Przeczytaj

W tym materiale pokażemy kilka przykładów zastosowania wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Będziemy korzystać z poniższego twierdzenia.

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

Twierdzenie: Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

Niech $Ω$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A \subset Ω$ i $A' \subset Ω$ .

Jeśli zdarzenia $A$ i $A'$ są zdarzeniami przeciwnymi, to:

P (A') = 1 - P (A)

Dowód

Załóżmy, że $A \subset Ω$ , $A' \subset Ω$ i $A$ , $A'$ są zdarzeniami przeciwnymi.

Wtedy $A \cap A' = \emptyset$ . Zdarzenia $A$ i $A'$ wykluczają się. Zatem obliczając prawdopodobieństwo ich sumy, korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się.

P (A \cup A') = P (A) + P (A')

Wiemy też, że $A \cup A' = Ω$ . Zatem:

P (A \cup A') = P (Ω) = 1

Porównujemy prawe strony otrzymanych równości.

P (A) + P (A') = 1

Stąd:

P (A') = 1 - P (A)

c.d.n.

Analizując wzór zawarty w twierdzeniu o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego, można zauważyć, że znając prawdopodobieństwo danego zdarzenia, można obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego i odwrotnie.

Przykład 1

Niech $Ω$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A \subset Ω$ i $A' \subset Ω$ . Obliczymy $P (A)$ i $P (A')$ wiedząc, że $P (A) = 4 \cdot P (A')$ .

Korzystamy z równości zapisanej w treści zadania i ze wzoru wynikającego z twierdzenia o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego. Zapisujemy odpowiedni układ równań i wyznaczamy najpierw $P (A')$ .

$\{\begin{cases} P (A) = 4 \cdot P (A') \\ P (A') = 1 - P (A) \end{cases}$

$\{\begin{cases} P (A) = 4 \cdot P (A') \\ P (A') = 1 - 4 \cdot P (A') \end{cases}$

$\{\begin{cases} P (A) = 4 \cdot P (A') \\ 5 \cdot P (A') = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} P (A) = 4 \cdot P (A') \\ P (A') = \frac{1}{5} \end{cases}$

Stąd $P (A) = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ .

Zadania z rachunku prawdopodobieństwa na ogół można rozwiązać kilkoma sposobami. Nad wykorzystaniem wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnegoprawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, zastanawiamy się, spotykając w treści zadania sformułowania typu „choć raz”, „co najmniej...”. Również zadania, w treści których znajduje się przeczenie, (np. nie wszystkie..., nie każdy..., nie jest podzielna...) wskazują, że warto rozważyć możliwość obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego.

Przykład 2

Z cyfr $7$ , $9$ , $5$ tworzymy liczby pięciocyfrowe. Z tak utworzonych liczb wybieramy jedną. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wybrana liczba nie jest podzielna przez $5$ .

Wynikiem doświadczenia jest wybranie liczby pięciocyfrowej, zbudowanej z podanych trzech cyfr.

Takich liczb jest $3^{5} = 243$ .

Zatem $|Ω| = 243$ .

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wybraniu liczby podzielnej przez $5$ ,
$A'$ – zdarzenie polegające na wybraniu liczby, która nie jest podzielna przez $5$ .

Liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $A$ łatwo wyznaczyć, bo cyfrą jedności każdej z takich liczb musi być $5$ .

Stąd: $|A| = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1 = 81$ .

Zakładamy, że wybór każdej z liczb jest jednakowo prawdopodobny.

$P (A) = \frac{81}{243} = \frac{1}{3}$

Teraz możemy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, czyli zdarzenia $A'$ .

$P (A') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wybrana liczba nie jest podzielna przez $5$ jest równe $\frac{2}{3}$ .

Przykład 3

Jury konkursu Przeboje świata składa się z dziesięciu osób. W czasie prezentacji uczestników, jurorzy siedzą w jednym rzędzie. Przed zajęciem miejsc, losują numery foteli, na których zasiądą. Obliczymy, jakie jest prawdopodobieństwo, że pani Miła i pan Bardzomiły nie będą siedzieć obok siebie.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że pani Miła $(M)$ i pan Bardzomiły $(B)$ usiądą obok siebie,
$A'$ – zdarzenie polegające na tym, że pani Miła $(M)$ pan Bardzomiły $(B)$ nie będą siedzieć obok siebie.

Obliczymy najpierw, ile jest możliwości zdarzenia polegającego na tm, że pani Miła $(M)$ i pan Bardzomiły $(B)$ usiądą bok siebie.

Pani Miła i pan Bardzomiły mogą siedzieć w porządku $M B$ lub $B M$ – dwie możliwości.

Para ta może usiąść na $1$ i $2$ miejscu, $2$ i $3$ miejscu, ..., $9$ i $10$ miejscu – $9$ możliwości.

Jeśli pani Miła i pan Bardzomiły zajmą miejsca, to pozostałe osoby mogą usiąść na $10 - 2 = 8$ miejscach na $8!$ sposobów.

Zatem

$|A| = 2 \cdot 9 \cdot 8! = 18 \cdot 8!$

Jurorzy zajmują miejsca w sposób losowy, więc

$|Ω| = 10!$

Korzystamy z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:

$P (A) = \frac{18 \cdot 8!}{10!} = \frac{18}{9 \cdot 10} = \frac{1}{5}$

Teraz już możemy wyznaczyć szukane prawdopodobieństwo:

$P (A') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że pani Miła i pan Bardzomiły nie będą siedzieć obok siebie jest równe $\frac{4}{5}$ .

Przykład 4

Spośród $4$ kobiet i $8$ mężczyzn wybrano w sposób losowy $3$ osoby, które poddano testom na prawdomówność. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wśród wybranych osób jest co najmniej jedna kobieta.

Oznaczmy:
$K$ – zdarzenie polegające na tym, że wśród wybranych jest co najmniej jedna kobieta.

Zdarzeniu $K$ odpowiadają trzy możliwości – wybrana została jedna kobieta, wybrane zostały dwie kobiety, wybrane zostały trzy kobiety. Aby nie rozpatrywać trzech możliwości, wygodniej jest określić najpierw prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego $K'$ – wybrani zostali sami mężczyźni.

Wybierane są trzy osoby z dwunastu, zatem $|Ω| = (\binom{12}{3}) = 220$ .

Zdarzeniu $K'$ sprzyja tyle zdarzeń elementarnych, ile jest trzyelementowych kombinacji zbioru ośmioelementowego.

$|K'| = (\binom{8}{3}) = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56$

Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest więc równe

$P (K') = \frac{56}{220} = \frac{14}{55}$

Obliczamy wreszcie prawdopodobieństwo zdarzenia $K$ .

$P (K) = 1 - \frac{14}{55} = \frac{41}{55}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wśród wybranych osób jest co najmniej jedna kobieta, jest równe $\frac{41}{55}$ .

Przykład 5

W torebce było $n$ cukierków, wśród których były dwa cukierki czekoladowe. Kuba wyciągnął w sposób losowy dwa cukierki z torebki. Prawdopodobieństwo, że wyciągnie przynajmniej jeden cukierek czekoladowy jest równe $\frac{19}{55}$ . Obliczymy ile było cukierków w torebce.

Obliczamy najpierw prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnegoprawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego $N$ – Kuba nie wyciągnął ani jednego cukierka czekoladowego.

$P (N) = \frac{(\binom{n - 2}{2})}{(\binom{n}{2})} = \frac{(n - 2)!}{2! \cdot (n - 4)!} \cdot \frac{(n - 2)! \cdot 2!}{n!} = \frac{(n - 3) (n - 2)}{n (n - 1)}$

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia $W$ – Kuba wyciągnie przynajmniej jeden cukierek czekoladowy jest równe

$P (W) = 1 - P (N) = 1 - \frac{(n - 3) (n - 2)}{n (n - 1)} = \frac{n (n - 1) - (n - 3) (n - 2)}{n (n - 1)}$

Wiemy, że liczba $P (W)$ jest równa $\frac{19}{55}$ .

Czyli

$\frac{n (n - 1) - (n - 3) (n - 2)}{n (n - 1)} = \frac{19}{55}$

Po przekształceniach otrzymujemy równanie kwadratowe $19 n^{2} - 239 n + 330 = 0$ , którego rozwiązaniami są liczby $\frac{30}{19}$ i $11$ .

Tylko druga z tych liczb spełnia warunki zadania (jako liczba naturalna).

Odpowiedź:

W torebce było $11$ cukierków.

Przed przystąpieniem do rozwiązania kolejnego zadania, przypomnimy dwa ważne twierdzenia, które pomogą nam w obliczeniach.

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Twierdzenie: Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Niech $Ω$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ .

Wówczas:

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Prawa de Morgana dla zdarzeń

Twierdzenie: Prawa de Morgana dla zdarzeń

Niech $Ω$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ .

(A \cup B)' = A' \cap B'

(A \cap B)' = A' \cup B'

Przykład 6

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych $\{1, 2, 3, . . ., 99, 100\}$ wylosowano jedną liczbę. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba nie jest podzielna ani przez $20$ , ani przez $30$ .

Z określeniem liczby elementów zbioru zdarzeń elementarnych nie mamy problemu:

$|Ω| = 100$ .

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba nie jest podzielna ani przez $20$ , ani przez $30$ .

Wypisanie wszystkich liczb, które nie są podzielne ani przez $20$ , ani przez $30$ jest dość pracochłonne.

Wiemy już, że w takich przypadkach warto rozważyć zdarzenie przeciwne.

Oznaczmy teraz:
$D$ – zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez $20$ ,
$T$ – zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez $30$ .

Wtedy:

$D = \{20, 40, 60, 80, 100\}$ , $|D| = 5$ i $P (D) = \frac{5}{100}$ ;

$T = \{30, 60, 90\}$ , $|T| = 3$ i $P (T) = \frac{3}{100}$ ;

$D \cap T = \{60\}$ , $|D \cap T| = 1$ i $P (D \cap T) = \frac{1}{100}$ .

Korzystając z praw de Morgana możemy zapisać

$A = D' \cap T' = (D \cup T)'$

Stąd

$P (A) = P [(D \cup T)'] = 1 - P (D \cup T) = 1 - P (D) - P (T) + P (D \cap T)$

$P (A) = 1 - \frac{5}{100} - \frac{3}{100} + \frac{1}{100} = \frac{93}{100}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba nie jest podzielna ani przez $20$ , ani przez $30$ jest równe $\frac{93}{100}$ .

Słownik

prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

niech $Ω$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A \subset Ω$ i $A' \subset Ω$ ; jeśli zdarzenia $A$ i $A'$ są zdarzeniami przeciwnymi, to:

P (A') = 1 - P (A)

Wprowadzenie

Animacja

Słownik