Przeczytaj

Wzajemne położenie krawędzi

Graniastosłup o podstawie $n$ –kąta ma $3 n$ krawędzi ( $2 n$ krawędzi podstawy, $n$ krawędzi bocznych) oraz $n + 2$ ściany (dwie podstawy i $n$ ścian bocznych).

Przypomnijmy, że proste w przestrzeni mogą być równoległe, przecinające się lub skośne. Dwie proste w przestrzeni są równoległe, jeżeli leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych. Mówimy, że proste w przestrzeni są prostopadłe, gdy przecinają się pod kątem prostym lub proste powstałe przez ich przesunięcie równoległe przecinają się pod kątem prostym.

Prosta jest prostopadła do płaszczyzny, gdy jest prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie. Dwie płaszczyzny są prostopadłe, gdy istnieje prosta zawarta w pierwszej płaszczyźnie prostopadła do drugiej płaszczyzny.

Zbadamy wzajemne położenie krawędzi i ścian w graniastosłupie.

Przykład 1

W graniastosłupie przedstawionym na rysunku wskażemy pary krawędzi równoległych.

R17xaJmBPMTdC

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie trójkąta. Dolna podstawa ma trójkąt A B C, natomiast górna podstawa ma trójkąt A prim, B prim, C prim. Krawędzie boczne łączą ze sobą punkty: A z A prim, B z B prim, C z C prim. Ściany bryły są nachylone do płaszczyzny pod kątem ostrym.

Rozwiązanie

Krawędzie boczne są do siebie równoległe. Mamy zatem $A A' ∥ B B' ∥ C C'$ .

Odpowiadające sobie krawędzie podstawy są równoległe: $A B ∥ A^{'} B^{'}$ , $B C ∥ B^{'} C^{'}$ , $A C ∥ A^{'} C^{'}$ .

W graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłeprostopadłe do krawędzi podstawy.

Przykład 2

W graniastosłupie prostym przedstawionym na rysunku wskażemy krawędzie prostopadłe do krawędzi bocznych.

R4a4zl3OoSaIj

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trójkąta. Dolna podstawa ma trójkąt A B C, górna podstawa ma trójkąt K L M. Krawędzie boczne łączą wierzchołki: A z K, B z L, C z M.

Rozwiązanie

A zatem krawędzie $A B$ , $B C$ , $C A$ , $L M$ , $M K$ , $K L$ są prostopadłe do krawędzi $B L$ , $A K$ , $C M$ .

Jeżeli w podstawie graniastosłupa znajduje się wielokąt, którego boki są równoległe lub prostopadłe, to mamy dodatkowe równoległości i prostopadłości krawędzi w graniastosłupiekrawędź graniastosłupakrawędzi w graniastosłupie.

Przykład 3

Wyznaczymy krawędzie równoległe i prostopadłe domku z wprowadzenia.

RIX7oEMOQlg76

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty pięciokątny A B C D E O K L M N. Jego podstawy to dwa identyczne pięciokąty: A B C D E z kątami prostym przy wierzchołkach A i B oraz pięciokąt K L M N O z kątami prostymi przy wierzchołkach K i L. Bryła jest podstawiona na prostokątnej ścianie A B L K. Od krawędzi B L oraz A K odchodzą w górę dwie identyczne prostokątne ściany, odpowiednio: B C M L oraz A E O K. Od górnych krawędzi tych ścian odchodzą dwie identyczne ukośne ściany, które tworzą dach. Są to ściany C D N M oraz E O N D.

Rozwiązanie

Mamy równoległość krawędzi bocznych: $B L$ , $A K$ , $E O$ , $D N$ , $C M$ .

Mamy równoległość odpowiadających krawędzi podstawy: $A B ∥ L K, C D ∥ M N$ , $D E ∥ N O$ . Ponieważ krawędzie $B C$ i $A E$ są równoległe, to mamy $B C ∥ A E ∥ L M ∥ K O$ .

Ponieważ graniastosłup jest prosty, to krawędzie boczne $B L$ , $C M$ , $D N$ , $E O$ , $A K$ są prostopadłe do krawędzi podstawy $B A$ , $A E$ , $E D$ , $D C$ , $C B$ , $L K$ , $K O$ , $O N$ , $N M$ , $M L$ .

Ponadto krawędzie $A B$ i $K L$ są prostopadłe do $B C$ , $A E$ , $L M$ , $K O$ .

Wzajemne położenie ścian

Wiesz już, że podstawy graniastosłupa są równoległe.

RCu3OIPwAmPwB

Ilustracja przedstawia dwie figury. Różowym kolorem narysowano graniastosłup o podstawie trójkąta. Bryła leży na jednej z prostokątnych ścian. Niebieskim kolorem narysowano graniastosłup prosty o podstawie trójkąta. Bryła ustawiona jest na jednej z podstaw.

Jeżeli w podstawie są krawędzie równoległerównoległe, to ściany przechodzące przez te krawędzie również są równoległe.

Przykład 4

W graniastosłupie o podstawie trapezu równoramiennego przedstawionym na rysunku wskażemy krawędzie równoległe i ściany równoległe.

R1NhRuQH0DqGk

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie będącej trapezem równoramiennym. Dolna podstawa to trapez A B C D, górna podstawa to trapez E F G H. Krawędzie A B leży pod krawędzią E F i każda z nich jest dłuższą podstawą trapezu. Krawędź A D leży pod E F i każda z nich to lewe ramię trapezu. Krawędź B C leży pod F G, obie tworzą prawe ramię trapezu. Krawędź C D leży pod G H , obie tworzą górną, krótszą podstawę trapezu. Kolorem zielonym wyróżniono dużą prostokątną ścianę A B F E oraz kolorem różowym mniejszą od niej prostokątną ścianę D C G H.

Rozwiązanie

Krawędzie $A B$ i $C D$ są równoległe. Ściany $A B F E$ i $C D H G$ również są równoległe.

W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostopadłeprostopadłość płaszczyznprostopadłe do podstaw. W graniastosłupie prostym, w którego podstawie jest wielokąt, którego dwa boki są prostopadłe, ściany, których krawędziami są te boki również są prostopadłe.

Przykład 5

Rozważymy graniastosłup prosty jak na rysunku. Wskażemy ściany prostopadłe.

RMVPOeyNAC2t5

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trójkąta prostokątnego. Dolna podstawa to trójkąt A B C, kąt prosty znajduje się przy punkcie A. Górna podstawa to trójkąt D E F z kątem prostym przy wierzchołku D. Pionowe krawędzie boczne graniastosłupa to: A D, B E, C F.

Rozwiązanie

Kąt $B A C$ jest prosty. Kąt pomiędzy ścianami $A B E D$ i $A C F D$ również jest prosty.

Przykład 6

Rozważmy model domku z wprowadzenia. Jest on w kształcie graniastosłupa prostego pięciokątnego. Ustalimy, które ściany są prostopadłe, a które równoległe.

RexTsPhQmSjCE

Rozwiązanie

Ponieważ graniastosłup jest prosty, to każda ze ścian $A B L K$ , $B C M L$ , $C D N M$ , $D E O N$ , $A E O K$ jest prostopadła do podstaw $A B C D E$ i $K L M N O$ .

W pięciokącie, który jest podstawą dwa kąty są proste ( $C B A$ i $B A E$ ). A zatem mamy $A B L K ⊥ B C M L$ oraz $A B L K ⊥ A E O K$ .

Oczywiście podstawy $A B C D E$ i $K L M N O$ są równoległe.

Krawędzie $B C$ i $A E$ są równoległe, a zatem dla ścian mamy $B C M L ∥ A E O K$ .

Słownik

krawędź graniastosłupa

bok wielokąta, który jest ścianą graniastosłupa

równoległość prostych w przestrzeni

dwie proste są równoległe w przestrzeni, gdy leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych

prostopadłość prostych w przestrzeni

proste są prostopadłe w przestrzeni, gdy przecinają się pod kątem prostym lub proste powstałe przez przesunięcie równoległe tych prostych przecinają się pod kątem prostym.

prostopadłość płaszczyzn

dwie płaszczyzny są prostopadłe, gdy istnieje prosta zawarta w pierwszej płaszczyźnie prostopadła do drugiej płaszczyzny

Wprowadzenie

Aplet

Wzajemne położenie krawędzi

Wzajemne położenie ścian

Słownik