Przekrój bryły jest figurą płaską, będącą częścią wspólną płaszczyzny przekroju oraz danej bryły.

Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny podstawy walca pod kątem $60°$. Obliczymy pole tego przekroju, jeżeli objętość walca wynosi $54\sqrt{3}\pi$.

Rozwiązanie

Narysujmy walec i jego przekrój osiowy wraz z odpowiednim kątem, jak na rysunku.

R17uR31QRUjjZ

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem osiowym. W prostokącie o wymiarach h na d, gdzie h jest wysokością walca, natomiast d jest średnicą jego podstawy, zaznaczono także przekątną przekroju będącą pod kątem 60 stopni do średnicy d.

Ponieważ kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca ma miarę $60°$, zatem $h=d\sqrt{3}$.

Do wyznaczenia wartości $d$ wykorzystamy wzór na objętość walca $V=\pi r^2·h$.

Wobec tego

$V=\pi ·{\left(\frac{1}{2}d\right)}^2·d\sqrt{3}$

$54\sqrt{3}\pi =\pi ·\frac{1}{4}{d}^3\sqrt{3}$

$54=\frac{1}{4}{d}^3$

$d^3=216$, czyli $d=6$.

Przekrój osiowy walca z rysunku jest prostokątem o bokach odpowiednio $d=6$ oraz $d\sqrt{3}=6\sqrt{3}$. Zatem pole tego prostokąta wynosi:

$P=6·6\sqrt{3}=36\sqrt{3}$.

Przekrój poprzeczny walca jest kołem o polu $8\pi$. Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego walca, jeżeli wysokość walca jest $2$ razy dłuższa niż promień podstawy walca.

Rozwiązanie

Narysujmy walec, jego przekrój poprzeczny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RrItXo4pRFK9n

Ilustracja przedstawia walec o promieniu podstawy r oraz jego przekrój poprzeczny o promieniu r. Przekrój ten jest prostopadły do osi obrotu walca.

Pole przekroju poprzecznego walca jest równe polu podstawy walca. Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca, zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$8\pi =\pi ·r^2$, czyli $r=2\sqrt{2}$.

Jeżeli $h$ jest długością wysokości walca, to $h=2·r=2·2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.

Wobec tego pole powierzchni całkowitej walca wynosi:

$P_c=2\pi ·{\left(2\sqrt{2}\right)}^2+2·\pi ·2\sqrt{2}·4\sqrt{2}=16\pi +32\pi =48\pi$.

Przekrój walca płaszczyzną równoległą do osi symetrii jest kwadratem o przekątnej długości $6$, oddalonym od osi symetrii walca o $4$. Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego walca.

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że przekrój jest równoległy do osi obrotu walca.

Wobec tego narysujmy walec, jego przekrój płaszczyzną równoległą do osi obrotu oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1SauDLUqsGt0

Ilustracja przedstawia walec o promieniu r wraz z jego przekrojem równoległym do jego osi obrotu. Przekrój ten znajduje się wewnątrz bryły i jest prostokątem. Wysokość walca i zarazem dłuższa ściana boczna prostokąta ma długość a. Przekątna prostokąta ma długość d. Ze środka górnej podstawy poprowadzony został promień r łączący wierzchołek prostokąta ze środkiem górnej podstawy.

Do obliczenia pola powierzchni całkowitej walca musimy wyznaczyć długość promienia podstawy oraz wysokości walca.

Jeżeli przekrojem z rysunku jest kwadrat o przekątnej $d=6$, to

$a\sqrt{2}=6$, czyli $a=3\sqrt{2}$.

Wobec tego wysokość walca jest równa $3\sqrt{2}$.

Zauważmy, że odcinek, który jest odległością przekroju od osi symetrii walca, połowa długości boku kwadratu oraz promień podstawy walca tworzą trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

RKwuBXcvmHqTW

Ilustracja przedstawia walec o promieniu r wraz z jego przekrojem równoległym do jego osi obrotu. Przekrój ten znajduje się wewnątrz bryły i jest prostokątem. Wysokość walca i zarazem dłuższa ściana boczna prostokąta ma długość a. Przekątna prostokąta ma długość d. Ze środka górnej podstawy poprowadzony został promień r łączący wierzchołek prostokąta ze środkiem górnej podstawy. Ze środka górnej podstawy pod kątem prostym poprowadzono odcinek upuszczony na cięciwę górnej podstawy będącym równocześnie krótszym bokiem prostokąta.

Zatem, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, rozwiązujemy równanie:

$r^2=4^2+{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2$

$r^2=16+\frac{9}{2}=\frac{41}{2}$, czyli $r=\sqrt{\frac{41}{2}}=\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{82}}{2}$.

Wysokość walca jest równa długości boku kwadratu, będącego przekrojem tego walca.

Zatem pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe:

$P_c=2\pi ·{\left(\frac{\sqrt{82}}{2}\right)}^2+2\pi ·\frac{\sqrt{82}}{2}·3\sqrt{2}=41\pi +6\sqrt{41}\pi$.

Średnica podstawy, wysokość oraz przekątna przekroju osiowego walca są kolejnymi liczbami parzystymi. Wyznaczymy pole powierzchni tego przekroju.

Rozwiązanie

Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R6U6OSO52cs4k

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt będącym jego przekrojem osiowym. Promień podstawy walca ma długość r, a wysokość walca ma długość h. Wymiary ścian bocznych prostokąta to dwa r oraz h. Zaznaczono także przekątną prostokąta o długości d.

Ponieważ średnica podstawy, wysokość oraz przekątna przekroju osiowego walca są kolejnymi liczbami parzystymi, zatem:

$h=2r+2$,

$d=2r+4$.

Wielkości te tworzą trójkąt prostokątny, zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

${\left(2r\right)}^2+{\left(2r+2\right)}^2={\left(2r+4\right)}^2$

$4r^2+4r^2+8r+4=4r^2+16r+16$

$r^2-2r-3=0$

$r_1=\frac{2-4}{2}=-1<0$

$r_2=\frac{2+4}{2}=3>0$.

Zatem

$r=3$

$h=2·3+2=8$

Zauważmy, że średnica podstawy, wysokość oraz przekątna przekroju osiowego walca są kolejnymi liczbami parzystymi, co spełnia warunki zadania.

Przekrojem walca jest prostokąt o bokach $6$ i $8$, zatem jego pole jest równe:

$P=6·8=48$.

Na podstawach walca poprowadzono dwie równoległe średnice. Przez przeciwległe końce tych średnic poprowadzono płaszczyznę styczną do okręgów, będących brzegami podstaw, jak na rysunku. Powstały w ten sposób przekrój walca jest elipsą, której pole jest $4$ razy większe od pola podstawy walca. Obliczymy objętość walca, jeżeli wiadomo, że wielka oś elipsy jest równa $10$.

RdckL2Wggk7HC

Ilustracja przedstawia walec o promieniu r i wysokości h wraz z jego przekrojem będącym elipsą. Przekrój ten nie jest równoległy do żadnej ściany walca, jest on ustawiony pod kątem ostrym względem dolnej podstawy bryły. Na elipsie została zaznaczona jego wielka oś o długości dwa a oraz jego małą oś o długości dwa b.

Rozwiązanie

Zauważmy, że mała półoś elipsy jest równa długości promienia podstawy walca, zatem $r=b$.

Jeżeli $2a=10$, to $a=5$.

Ponieważ pole elipsy obliczamy ze wzoru $P=\pi ·a·b$ oraz to pole jest $4$ razy większe od pola podstawy walca, zatem:

$\pi ·a·r=4·\pi ·r^2$

$5=4·r$, czyli $r=\frac{5}{4}$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość wysokości $h$:

$h^2+{\left(2r\right)}^2={\left(2a\right)}^2$

$h^2+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2={10}^2$

$h^2+\frac{25}{4}=100$

$h=\frac{\sqrt{375}}{2}=\frac{5\sqrt{15}}{2}$

Zatem:

$V=\pi ·{\left(\frac{5}{4}\right)}^2·\frac{5\sqrt{15}}{2}=\pi ·\frac{25}{16}·\frac{5\sqrt{15}}{2}=\frac{125\sqrt{15}}{32}\pi$.

bryła obrotowa, która powstaje przez obrót prostokąta dookoła osi zawierającej jeden z jego boków

zbiór punktów, dla których suma odległości od dwóch danych punktów, zwanych ogniskami, jest stała