Warto przeczytać

Natężenie pola grawitacyjnegonatężenie pola grawitacyjnegoNatężenie pola grawitacyjnego wyraża się następującym wzorem:

gdzie: $\gamma$ – natężenie pola grawitacyjnego, [$\gamma$] = N/kg = m/sIndeks górny 2²,
$G$ – stała grawitacji (G = 6,67 · 10Indeks górny -11^-11 mIndeks górny 3³/(kg · sIndeks górny 2²)),
$M$ – masa ciała centralnego,
m - masa ciała próbnego,
$\overrightarrow{r}$ – wektor położenia masy próbnej, gdy masa centralna znajduje się w środku układu współrzędnych.

Narysujmy wykres zależności natężenia pola grawitacyjnego Ziemi od odległości od środka Ziemi. Zacznijmy od sytuacji, gdy $r>R_Z$ (Rys. 1.). Widać, że natężenie maleje wraz z kwadratem odległości i dąży do zera w nieskończoności.

ReDHIEFBTWo3K

Rys. 1. Rysunek przedstawia układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono odległość od Ziemi oznaczoną literą małe r, a na osi pionowej natężenie pola grawitacyjnego oznaczone grecką literą gamma. Wykres ma kształt zbliżony do hiperboli. Zaczyna się w punkcie leżącym na prawo od osi pionowej i powyżej osi poziomej. Od punktu wielkie R zaznaczonego na osi poziomej opada w dół i w prawo zbliżając się asymptotycznie do osi poziomej. Nad wykresem zapisano zależność: grecka litera gamma proporcjonalna do jeden dzielone przez małe r do kwadratu.

Jak wygląda sytuacja dla $r<R_Z$, czyli dla wnętrza kuli ziemskiej? Zanim zaczniemy nasze rozważania, przyjmijmy pewne założenia:

1. Ziemia ma kształt kuli, a jej gęstość ${\rho }_z$ jest taka sama w każdym miejscu (zatem materia rozmieszczona jest jednorodnie w jej wnętrzu);

2. Ciało znajdujące się wewnątrz jednorodnie naładowanej planety, w odległości $r$ mniejszej od jej promienia $R$, jest przyciągane tylko przez część kuli o promieniu mniejszym niż $r$.

Dlaczego tak się dzieje? Aby to wyjaśnić, przypomnijmy sobie, o czym mówi prawo Gaussa. Wcześniej jednak kilka słów przypomnienia o polu elektrycznym, które ma pewne elementy analogiczne do pola grawitacyjnego. Otóż zarówno jedno, jak i drugie pole ma swoje źródło: w przypadku pierwszego jest to ładunek elektrycznyładunek elektrycznyładunek elektryczny $Q$, zaś w przypadku drugiego – masa grawitacyjnamasa grawitacyjnamasa grawitacyjna $M$. Zarówno prawo Coulomba, jak i prawo powszechnego ciążenia Newtona mówią, że siła zależy od iloczynu – odpowiednio – ładunków / mas oraz kwadratu odległości $r$ między nimi.

Tab. 1. Porównanie wybranych cech pola elektrycznego i grawitacyjnego.

Dla pola elektrycznego obowiązuje prawo Gaussa mówiące, że strumień wektora natężenia pola przez zamkniętą powierzchnię jest proporcjonalny do ładunku zawartego wewnątrz tej powierzchni, nie zależy on zaś od jego rozmieszczenia. Czy zatem, jeśli te pola mają podobny charakter (Tab. 1.), można sformułować analogiczne prawo dla grawitacji? Okazuje się, że tak. Jeśli zamiast ładunku będziemy rozważali masę grawitacyjną zauważymy, że natężenie nie będzie zależne od rozmieszczenia tej masy wewnątrz kulistej powierzchni. Możemy zatem zapisać, że natężenie pola grawitacyjnego zmienia się wraz z odległością $r$ w następujący sposób:

dla $r<R$ mamy $M=\frac{4}{3}\pi r^3{\rho }_z$

Wewnątrz Ziemi mamy zatem:

Wiedząc, że $G\frac{4\pi {\rho }_z}{3}=const.$ możemy oznaczyć to stałe wyrażenie, np. literą $A$. Mamy więc:

Możemy zatem zauważyć, że natężenie pola grawitacyjnego we wnętrzu naszej planety rośnie liniowo wraz z odległością $r$ od jej środka. Pamiętając, że $r<R$, możemy uzupełnić wykres z Rys. 1.

RADCk4HUsRxuT

Rys. 2. Rysunek przedstawia układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono odległość od Ziemi oznaczoną literą małe r, a na osi pionowej natężenie pola grawitacyjnego oznaczone grecką literą gamma. Wykres składa się z dwóch części. Lewa część wykresu to odcinek zaczynający się w początku układu współrzędnych, skierowany w prawo i w górę i kończący się w punkcie, którego współrzędna odległości oznaczona jest literą wielkie R. Nad odcinkiem zapisano zależność: grecka litera gamma proporcjonalna do małe r. Druga część wykresu zaczyna się w końcowym punkcie pierwszego odcinka i ma kształt zbliżony do hiperboli, która opada w dół i w prawo zbliżając się asymptotycznie do osi poziomej. Nad drugą częścią wykresu zapisano zależność: grecka litera gamma proporcjonalna do jeden dzielone przez małe r do kwadratu.

Słowniczek