W tej lekcji nauczymy się rysować wykresy proporcjonalności odwrotnejproporcjonalność odwrotnaproporcjonalności odwrotnej.
Przykład 1
Narysujemy wykres funkcji .
Rozwiązanie
Aby narysować wykres funkcji należy wyznaczyć współrzędne kilku punktów, które należą do jego wykresu, czyli np. wykonać tabelkę:
R1YIvXnIJSvnA
Wykres funkcji , gdzie , nazywamy hiperboląhiperbolahiperbolą. Składa się ona z dwóch rozłączynych krzywych zwanych gałęziami hiperboligałąź hiperboligałęziami hiperboli.
Przykład 2
Odczytamy z wykresu własności funkcji .
Rozwiązanie
Wykresem funkcji jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.
Dziedzina funkcji: .
Zbiór wartości funkcji: .
Funkcja nie ma miejsc zerowych.
Wykres funkcji nie przecina osi .
Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: , .
dla .
dla .
Funkcja jest różnowartościowa.
Funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani największej.
Wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, czyli względem punktu .
Wykres funkcji jest symetryczny względem prostej oraz .
Wykres funkcji ma asymptotęasymptotaasymptotę poziomą o równaniu: , która pokrywa się z osią .
Wykres funkcji ma asymptotę pionową o równaniu: , która pokrywa się z osią .
Ważne!
Własności funkcji nie zmieniają się wraz ze zmianą współczynnika , o ile .
Przykład 3
Wiedząc, że do wykresu funkcji należy punkt wyznaczymy kilka innych punktów, które również należą do wykresu tej funkcji.
Rozwiązanie
Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru funkcji:
czyli wszystkie pary , dla których również należą do wykresu tej funkcji. Są to np. ; , , .
Inny sposób wyznaczania punktów, które należą do wykresu funkcji:
Jeśli znamy wzór funkcji , to aby obliczyć należy pod podstawić daną wartość i obliczyć. Np.
, czyli punkt też należy do wykresu tej funkcji.
Przykład 4
Narysujemy wykres funkcji wiedząc, że do jej wykresu należy punkt .
Rozwiązanie
Należy najpierw wyznaczyć współczynnik we wzorze funkcji.
Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru funkcji:
Zatem należy narysować wykres funkcji .
Rk4triJBa3uYw
Przykład 5
Wykorzystajmy wykres funkcji do rozwiązania nierówności .
ReknQYLmznJFl
Odpowiedź:
Przykład 6
Obliczymy pole każdego z prostokątów, którego dwa boki zawarte są w osiach układu współrzędnych, a jeden z wierzchołków należy do wykresu funkcji .
Rozwiązanie
R1NWPfKayv0BZ
Rozwiążmy zadanie dla prostokąta . Zauważmy, że wierzchołek , który należy do wykresu funkcji ma współrzędne . Zatem długość jednego boku prostokąta wynosi , a drugiego .
Obliczamy pole:
.
Analogicznie można obliczyć pole prostokąta oraz
Z powyższych obliczeń wynika, że pole każdego utworzonego w ten sposób prostokąta zawsze jest równe .
Słownik
proporcjonalność odwrotna
proporcjonalność odwrotna
zależność między dwiema zmiennymi wielkościami i , przy której iloczyn jest wielkością stałą, tzn., że istnieje taka stała , dla której lub równoważnie ; wielkości i nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi
hiperbola
hiperbola
wykres funkcji , gdzie
gałąź hiperboli
gałąź hiperboli
każda z dwóch rozłącznych krzywych, z których składa się hiperbola
asymptota
asymptota
prosta jest asymptotą danej krzywej, jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej odległość tego punktu od prostej dąży do zera, asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji