Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Wzajemne położenie krawędzi

Graniastosłup o podstawie n–kąta ma 3n krawędzi (2n krawędzi podstawy, n krawędzi bocznych) oraz n+2 ściany (dwie podstawy i n ścian bocznych).

Przypomnijmy, że proste w przestrzeni mogą być równoległe, przecinające się lub skośne. Dwie proste w przestrzeni są równoległe, jeżeli leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych. Mówimy, że proste w przestrzeni są prostopadłe, gdy przecinają się pod kątem prostym lub proste powstałe przez ich przesunięcie równoległe przecinają się pod kątem prostym.

Prosta jest prostopadła do płaszczyzny, gdy jest prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie. Dwie płaszczyzny są prostopadłe, gdy istnieje prosta zawarta w pierwszej płaszczyźnie prostopadła do drugiej płaszczyzny.

Zbadamy wzajemne położenie krawędzi i ścian w graniastosłupie.

Przykład 1

W graniastosłupie przedstawionym na rysunku wskażemy pary krawędzi równoległych.

R17xaJmBPMTdC

Rozwiązanie

Krawędzie boczne są do siebie równoległe. Mamy zatem AA'BB'CC'.

Odpowiadające sobie krawędzie podstawy są równoległe: ABA'B', BCB'C', ACA'C'.

W graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłeprostopadłość prostych w przestrzeniprostopadłe do krawędzi podstawy.

Przykład 2

W graniastosłupie prostym przedstawionym na rysunku wskażemy krawędzie prostopadłe do krawędzi bocznych.

R4a4zl3OoSaIj

Rozwiązanie

A zatem krawędzie AB, BC, CA, LM, MK, KL są prostopadłe do krawędzi BL, AK, CM.

Jeżeli w podstawie graniastosłupa znajduje się wielokąt, którego boki są równoległe lub prostopadłe, to mamy dodatkowe równoległości i prostopadłości krawędzi w graniastosłupiekrawędź graniastosłupakrawędzi w graniastosłupie.

Przykład 3

Wyznaczymy krawędzie równoległe i prostopadłe domku z wprowadzenia.

RIX7oEMOQlg76

Rozwiązanie

Mamy równoległość krawędzi bocznych: BL, AK, EO, DN, CM.

Mamy równoległość odpowiadających krawędzi podstawy: ABLK,CDMN, DENO. Ponieważ krawędzie BCAE są równoległe, to mamy BCAELMKO.

Ponieważ graniastosłup jest prosty, to krawędzie boczne BL, CM, DN, EO, AK są prostopadłe do krawędzi podstawy BA, AE, ED, DC, CB, LK, KO, ON, NM, ML.

Ponadto krawędzie ABKL są prostopadłe do BC, AE, LM, KO.

Wzajemne położenie ścian

Wiesz już, że podstawy graniastosłupa są równoległe.

RCu3OIPwAmPwB

Jeżeli w podstawie są krawędzie równoległerównoległość prostych w przestrzenirównoległe, to ściany przechodzące przez te krawędzie również są równoległe.

Przykład 4

W graniastosłupie o podstawie trapezu równoramiennego przedstawionym na rysunku wskażemy krawędzie równoległe i ściany równoległe.

R1NhRuQH0DqGk

Rozwiązanie

Krawędzie ABCD są równoległe. Ściany ABFECDHG również są równoległe.

W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostopadłeprostopadłość płaszczyznprostopadłe do podstaw. W graniastosłupie prostym, w którego podstawie jest wielokąt, którego dwa boki są prostopadłe, ściany, których krawędziami są te boki również są prostopadłe.

Przykład 5

Rozważymy graniastosłup prosty jak na rysunku. Wskażemy ściany prostopadłe.

RMVPOeyNAC2t5

Rozwiązanie

Kąt BAC jest prosty. Kąt pomiędzy ścianami ABEDACFD również jest prosty.

Przykład 6

Rozważmy model domku z wprowadzenia. Jest on w kształcie graniastosłupa prostego pięciokątnego. Ustalimy, które ściany są prostopadłe, a które równoległe.

RexTsPhQmSjCE

Rozwiązanie

Ponieważ graniastosłup jest prosty, to każda ze ścian ABLK, BCML, CDNM, DEON, AEOK jest prostopadła do podstaw ABCDEKLMNO.

W pięciokącie, który jest podstawą dwa kąty są proste (CBABAE). A zatem mamy ABLKBCML oraz ABLKAEOK.

Oczywiście podstawy ABCDEKLMNO są równoległe.

Krawędzie BCAE są równoległe, a zatem dla ścian mamy BCMLAEOK.

Słownik

krawędź graniastosłupa
krawędź graniastosłupa

bok wielokąta, który jest ścianą graniastosłupa

równoległość prostych w przestrzeni
równoległość prostych w przestrzeni

dwie proste są równoległe w przestrzeni, gdy leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych

prostopadłość prostych w przestrzeni
prostopadłość prostych w przestrzeni

proste są prostopadłe w przestrzeni, gdy przecinają się pod kątem prostym lub proste powstałe przez przesunięcie równoległe tych prostych przecinają się pod kątem prostym.

prostopadłość płaszczyzn
prostopadłość płaszczyzn

dwie płaszczyzny są prostopadłe, gdy istnieje prosta zawarta w pierwszej płaszczyźnie prostopadła do drugiej płaszczyzny