Przeczytaj
W tym materiale pokażemy kilka przykładów zastosowania wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Będziemy korzystać z poniższego twierdzenia.
Niech będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach i .
Jeśli zdarzenia i są zdarzeniami przeciwnymi, to:
Załóżmy, że , i , są zdarzeniami przeciwnymi.
Wtedy . Zdarzenia i wykluczają się. Zatem obliczając prawdopodobieństwo ich sumy, korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się.
Wiemy też, że . Zatem:
Porównujemy prawe strony otrzymanych równości.
Stąd:
c.d.n.
Analizując wzór zawarty w twierdzeniu o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego, można zauważyć, że znając prawdopodobieństwo danego zdarzenia, można obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego i odwrotnie.
Niech będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach i . Obliczymy i wiedząc, że .
Korzystamy z równości zapisanej w treści zadania i ze wzoru wynikającego z twierdzenia o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego. Zapisujemy odpowiedni układ równań i wyznaczamy najpierw .
Stąd .
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa na ogół można rozwiązać kilkoma sposobami. Nad wykorzystaniem wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnegoprawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, zastanawiamy się, spotykając w treści zadania sformułowania typu „choć raz”, „co najmniej...”. Również zadania, w treści których znajduje się przeczenie, (np. nie wszystkie..., nie każdy..., nie jest podzielna...) wskazują, że warto rozważyć możliwość obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego.
Z cyfr , , tworzymy liczby pięciocyfrowe. Z tak utworzonych liczb wybieramy jedną. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wybrana liczba nie jest podzielna przez .
Wynikiem doświadczenia jest wybranie liczby pięciocyfrowej, zbudowanej z podanych trzech cyfr.
Takich liczb jest .
Zatem .
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na wybraniu liczby podzielnej przez ,
– zdarzenie polegające na wybraniu liczby, która nie jest podzielna przez .
Liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu łatwo wyznaczyć, bo cyfrą jedności każdej z takich liczb musi być .
Stąd: .
Zakładamy, że wybór każdej z liczb jest jednakowo prawdopodobny.
Teraz możemy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, czyli zdarzenia .
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że wybrana liczba nie jest podzielna przez jest równe .
Jury konkursu Przeboje świata składa się z dziesięciu osób. W czasie prezentacji uczestników, jurorzy siedzą w jednym rzędzie. Przed zajęciem miejsc, losują numery foteli, na których zasiądą. Obliczymy, jakie jest prawdopodobieństwo, że pani Miła i pan Bardzomiły nie będą siedzieć obok siebie.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że pani Miła i pan Bardzomiły usiądą obok siebie,
– zdarzenie polegające na tym, że pani Miła pan Bardzomiły nie będą siedzieć obok siebie.
Obliczymy najpierw, ile jest możliwości zdarzenia polegającego na tm, że pani Miła i pan Bardzomiły usiądą bok siebie.
Pani Miła i pan Bardzomiły mogą siedzieć w porządku lub – dwie możliwości.
Para ta może usiąść na i miejscu, i miejscu, ..., i miejscu – możliwości.
Jeśli pani Miła i pan Bardzomiły zajmą miejsca, to pozostałe osoby mogą usiąść na miejscach na sposobów.
Zatem
Jurorzy zajmują miejsca w sposób losowy, więc
Korzystamy z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:
Teraz już możemy wyznaczyć szukane prawdopodobieństwo:
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że pani Miła i pan Bardzomiły nie będą siedzieć obok siebie jest równe .
Spośród kobiet i mężczyzn wybrano w sposób losowy osoby, które poddano testom na prawdomówność. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wśród wybranych osób jest co najmniej jedna kobieta.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że wśród wybranych jest co najmniej jedna kobieta.
Zdarzeniu odpowiadają trzy możliwości – wybrana została jedna kobieta, wybrane zostały dwie kobiety, wybrane zostały trzy kobiety. Aby nie rozpatrywać trzech możliwości, wygodniej jest określić najpierw prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego – wybrani zostali sami mężczyźni.
Wybierane są trzy osoby z dwunastu, zatem .
Zdarzeniu sprzyja tyle zdarzeń elementarnych, ile jest trzyelementowych kombinacji zbioru ośmioelementowego.
Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest więc równe
Obliczamy wreszcie prawdopodobieństwo zdarzenia .
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że wśród wybranych osób jest co najmniej jedna kobieta, jest równe .
W torebce było cukierków, wśród których były dwa cukierki czekoladowe. Kuba wyciągnął w sposób losowy dwa cukierki z torebki. Prawdopodobieństwo, że wyciągnie przynajmniej jeden cukierek czekoladowy jest równe . Obliczymy ile było cukierków w torebce.
Obliczamy najpierw prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnegoprawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego – Kuba nie wyciągnął ani jednego cukierka czekoladowego.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia – Kuba wyciągnie przynajmniej jeden cukierek czekoladowy jest równe
Wiemy, że liczba jest równa .
Czyli
Po przekształceniach otrzymujemy równanie kwadratowe , którego rozwiązaniami są liczby i .
Tylko druga z tych liczb spełnia warunki zadania (jako liczba naturalna).
Odpowiedź:
W torebce było cukierków.
Przed przystąpieniem do rozwiązania kolejnego zadania, przypomnimy dwa ważne twierdzenia, które pomogą nam w obliczeniach.
Niech będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach , .
Wówczas:
Niech będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach , .
Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych wylosowano jedną liczbę. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba nie jest podzielna ani przez , ani przez .
Z określeniem liczby elementów zbioru zdarzeń elementarnych nie mamy problemu:
.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba nie jest podzielna ani przez , ani przez .
Wypisanie wszystkich liczb, które nie są podzielne ani przez , ani przez jest dość pracochłonne.
Wiemy już, że w takich przypadkach warto rozważyć zdarzenie przeciwne.
Oznaczmy teraz:
– zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez ,
– zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez .
Wtedy:
, i ;
, i ;
, i .
Korzystając z praw de Morgana możemy zapisać
Stąd
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba nie jest podzielna ani przez , ani przez jest równe .
Słownik
niech będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach i ; jeśli zdarzenia i są zdarzeniami przeciwnymi, to: