Wiesz już, że graniastosłup o podstawie kąta ma krawędzi podstawy oraz krawędzi bocznych. Wiesz również, że w graniastosłupach prostych krawędzie podstawy są prostopadłe do krawędzi bocznych, a także, że krawędzie boczne są do siebie równoległe.
Pora poznać inne, ważne odcinki w graniastosłupie.
Wysokość graniastosłupa
Wysokość graniastosłupa jest to odcinek łączący płaszczyzny różnych podstaw, którego długość jest równa odległości między płaszczyznami podstaw. Wysokość graniastosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, tym samym jest prostopadła do każdej prostej leżącej w tej płaszczyźnie. Wysokość graniastosłupa będziemy oznaczać literą .
RFx3XMBt4Kl4m
Na ilustracji przedstawiono graniastosłup o podstawie pięciokąta. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od F do J. Ściany boczne graniastosłupa są nachylone do podstawy pod kątem ostrym. Kolorem zaznaczono wysokość graniastosłupa upuszczoną z wierzchołka H. Pada na płaszczyznę w punkcie przecięcia przedłużenia ramion ED oraz BC dolnej podstawy.
W graniastosłupie prostym wysokością graniastosłupawysokość graniastosłupawysokością graniastosłupa jest każda z krawędzi bocznych.
Rw86TGZ3mbPve
Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty pięciokątny. Dolna podstawę oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E, natomiast górną wielkimi literami od F do J. Wysokość graniastosłupa stanowi każda z krawędzi bocznych i oznaczono je kolorem różowym.
Przykład 1
W graniastosłupie pochyłym jak na rysunku poniżej wysokość graniastosłupa poprowadzona z wierzchołka przecina płaszczyznę dolnej podstawy w punkcie . Odcinek ma długość , a krawędź boczna . Obliczymy długość wysokości tego graniastosłupa.
R1Nwo0quEZwrZ
Na ilustracji przedstawiono graniastosłup czworokątny nachylony ku lewej stronie. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami od A do D, natomiast górną literami od E do H.
Rozwiązanie
Umieśćmy dane na rysunku.
R1U4KhN4ef2yV
Na ilustracji przedstawiono graniastosłup czworokątny nachylony ku lewej stronie. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami od A do D, natomiast górną literami od E do H. Z najbardziej wysuniętego górnego wierzchołka E upuszczono wysokość przecinającą dolną płaszczyznę podstawy w punkcie I. Punkt I jest połączony z wierzchołkiem podstawy A. Utworzono trójkąt prostokątny, złożony z przyprostokątnej H, stanowiącej wysokość graniastosłupa, przyprostokątnej A I o długości trzy, oraz przeciwprostokątnej A E o długości pięć.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta mamy . A stąd .
Przekątna ściany bocznej
Przekątne równoległoboków, które są ścianami bocznymi graniastosłupa, nazywamy przekątnymi ścian bocznych. Każdy graniastosłup ma dwukrotnie więcej przekątnych ścian bocznych niż samych ścian bocznych. Przekątne ścian bocznych będziemy oznaczać literką lub (dla ).
Przykład 2
Podstawą graniastosłupa na rysunku jest kwadrat. Określimy przekątne tego graniastosłupa.
RYmEjyOL2umYu
Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pochyły. Podstawą bryły jest kwadrat. Tylna ściana boczna nachylona jest do podstawy pod kątem BETA, równa się, siedemdziesiąt cztery przecinek jeden osiem stopni, natomiast boczna ściana jest nachylona do podstawy pod kątem GAMMA, równa się, pięćdziesiąt trzy przecinek sześć trzy stopnie . Występują dwa rodzaje ścian bocznych, zaznaczono więc cztery różne przekątne. Przekątna p indeks dolny trzy koniec indeksu oraz p indeks dolny cztery koniec indeksu są przekątnymi ścian przedniej i tylnej. Przekątna p indeks dolnym jeden koniec indeksu oraz p indeks dolny dwa koniec indeksu ścian lewej i prawej.
Rozwiązanie
Przez oznaczyliśmy cztery różne przekątne ścian bocznychprzekątna ściany bocznej granastosłupaprzekątne ścian bocznych tego graniastosłupa.
Mamy dwa rodzaje ścian bocznych, dlatego też cztery różne przekątne ścian bocznych. Przekątne i są przekątnymi ścian przedniej i tylnej, a i ścian lewej i prawej.
W graniastosłupie prostym przekątne tej samej ściany bocznej są równe. W graniastosłupie prawidłowym wszystkie przekątne ścian bocznych są równe.
Przekątna podstawy
Jeżeli podstawa ma co najmniej cztery boki, to przekątne wielokąta w podstawie nazywamy przekątnymi podstawy.
Przypomnijmy, że przekątna kwadratu o boku ma długość .
Sześciokąt foremny o boku długości ma dwa rodzaje przekątnych: dłuższą, której długość wynosi i krótszą o długości .
RJAgY7JhlD8PC
Na ilustracji przedstawiono sześciokąt foremny o boku długości a. Zaznaczono dłuższą przekątną równą 2 a, oraz krótszą, równą .
Przekątna graniastosłupa
Odcinek łączący dwa wierzchołki różnych podstaw nie leżący na jednej ścianie nazywamy przekątną graniastosłupa. Aby graniastosłup miał przekątną bryły, wielokąt w jego podstawie musi mieć co najmniej cztery boki.
Przykład 3
W graniastosłupie pięciokątnym przedstawionym na rysunku poniżej określimy rodzaje odcinków o końcu w punkcie .
RSY0tnNt2peDK
Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pięciokątny. Podstawę dolną oznaczono wielkimi literami od A do E, natomiast górną wielkimi literami od F do J. Z wierzchołka B poprowadzono przekątne do każdego z wierzchołków górnej podstawy, każdy innym kolorem. B F i B H są przekątnymi ścian bocznych, natomiast B I oraz B J stanowią przekątną graniastosłupa.
Rozwiązanie
Z wierzchołka poprowadzono pięć odcinków do wierzchołków drugiej podstawy. Odcinek jest krawędzią boczną graniastosłupa, odcinki i są przekątnymi ścian bocznych, odcinki , są przekątnymi graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątnymi graniastosłupa.
Wniosek
Z każdego wierzchołka jednej z podstaw (w kształcie kąta) graniastosłupa można poprowadzić przekątnych graniastosłupa, dwie przekątne ścian bocznych i jedną krawędź boczną.
Uwaga!
W graniastosłupie prostym przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i krawędź boczna są bokami tego samego trójkąta prostokątnego.
RFC92LPhejZbS
Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie pięciokąta. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E, natomiast górną wielkimi literami od F do J. W przestrzeni graniastosłupa zaznaczono dwa trójkąty prostokątne wyznaczone przez przekątne bryły B I oraz B J. Trójkąt B E J zamalowano kolorem fioletowym. Przekątna graniastosłupa stanowi jego przeciwprostokątną, natomiast przekątna podstawy B E oraz jedna z krawędzi bocznych E J stanowią jego przyprostokątne. Kolejny trójkąt BDI zamalowano kolorem zielonym. Kolejna przekątna graniastosłupa stanowi jego przeciwprostokątną, natomiast druga przekątna podstawy B D oraz krawędź boczna D I stanowią jego przyprostokątne.
ROZWIĄZANIE
krawędzie podstawy: , , , , , , , , , , , , , ;
krawędzie boczne: , , , , , , ;
ściany boczne: , , , , , , .
Przykład 4
W pewnym momencie animacji wierzchołki zostają oznaczone literami. Nazwiemy wszystkie krawędzie podstawy, krawędzie boczne i ściany tego graniastosłupa.
RBNN5p6EL0M3F
Na animacji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie siedmiokąta. Wyświetlono kolejno następujące pytania oraz odpowiedzi. Jak nazywa się przedstawiona bryła? Odpowiedź brzmi graniastosłup siedmiokątny. Kolejne pytanie dotyczy ilości wierzchołków. Na animacji pogrubiono każdy z nich od A do H, jest ich czternaście. Kolejno zadano pytanie o ilość wierzchołków w dolnej podstawie, odpowiedź brzmi siedem. Następne pytanie to ile przekątnych wychodzi z jednego wierzchołka. Na animacji zaznaczono jeden wierzchołek podstawy dolnej, z którego wychodzą linie przerywane do czterech wierzchołków podstawy górnej. Odpowiedź to cztery. Ostatnie pytanie dotyczy ilości przekątnych wychodzących ze wszystkich wierzchołków naraz. Z każdego wierzchołka dolnej podstawy wychodzi 4 linie przerywane do każdego z siedmiu wierzchołków podstawy górnej. Stąd więc, odpowiedz brzmi dwadzieścia osiem.
Na animacji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie siedmiokąta. Wyświetlono kolejno następujące pytania oraz odpowiedzi. Jak nazywa się przedstawiona bryła? Odpowiedź brzmi graniastosłup siedmiokątny. Kolejne pytanie dotyczy ilości wierzchołków. Na animacji pogrubiono każdy z nich od A do H, jest ich czternaście. Kolejno zadano pytanie o ilość wierzchołków w dolnej podstawie, odpowiedź brzmi siedem. Następne pytanie to ile przekątnych wychodzi z jednego wierzchołka. Na animacji zaznaczono jeden wierzchołek podstawy dolnej, z którego wychodzą linie przerywane do czterech wierzchołków podstawy górnej. Odpowiedź to cztery. Ostatnie pytanie dotyczy ilości przekątnych wychodzących ze wszystkich wierzchołków naraz. Z każdego wierzchołka dolnej podstawy wychodzi 4 linie przerywane do każdego z siedmiu wierzchołków podstawy górnej. Stąd więc, odpowiedz brzmi dwadzieścia osiem.
Na animacji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie siedmiokąta. Wyświetlono kolejno następujące pytania oraz odpowiedzi. Jak nazywa się przedstawiona bryła? Odpowiedź brzmi graniastosłup siedmiokątny. Kolejne pytanie dotyczy ilości wierzchołków. Na animacji pogrubiono każdy z nich od A do H, jest ich czternaście. Kolejno zadano pytanie o ilość wierzchołków w dolnej podstawie, odpowiedź brzmi siedem. Następne pytanie to ile przekątnych wychodzi z jednego wierzchołka. Na animacji zaznaczono jeden wierzchołek podstawy dolnej, z którego wychodzą linie przerywane do czterech wierzchołków podstawy górnej. Odpowiedź to cztery. Ostatnie pytanie dotyczy ilości przekątnych wychodzących ze wszystkich wierzchołków naraz. Z każdego wierzchołka dolnej podstawy wychodzi 4 linie przerywane do każdego z siedmiu wierzchołków podstawy górnej. Stąd więc, odpowiedz brzmi dwadzieścia osiem.