Przeczytaj
Na początku należy określić pojęcia pierwotne, czyli pojęcia których się nie definiuje, ale stosuje się jako fundamentalne, niezbędne do sformułowania aksjomatów i opisania teorii.
Pojęciami pierwotnymiPojęciami pierwotnymi geometrii przestrzennej są:
punkty,
proste,
płaszczyzny,
relacja incydencji, czyli relacja należenia punktu do prostej lub płaszczyzny.
Podając aksjomaty geometrii przestrzennej należy sformułować proste własności mające potwierdzenie w obserwacji rzeczywistości. Następnie stosujemy aksjomatyaksjomaty do wyprowadzania własności bardziej złożonych.
Aksjomaty incydencji
Aksjomat 1.
Każda prosta zawiera przynajmniej dwa różne punkty. Przez dwa różne punkty można poprowadzić dokładnie jedną prostą.
Aksjomat 2.
Istnieją trzy punkty, które nie należą do jednej prostej.
Aksjomat 3.
Każda płaszczyzna zawiera przynajmniej jeden punkt. Przez każde trzy punkty można przeprowadzić płaszczyznę. Przez każde trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej, można przeprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę.
Aksjomat 4.
Istnieją cztery punkty, które nie leżą na tej samej płaszczyźnie.
Aksjomat 5.
Jeśli prosta i płaszczyzna mają przynajmniej dwa różne punkty wspólne, to wszystkie punkty prostej należą do płaszczyzny.
Aksjomat 6.
Jeśli dwie płaszczyzny mają wspólny punkt, to mają więcej punktów wspólnych niż jeden.
Pokażemy, dlaczego stolik o trzech nogach ustawiony na równej podłodze nie chwieje się. Natomiast zdarza się, że stolik o czerech nogach się chwieje.
Rozwiązanie
Poniższy rysunek przedstawia schematycznie stolik o trzech nogach, które dotykają podłogi w trzech punktach. Ponieważ przez trzy niewspółliniowe punkty można poprowadzić tylko jedną płaszczyznę (aksjomat 3), podłoga jest właśnie tą płaszczyzną.
Aksjomat 4 mówi, że istnieją cztery punkty, które nie leżą na tej samej płaszczyźnie, więc w przypadku stolika o czterech nogach, może zdarzyć się, że stół się wykrzywi i wtedy trzy nogi będą stały na podłodze, a czwarta nie.
Przez prostą i punkt, który nie leży na tej prostej można poprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę.
Niech będzie prostą i niech będzie punktem, który nie leży na tej prostej.
Z aksjomatu 1, na prostej leżą przynajmniej dwa różne punkty , , więc z aksjomatu 3 wnioskujemy, że przez punkty , , można poprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę. Na mocy aksjomatu 5 cała prosta leży na tej płaszczyźnie, bo punkty i są punktami wspólnymi tej prostej i płaszczyzny. Zatem przez prostą i punkt można poprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę.
Powyższa własność pozwoli lepiej zrozumieć kolejny, bardzo ważny aksjomat.
Aksjomat równoległości (postulat Euklidesa)
Dla prostej i punktu , który nie leży na tej prostej, istnieje w płaszczyźnie zawierającej prostą i punkt dokładnie jedna prosta, która przechodzi przez i nie ma punktów wspólnych z .
Na podstawie udowodnionej wyżej własności istnieje dokładnie jedna płaszczyzna zawierająca prostą i punkt . Aksjomat równoległości mówi, że w tej płaszczyźnie istnieje dokładnie jedna prosta równoległa do prostej i przechodząca przez punkt .
Wprost z aksjomatu równoległości możemy zdefiniować proste równoległe w przestrzeni. Mówimy, że dwie proste są równoległe, jeżeli leżą na jednej płaszczyźnie i są równoległe na tej płaszczyźnie. Przyjmujemy, że równe proste są równoległe. Proste przecinają się, jeśli mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Dla danej prostej i punktu , który nie leży na tej prostej, istnieje w przestrzeni dokładnie jedna prosta równoległa do i przechodząca przez punkt .
Załóżmy, że istnieją dwie proste , równoległe do i przechodzące przez punkt . Wtedy z definicji równoległości proste i leżą w jednej płaszczyźnie oraz proste i leżą w jednej płaszczyźnie i obie te płaszczyzny są równe płaszczyźnie wyznaczonej przez prostą i punkt . Z aksjomatu równoległości wynika, że
Istnieje w przestrzeni wiele prostych równoległych do danej prostej, ale po wybraniu konkretnego punktu jest tylko jedna prosta równoległa do danej przechodząca przez ten punkt.
Na poniższym rysunku czerwona prosta jest prostą równoległą do prostej i przechodzącą przez punkt , leży ona na płaszczyźnie wyznaczonej prze punkty , , . Niebieska prosta jest prostą równoległą do prostej i przechodzącą przez punkt , leży ona na płaszczyźnie wyznaczonej przez punkty , , .
Przez dwie różne proste równoległe przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.
Przez dwie przecinające się proste przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.
Pominiemy dowód tej własności. Spróbujesz ją udowodnić samodzielnie w części „Sprawdź się”.
Pokażemy teraz kilka kolejnych wniosków z podanego zbioru aksjomatówaksjomatów.
Jeżeli dwie proste nie są równe, to mają nie więcej niż jeden punkt wspólny.
Załóżmy, że dwie proste mają co najmniej dwa punkty wspólne. Z aksjomatu 1 wynika, że przez te dwa punkty można poprowadzić dokładnie jedną prostą. Stąd dane dwie proste są równe.
Jeżeli dwie płaszczyzny mają jeden punkt wspólny, to mają wspólną prostą.
Aksjomat 6 mówi, że jeśli dwie płaszczyzny mają wspólny punkt, to mają więcej punktów wspólnych niż jeden. A skoro mają co najmniej dwa punkty wspólne, to z aksjomatu 1 wynika, że przez te dwa punkty można poprowadzić dokładnie jedną prostą. Ta prosta jest wspólną prostą obu płaszczyzn.
Wspólna prosta dwóch płaszczyzn nazywana jest krawędzią.
Pokażemy, że krawędź sześcianu leży na prostej wspólnej dwóch płaszczyzn zawierających sąsiednie ściany sześcianu.
Rozwiązanie
Wybierzmy krawędź z powyższego rysunku. Wierzchołki i należą do płaszczyzn zawierających ściany i . Stąd te płaszczyzny mają i jako punkty wspólne, więc prosta jest prostą wspólną tych płaszczyzn. Ponieważ punkty i leżą na tej prostej, to prosta zawiera krawędź .
Możliwe są tylko trzy położenia prostej względem płaszczyzny:
prosta może nie mieć żadnego punktu wspólnego z płaszczyzną,
prosta może mieć jeden punkt wspólny z płaszczyzną,
prosta może leżeć na płaszczyźnie.
Pokażemy, że istnieje prosta, która nie ma punktu wspólnego z płaszczyzną. Niech będzie daną płaszczyzną. Z aksjomatu 4 istnieje punkt , który nie leży na tej płaszczyźnie. Niech będzie dowolną prostą leżącą na płaszczyźnie . Niech będzie prostą równoległą do przechodząca przez punkt . Zauważmy teraz, że gdyby prosta miała punkt wspólny z płaszczyzną , to byłaby prostą równoległą do przechodzącą przez ten punkt. Stąd cała musiałaby leżeć na płaszczyźnie , a to nie jest możliwe, bo punkt nie należy do .
Pokażemy, że istnieje prosta, która ma jeden punkt wspólny z płaszczyzną. Niech będzie daną płaszczyzną. Z aksjomatu 4 istnieje punkt , który nie leży na tej płaszczyźnie. Niech będzie dowolnym punktem leżącym na płaszczyźnie . Z aksjomatu 1 istnieje prosta wyznaczona przez punkty i . Zauważmy teraz, że punkt jest jedynym punktem wspólnym prostej i płaszczyzny , bo w przeciwnym przypadku prosta leżałaby na tej płaszczyźnie, a to nie jest możliwe.
Jeżeli prosta ma dwa punkty wspólne z płaszczyzną, to leży na tej płaszczyźnie.
Jeżeli prosta nie ma punktu wspólnego z płaszczyzną lub leży na tej płaszczyźnie, to mówimy, że jest równoległa do tej płaszczyzny.
Jeżeli prosta ma jeden punkt wspólny z płaszczyzną, to mówimy, że przebija płaszczyznę, a punkt wspólny nazywamy punktem przebicia płaszczyzny tą prostą.
Wskażemy w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przedstawionym na poniższym rysunku przykłady prostych równoległych do płaszczyzn zawierających ściany oraz prostych przebijających ściany tego graniastosłupa.
Rozwiązanie
Proste zawierające krawędzie , i są równoległe do płaszczyzny zawierającej podstawę . Krawędź leży na prostej równoległej do płaszczyzny zawierającej ścianę . Krawędź jest krawędzią wspólną płaszczyzn zawierających ściany boczne oraz , więc leży w tych płaszczyznach i stąd jest do nich równoległa. Podobnie, pozostałe proste zawierające krawędzie boczne tego graniastosłupa są równoległe do ścian bocznych. Prosta zawierająca krawędź przebija płaszczyznę zawierającą podstawę w punkcie , a podstawę w punkcie .
Dla dowolnego punktu leżącego na płaszczyźnie i punktu nienależącego do płaszczyzny istnieje prosta przechodząca przez punkt i przebijająca płaszczyznę w punkcie .
Istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez punkty , . Punkt jest punktem wspólnym tej prostej i płaszczyzny. Gdyby istniał jeszcze jeden punkt wspólny tej prostej i płaszczyzny, to cała prosta należałaby do płaszczyzny, więc punkt też należałby do płaszczyzny, a to jest sprzeczne z założeniem.
Biatlon jest zimową dyscypliną sportu, łączącą biegi narciarskie ze strzelectwem. Na rysunku przedstawiony jest biatlonista strzelający do tarczy. Pokażemy w jaki sposób biatlonista trafia do tarczy.
Rozwiązanie
Popatrzmy na poniższy rysunek.
Karabinek wyposażony jest w celownik i tzw. muszkę na końcu lufy. Na celowniku ustawia się odległość do tarczy. Sportowiec celując ustawia karabinek tak, żeby prosta (linia wzroku) poprowadzona od oka przez celownik i muszkę przebijała płaszczyznę tarczy w wybranym obszarze. Pocisk wypuszczony z lufy karabinka porusza się po prostej wyznaczonej przez lufę. Jeśli strzał jest celny, to proste: linia wzroku i tor pocisku przebijają płaszczyznę tarczy w pewnym punkcie obszaru docelowego.
Dla każdej płaszczyzny istnieje płaszczyzna, która nie ma punktów wspólnych z daną płaszczyzną.
Niech i będą prostymi, które leżą na danej płaszczyźnie i przecinają się w punkcie .
Niech będzie punktem, który nie leży na płaszczyźnie (istnienie puntu gwarantuje aksjomat 4). Na mocy aksjomatuaksjomatu równoległości, przez punkt przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do prostej i dokładnie jedna prosta równoległa do prostej . Proste i przecinają się, więc wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę . Gdyby i miały punkt wspólny, to miałyby krawędź wspólną . Gdyby prosta miała punkt wspólny z jedną z prostych lub , to ta prosta leżałaby na płaszczyźnie , co jest niemożliwe. Z drugiej strony prosta leży na tej samej płaszczyźnie co i , więc jest równoległa do tych prostych, a to znowu jest niemożliwe, bo i nie są równoległe (przecinają się).
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi, jeśli są równe lub nie mają punktów wspólnych.
Wykorzystując pojęcie płaszczyzn równoległych możemy zauważyć, że prosta jest równoległa do płaszczyzny, jeśli leży na płaszczyźnie równoległej do danej płaszczyzny.
Na powyższym rysunku przedstawiono dwie równoległe płaszczyzny oraz prostą, która przebija jedną płaszczyznę w punkcie , a drugą płaszczyznę w punkcie . Proste , i są równoległe do obu płaszczyzn.
Dwie proste są skośne, jeśli nie mają punktów wspólnych i nie istnieje płaszczyzna, do której obie proste należą. Innymi słowy, proste skośne nie mają punktu wspólnego i nie są równoległe.
Poniższy rysunek przedstawia proste skośne.
Pokażemy płaszczyzny równoległe, proste równoległe i proste skośne na przykładzie poniższego sześcianu.
Rozwiązanie
Przeciwległe ściany sześcianu leżą w płaszczyznach równoległych.
Proste zawierające krawędzie , , , są parami równoległe do siebie i jednocześnie są równoległe do płaszczyzn zawierających ściany boczne sześcianu. Są również równoległe do płaszczyzn i .
Proste zawierające krawędzie , i są skośne do prostej zawierającej krawędź .
Dla zainteresowanych
Pierwszą próbę aksjomatyzacji geometrii podjął Euklides podając pięć aksjomatów, które dziś brzmią archaicznie:
Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.
Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie (uzyskując prostą).
Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym jego długości.
Wszystkie kąty proste są przystające.
Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony.
Dla geometrii na płaszczyźnie piąty z aksjomatów, zwany postulatem Euklidesa lub postulatem równoległości, można sformułować następująco:
5’. Przez dany punkt nienależący do danej prostej można poprowadzić jedną prostą rozłączną z daną prostą.
Geometrię, w której prawdziwe są wszystkie podane aksjomaty Euklidesa nazywa się geometrią euklidesową. Odrzucenie piątego aksjomatu prowadzi do geometrii, które nazywane są geometriami nieeuklidesowymi. W drugiej połowie w. zauważono, że aksjomaty podane przez Euklidesa nie są wystarczające o udowodnienia prawdziwości lub fałszywości wszystkich zdań, które można wyrazić w języku geometrii, czyli pokazano, że system aksjomatów Euklidesa nie jest zupełny.
W r. David Hilbert podał pełny zestaw aksjomatówaksjomatów, który jest dziś podstawą większości aksjomatycznych ujęć geometrii euklidesowej. Powstały również inne systemy geometrii euklidesowej, z których najbardziej znane to aksjomatykaaksjomatyka Birkhoffa i aksjomatyka Tarskiego. System stworzony przez Alfreda Tarskiego miał na celu wykazanie rozstrzygalności geometrii euklidesowej.
Podane wyżej aksjomaty incydencji i aksjomat równoległości są częścią systemu Hilberta. Pozostałe aksjomaty tego systemu sformułowane są następująco:
Aksjomaty uporządkowania
Jeżeli punkt leży pomiędzy punktami i , to punkty , , są różnymi punktami leżącymi na jednej prostej.
Dla dowolnych różnych punktów , istnieje na prostej punkt taki, że leży pomiędzy i .
Dla dowolnych trzech różnych punktów , , leżących na jednej prostej, jeden i tylko jeden leży pomiędzy pozostałymi dwoma.
Aksjomat Pascha: Dla dowolnych trzech punktów , , , które nie leżą na jednej prostej i prostej leżącej w płaszczyźnie , lecz nie zawierającej żadnego z punktów , , : jeśli prosta ma punkt wspólny z odcinkiem , to ma również punkt wspólny z odcinkiem lub odcinkiem .
Aksjomaty przystawania
Dla danych różnych punktów , leżących na prostej i danego punktu na prostej , istnieje dokładnie jeden punkt na prostej po wybranej stronie punktu na tej prostej taki, że odcinki i są przystające (czyli są tej samej długości).
Jeżeli odcinki i są przystające do tego samego odcinka , to wówczas odcinek przystaje do odcinka .
Dla danej prostej i leżących na niej odcinków i takich, że ich jedynym punktem wspólnym jest oraz prostej i leżących na niej odcinków i takich, że ich jedynym punktem wspólnym jest : jeżeli przystaje do i przystaje do , to przystaje do .
Jeżeli mamy kąt i półprostą , to na każdej stronie prostej istnieje dokładnie jedna półprosta taka, że kąt przystaje (czyli ma tę samą miarę) do kąta .
Jeśli dla dwóch trójkątów i odcinki , i przystają odpowiednio do odcinków , i , to trójkąty i są przystające (cecha przystawania trójkątów ).
Aksjomat Archimedesa
Dla danych odcinków i istnieje taka liczba naturalna , że odkładając odcinek –krotnie od punktu na prostej , punkt końcowy przekroczy punkt .
Słownik
wybrane zdanie prawdziwe intuicyjnie proste, którego nie dowodzi się w danej teorii matematycznej
zbiór aksjomatów, z którego dowodzi się pozostałe twierdzenia danej teorii matematycznej
pojęcia których się nie definiuje, ale stosuje się jako fundamentalne, niezbędne do sformułowania aksjomatów i opisania danej teorii matematycznej