$k$–wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru $n$–elementowego, gdzie $k⩽n$, nazywamy dowolny $k$–wyrazowy ciąg utworzony z $k$ różnych elementów danego zbioru. Przyjmujemy, że liczby $k$ i $n$ są liczbami całkowitymi dodatnimi.

Przedstawmy $n$–elementowy zbiór jako worek z pięcioma literami: $a$, $b$, $c$, $d$ i $e$. Z naszego worka wyciągamy kolejno dwie litery i układamy je w dwuwyrazowy ciąg.  Oznacza to, że w tym przypadku $n=5$ oraz $k=2$.  W bardzo łatwy sposób możemy obliczyć liczbę wszystkich takich ciągów.

Pierwszy wyraz ciągu możemy wybrać na pięć sposobów, ponieważ w naszym worku znajduje się pięć liter. Załóżmy, że wybraliśmy literę $c$. To oznacza, że drugi wyraz możemy wybrać na cztery sposoby, ponieważ w worku pozostały tylko cztery litery. Załóżmy, że wybraliśmy literę $a$.

Otrzymany ciąg składający się z liter $c$ i $a$ jest jednym z $20$ wszystkich możliwych ciągów. Liczbę $20$ otrzymaliśmy wykonując działanie

Skorzystaliśmy tutaj z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia.

Mamy zatem $20$ wszystkich dwuwyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru pięcioelementowego.

Liczba $k$–wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru $n$–elementowego,
gdzie $k⩽n$, wynosi:

Pięć obcych osób wsiada do pustego wagonu, w którym jest dziesięć przedziałów. Każda z osób chce siedzieć sama. Zastanówmy się, na ile sposobów można ulokować te pięć osób w dziesięciu przedziałach.

W naturalny sposób przyporządkowujemy pięciu osobom numery przedziałów, które będą zajmowali. Mamy zbiór z numerami przedziałów i tworzymy z elementów tego zbioru pięciowyrazowy ciąg. Stąd wynika, że nasz parametr $k=5$, a parametr $n=10$. Mamy tutaj do czynienia z pięciowyrazowymi wariacjami bez powtórzeń zbioru dziesięcioelementowego.

Oznacza to, że liczbę sposobów na ulokowanie tych pięciu osób, można policzyć ze wzoru

Ten iloczyn możemy otrzymać wprost z reguły mnożenia. Pierwsza osoba może zająć jeden z dziesięciu przedziałów, druga osoba jeden z dziewięciu przedziałów, itd. Nie ma zatem konieczności odwoływania się wprost do wariacji, wystarczy zwykła reguła mnożeniareguła mnożeniareguła mnożenia.

Szyfr składa się z dwóch bloków. Pierwszy blok składa się z trzech różnych wielkich liter spośród $26$ liter alfabetu angielskiego, po czym następuje blok trzech różnych cyfr wybranych spośród wszystkich dziesięciu cyfr. Ile różnych szyfrów można w ten sposób stworzyć?

Rozwiązanie

Pierwszy z bloków tego szyfru możemy utożsamić z trójwyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru dwudziestosześcioelementowego, a drugi z bloków możemy utożsamić z trójwyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru dziesięcioelementowego. Aby otrzymać liczbę wszystkich możliwych szyfrów, należy pomnożyć liczby tych wariacji, zgodnie z regułą mnożenia.

Liczbę szyfrów wyliczamy ze wzoru:

Odpowiedź

Można w ten sposób utworzyć $11232000$ takich szyfrów.

$k$–wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru $n$–elementowego nazywamy każdy $k$–wyrazowy ciąg elementów z tego zbioru, w którym elementy mogą się powtarzać (mogą wystąpić co najwyżej $k$ razy). Liczbę wariacji z powtórzeniami obliczamy ze wzoru

Obliczymy, ile można utworzyć liczb trzycyfrowych z cyfr ze zbioru $\left\{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9\right\}$.

Rozwiązanie

Mamy do wyboru siedem cyfr, zatem nasz zbiór jest siedmioelementowy. Ciąg jest z kolei trzyelementowy, a cyfry mogą się w nim powtarzać. Nie mamy w zbiorze zera, zatem nie mamy ograniczeń co do ustawienia cyfr w liczbie.

Przykłady liczb: $222$, $369$, $522$.

Zatem:
$n^k=7^3=343$.

Gracz rzuca w jednej turze trzema różnymi kostkami $\text{k20}$ (kostkami dwudziestościennymi): białą, czarną i zieloną. Ile jest możliwych wyników takiego rzutu?

Rozwiązanie

Oczywiście istnieje możliwość, aby na wszystkich kostkach wypadła taka sama liczba oczek.

Przykłady wyników: $\left(18,\ 19,\ 10\right)$, $\left(12,\ 10,\ 17\right)$, $\left(6,\ 6,\ 6\right)$.

Zatem mamy:
$n$ – liczba oczek: $\left\{1, 2, \dots , 20\right\}$,
$k$ – liczba kostek: $3$.

Zatem podstawiamy liczby do wzoru.

$n^k=20^3=8000$.

Joanna postanowiła narysować dwie figury. Założyła, że będą to dwa $m$–kąty foremne dla $m\in\left\{3,\ 4,\ \dots,\ 30\right\}$. Pierwszą figurę Joanna narysuje czerwonym atramentem z lewej strony kartki, a drugą zielonym z prawej. Konfiguracje brył są dowolne. Ile par figur może narysować Joanna?

Rozwiązanie

Określmy najpierw przykłady możliwych konfiguracji figur na rysunku. W związku z tym, że nie mamy żadnych ograniczeń, przyjmujemy, że figury na rysunku mogą być zarówno m‑kątami o różnej liczbie wierzchołków, jak i wielokątami o równej liczbie wierzchołków. Joanna może zatem narysować na przykład takie pary figur: $\left(3,\ 10\right)$, $\left(30,\ 12\right)$, $\left(6,\ 6\right)$, gdzie liczby w ciągu oznaczają liczbę wierzchołków wybranego $m$–kąta, a kolejność figur wskazuje na umieszczenie figur na kartce oraz na ich kolor. Zauważmy, że para $\left(4,\ 5\right)$ oraz $\left(5,\ 4\right)$ są rozróżnialne, ponieważ pierwsza para składa się z czerwonego kwadratu narysowanego po lewej stronie kartki i zielonego pięciokąta po prawej stronie kartki. Druga para z kolei składa się z czerwonego pięciokąta narysowanego po lewej stronie kartki i z zielonego kwadratu po prawej stronie kartki.

Mamy zatem następujące wartości:
$n$ – liczba wartości przyjmowanych przez parametr $m$ w każdym ze zbiorów: $28$,
$k$ – liczba wylosowanych figur: $2$.

Zatem podstawiamy liczby do wzoru.

$n^k=28^2=784$.

Ile można stworzyć różnych pięciocyfrowych liczb z cyfr ze zbioru $\left\{1,\ 2\right\}$?

Rozwiązanie

Zauważmy, że mamy znaleźć różne liczby. Czy zatem nie możemy skorzystać ze wzoru na liczbę wariacji bez powtórzeń, skoro liczby nie mogą się powtarzać? Otóż nie. Brak możliwości powtórzeń dotyczy powstałych liczb, a nie cyfr w obrębie danej liczby. Cyfry mogą się powtarzać. Będą to zatem wariacje z powtórzeniami.

Przykłady liczb: $11221$, $22112$, $11111$.

Mamy zatem następujące wartości:
$n$ – liczba osób: $2$,
$k$ – liczba kostek: $5$.

Zatem podstawiamy liczby do wzoru.

$n^k=2^5=32$.

Ile liczb sześciocyfrowych możemy skonstruować, używając cyfr ze zbioru $\left\{1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 8\right\}$, jeżeli

1. cyfry w liczbach nie mogą się powtarzać,

2. cyfry w liczbach mogą się powtarzać?

Rozwiązanie

1. Określmy jakie liczby możemy utworzyć, nie powtarzając cyfr.
   Przykłady liczb: $123578$, $328751$, $813257$.
   Mamy więc taką sytuację: jako cyfrę setek tysięcy w liczbie możemy użyć dowolną z sześciu cyfr. Jako dziesiątek tysięcy dowolną z pięciu, ponieważ jedna została wykorzystana. Jako cyfrę tysięcy możemy ustawić jedną z czterech cyfr i tak dalej. Zatem, korzystając z reguły mnożenia, zapiszmy
   $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=6!=720$.
   Możemy również skorzystać ze wzoru na liczbę wariacji bez powtórzeń, przy czym
   $n$ - liczba cyfr w zbiorze: $6$,
   $k$ - liczba cyfr w liczbie sześciocyfrowej: $6$.
   Podstawiamy liczby do wzoru.
   $\frac{n!}{\left(n-k\right)!}=\frac{6!}{\left(6-6\right)!}=\frac{720}{0!}=\frac{720}{1}=720$

2. Określmy, jakie liczby możemy utworzyć, jeśli cyfry w liczbie mogą się powtarzać.
   Przykłady liczb: $123578$, $323151$, $555555$.
   Mamy więc taką sytuację: jako cyfrę setek tysięcy w liczbie możemy użyć dowolną z sześciu cyfr. Jako dziesiątek tysięcy dowolną z sześciu, ponieważ cyfry mogą się powtarzać. Jako cyfrę tysięcy możemy ustawić jedną z sześciu cyfr i tak dalej. Zatem, korzystając z reguły mnożenia, zapiszmy
   $6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=46656$.
   Możemy również skorzystać ze wzoru na liczbę wariacji z powtórzeniami, przy czym
   $n$ – liczba cyfr w zbiorze: $6$,
   $k$ – liczba cyfr w liczbie sześciocyfrowej: $6$.
   Podstawiamy liczby do wzoru.
   $n^k=6^6=46656$

Jak widzimy, różnica w przypadku (a) i (b) jest znaczna.

Janek kupił zapięcie rowerowe na czterocyfrowy szyfr. Ile może ustawić konfiguracji szyfru przy założeniu, że

1. cyfry nie mogą się powtarzać,

2. cyfry mogą się powtarzać?

Rozwiązanie

1. Określmy jakie konfiguracje szyfru może utworzyć Janek, nie powtarzając cyfr.
   Przykłady szyfrów: $1563$, $0872$, $5467$.
   Mamy więc taką sytuację: jako pierwszą cyfrę szyfru Janek może użyć dowolną z dziesięciu cyfr. Jako drugą cyfrę, może użyć dowolną z dziewięciu, ponieważ jedna została wykorzystana. Jako trzecią cyfrę może ustawić jedną z ośmiu cyfr, a jako czwartą, jedną z siedmiu. Zatem, korzystając z reguły mnożenia, zapiszmy
   $10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot=5040$.
   Możemy również skorzystać ze wzoru na liczbę wariacji bez powtórzeń, przy czym
   $n$ – liczba cyfr w zbiorze: $10$,
   $k$ – liczba cyfr szyfru: $4$.
   Podstawiamy liczby do wzoru.
   $\frac{n!}{\left(n-k\right)!}=\frac{10!}{\left(10-4\right)!}=\frac{10!}{6!}=\frac{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1}=5040$

2. Określmy jakie konfiguracje szyfru może utworzyć Janek, jeśli założymy, że cyfry mogą się powtarzać.
   Przykłady szyfrów: $1563$, $0802$, $7777$.
   Mamy więc taką sytuację: jako pierwszą cyfrę szyfru Janek może użyć dowolną z dziesięciu cyfr. Jako drugą cyfrę, może użyć dowolną z dziesięciu, ponieważ cyfry mogą się powtarzać. Jako trzecią cyfrę może ustawić jedną z dziesięciu cyfr i jako czwartą, jedną z dziesięciu. Zatem, korzystając z reguły mnożenia, zapiszmy
   $10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot=10000$.
   Możemy również skorzystać ze wzoru na liczbę wariacji z powtórzeniami, przy czym
   $n$ – liczba cyfr w zbiorze: $10$,
   $k$ – liczba cyfr w kodzie szyfru: $4$.
   Podstawiamy liczby do wzoru.
   $n^k=10^4=10000$

Trzydzieścioro najlepszych uczniów wzięło udział w loterii zorganizowanej przez szkołę. Każdej z osób przydzielono pewną liczbę od jeden do trzydziestu zgodnie z kolejnością alfabetyczną. Każdy z uczniów wrzucił do urny karteczkę z liczbą mu przydzieloną. W loterii są trzy tury losowania nagród, przy czym każda z nich jest inna.

1. Ile istnieje możliwości wylosowania trzech zwycięzców przy założeniu, że jedna osoba może wygrać nie więcej, niż jedną nagrodę?
   (Podpowiedź: po wylosowaniu danego losu, odkładamy go na bok.)

2. Ile istnieje możliwości wylosowania trzech zwycięzców przy założeniu, że jedna osoba może wygrać więcej, niż jedną nagrodę?
   (Podpowiedź: po wylosowaniu danego losu, wrzucamy go z powrotem do puli.)

Rozwiązanie

W poleceniu podano informację, że każda z nagród jest inna. Czy jest to istotne? Otóż, gdybyśmy mieli trzy identyczne nagrody, to ciągi, np.: $\left(1,\ 5,\ 12\right)$, $\left(5,\ 1,\ 12\right)$ i $\left(12,\ 1,\ 5\right)$ były tożsame, gdyż kolejność wyrazów nie miałaby znaczenia, bo każda z wygranych osób wygrałaby to samo. W przypadku różnych nagród kolejność ma znaczenie, co wbrew pozorom ułatwia nam obliczenia, ponieważ, nie mając tożsamych ciągów, nie musimy ich odejmować od wyniku.

1. Określmy przykładowe konfiguracje wygranych losów przy założeniu, że po losowaniu odkładamy wygrany los na bok.
   Przykłady wygranych: $\left(1,\ 2,\ 3\right)$, $\left(5,\ 30,\ 12 \right)$, $\left(10,\ 11,\ 29\right)$.
   Mamy więc taką sytuację: pierwszym wyrazem ciągu może być dowolna liczba spośród trzydziestu zapisanych na losach. Drugim wyrazem ciągu może być już jedna z dwudziestu dziewięciu liczb, ponieważ los pierwszej wygranej osoby został odłożony. Trzecim wyrazem ciągu może być jedna z dwudziestu ośmiu liczb. Zatem, korzystając z reguły mnożenia, zapiszmy
   $30\cdot 29\cdot 28=24360$.
   Możemy również skorzystać ze wzoru na liczbę wariacji bez powtórzeń, przy czym
   $n$ – liczba osób w grupie: $30$,
   $k$ – liczba wygranych: $3$.
   Podstawiamy liczby do wzoru.
   $\frac{n!}{\left(n-k\right)!}=\frac{30!}{\left(30-3\right)!}=\frac{30!}{27!}=\frac{28\cdot 29\cdot 30}{1}=24360$

2. Określmy przykładowe konfiguracje wygranych losów przy założeniu, że jedna osoba może wygrać wszystkie trzy nagrody. To oznacza, że los wygranej osoby wraca do puli losów po każdym losowaniu.
   Przykłady wygranych: $\left(1,\ 2,\ 3\right)$, $\left(5,\ 12,\ 12 \right)$, $\left(10,\ 10,\ 10\right)$.
   Mamy więc taką sytuację: pierwszym wyrazem ciągu może być dowolna liczba  spośród trzydziestu zapisanych na losach. Drugim wyrazem ciągu może być jedna z trzydziestu liczb, ponieważ los pierwszej wygranej osoby wrócił do puli. Trzecim wyrazem ciągu może być również jedna z trzydziestu liczb. Zatem, korzystając z reguły mnożenia, zapiszmy
   $30\cdot 30\cdot 30=27000$.
   Możemy również skorzystać ze wzoru na liczbę wariacji z powtórzeniami, przy czym
   $n$ – liczba osób w grupie: $30$,
   $k$ – liczba wygranych: $3$.
   Podstawiamy liczby do wzoru.
   $n^k=30^3=27000$

regułę mnożenia (zasadę mnożenia) wykorzystujemy do zliczenia zdarzeń elementarnych dla doświadczeń losowych, które można podzielić na etapy; jeśli doświadczenie losowe możemy podzielić na dwa etapy i pierwszy etap możemy wykonać na $x$ sposobów, zaś drugi na $y$ sposobów, to całą czynność możemy wykonać na $x·y$ sposobów

moneta nieobciążona ani ze strony reszki, ani ze strony orła, prawdopodobieństwo wyrzucenia orła taką monetą jest równe prawdopodobieństwu wyrzucenia reszki i wynosi $\frac12$