: jeśli prosta $l$ ma punkt wspólny z odcinkiem $AB$, to ma również punkt wspólny z odcinkiem $AC$ lub odcinkiem $BC$.

Aksjomaty przystawania

1. Dla danych różnych punktów $A$, $B$ leżących na prostej $l$ i danego punktu $A\text{'}$ na prostej $l\text{'}$, istnieje dokładnie jeden punkt $B\text{'}$ na prostej $l\text{'}$ po wybranej stronie punktu $A\text{'}$ na tej prostej taki, że odcinki $AB$ i $A\text{'}B\text{'}$ są przystające (czyli są tej samej długości).

2. Jeżeli odcinki $A\text{'}B\text{'}$ i $A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}$ są przystające do tego samego odcinka $AB$, to wówczas odcinek $A\text{'}B\text{'}$ przystaje do odcinka $A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}$.

3. Dla danej prostej $l$ i leżących na niej odcinków $AB$ i $BC$ takich, że ich jedynym punktem wspólnym jest $B$ oraz prostej $l\text{'}$ i leżących na niej odcinków $A\text{'}B\text{'}$ i $B\text{'}C\text{'}$ takich, że ich jedynym punktem wspólnym jest $B\text{'}$: jeżeli $AB$ przystaje do $A\text{'}B\text{'}$ i $BC$ przystaje do $B\text{'}C\text{'}$, to $AC$ przystaje do $A\text{'}C\text{'}$.

4. Jeżeli mamy kąt $\sphericalangle ABC$ i półprostą $B\text{'}C\text{'}$, to na każdej stronie prostej $B\text{'}C\text{'}$ istnieje dokładnie jedna półprosta $B\text{'}A\text{'}$ taka, że kąt $\sphericalangle A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ przystaje (czyli ma tę samą miarę) do kąta $\sphericalangle ABC$.

5. Jeśli dla dwóch trójkątów $ABC$ i $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ odcinki $AB$, $BC$ i $AC$ przystają odpowiednio do odcinków $A\text{'}B\text{'}$, $B\text{'}C\text{'}$ i $A\text{'}C\text{'}$, to trójkąty $ABC$ i $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ są przystające (cecha przystawania trójkątów $bbb$).

Aksjomat Archimedesa

Dla danych odcinków $AB$ i $CD$ istnieje taka liczba naturalna $n$, że odkładając odcinek $CD$ $n$–krotnie od punktu $A$ na prostej $AB$, punkt końcowy przekroczy punkt $B$.

Słownik