Wiesz już, że graniastosłup o podstawie $n-$kąta ma $2n$ krawędzi podstawy oraz $n$ krawędzi bocznych. Wiesz również, że w graniastosłupach prostych krawędzie podstawy są prostopadłe do krawędzi bocznych, a także, że krawędzie boczne są do siebie równoległe.

Pora poznać inne, ważne odcinki w graniastosłupie.

Wysokość graniastosłupa

Wysokość graniastosłupa jest to odcinek łączący płaszczyzny różnych podstaw, którego długość jest równa odległości między płaszczyznami podstaw. Wysokość graniastosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, tym samym jest prostopadła do każdej prostej leżącej w tej płaszczyźnie. Wysokość graniastosłupa będziemy oznaczać literą $H$.

RFx3XMBt4Kl4m

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup o podstawie pięciokąta. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od F do J. Ściany boczne graniastosłupa są nachylone do podstawy pod kątem ostrym. Kolorem zaznaczono wysokość graniastosłupa upuszczoną z wierzchołka H. Pada na płaszczyznę w punkcie przecięcia przedłużenia ramion ED oraz BC dolnej podstawy.

W graniastosłupie prostym wysokością graniastosłupawysokość graniastosłupawysokością graniastosłupa jest każda z krawędzi bocznych.

Rw86TGZ3mbPve

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty pięciokątny. Dolna podstawę oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E, natomiast górną wielkimi literami od F do J. Wysokość graniastosłupa stanowi każda z krawędzi bocznych i oznaczono je kolorem różowym.

Przykład 1

W graniastosłupie pochyłym jak na rysunku poniżej wysokość graniastosłupa poprowadzona z wierzchołka $E$ przecina płaszczyznę dolnej podstawy w punkcie $I$. Odcinek $AI$ ma długość $3$, a krawędź boczna $5$. Obliczymy długość wysokości tego graniastosłupa.

R1Nwo0quEZwrZ

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup czworokątny nachylony ku lewej stronie. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami od A do D, natomiast górną literami od E do H.

Rozwiązanie

Umieśćmy dane na rysunku.

R1U4KhN4ef2yV

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup czworokątny nachylony ku lewej stronie. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami od A do D, natomiast górną literami od E do H. Z najbardziej wysuniętego górnego wierzchołka E upuszczono wysokość przecinającą dolną płaszczyznę podstawy w punkcie I. Punkt I jest połączony z wierzchołkiem podstawy A. Utworzono trójkąt prostokątny, złożony z przyprostokątnej H, stanowiącej wysokość graniastosłupa, przyprostokątnej A I o długości trzy, oraz przeciwprostokątnej A E o długości pięć.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $AIE$ mamy $H^2+3^2=5^2$. A stąd $H=4$.

Przekątna ściany bocznej

Przekątne równoległoboków, które są ścianami bocznymi graniastosłupa, nazywamy przekątnymi ścian bocznych. Każdy graniastosłup ma dwukrotnie więcej przekątnych ścian bocznych niż samych ścian bocznych. Przekątne ścian bocznych będziemy oznaczać literką $p$ lub $p_i$ (dla $i=1, 2, 3,\dots$).

Przykład 2

Podstawą graniastosłupa na rysunku jest kwadrat. Określimy przekątne tego graniastosłupa.

RYmEjyOL2umYu

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pochyły. Podstawą bryły jest kwadrat. Tylna ściana boczna nachylona jest do podstawy pod kątem BETA, równa się, siedemdziesiąt cztery przecinek jeden osiem stopni, natomiast boczna ściana jest nachylona do podstawy pod kątem GAMMA, równa się, pięćdziesiąt trzy przecinek sześć trzy stopnie . Występują dwa rodzaje ścian bocznych, zaznaczono więc cztery różne przekątne. Przekątna p indeks dolny trzy koniec indeksu oraz p indeks dolny cztery koniec indeksu są przekątnymi ścian przedniej i tylnej. Przekątna p  indeks dolnym jeden koniec indeksu oraz p indeks dolny dwa koniec indeksu ścian lewej i prawej.

Rozwiązanie

Przez $p_1,p_2,p_3,p_4$ oznaczyliśmy cztery różne przekątne ścian bocznychprzekątna ściany bocznej granastosłupaprzekątne ścian bocznych tego graniastosłupa.

Mamy dwa rodzaje ścian bocznych, dlatego też cztery różne przekątne ścian bocznych. Przekątne $p_3$ i $p_4$ są przekątnymi ścian przedniej i tylnej, a $p_1$ i $p_2$ ścian lewej i prawej.

W graniastosłupie prostym przekątne tej samej ściany bocznej są równe. W graniastosłupie prawidłowym wszystkie przekątne ścian bocznych są równe.

Przekątna podstawy

Jeżeli podstawa ma co najmniej cztery boki, to przekątne wielokąta w podstawie nazywamy przekątnymi podstawy.

Przypomnijmy, że przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a\sqrt{2}$.

Sześciokąt foremny o boku długości $a$ ma dwa rodzaje przekątnych: dłuższą, której długość wynosi $2a$ i krótszą o długości $a\sqrt{3}$.

RJAgY7JhlD8PC

Na ilustracji przedstawiono sześciokąt foremny o boku długości a. Zaznaczono dłuższą przekątną równą 2 a, oraz krótszą, równą $\sqrt{3}$.

Przekątna graniastosłupa

Odcinek łączący dwa wierzchołki różnych podstaw nie leżący na jednej ścianie nazywamy przekątną graniastosłupa. Aby graniastosłup miał przekątną bryły, wielokąt w jego podstawie musi mieć co najmniej cztery boki.

Przykład 3

W graniastosłupie pięciokątnym przedstawionym na rysunku poniżej określimy rodzaje odcinków o końcu w punkcie $B$.

RSY0tnNt2peDK

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pięciokątny. Podstawę dolną oznaczono wielkimi literami od A do E, natomiast górną wielkimi literami od F do J. Z wierzchołka B poprowadzono przekątne do każdego z wierzchołków górnej podstawy, każdy innym kolorem. B F i B H są przekątnymi ścian bocznych, natomiast B I oraz B J stanowią przekątną graniastosłupa.

Rozwiązanie

Z wierzchołka $B$ poprowadzono pięć odcinków do wierzchołków drugiej podstawy. Odcinek $BG$ jest krawędzią boczną graniastosłupa, odcinki $BF$ i $BH$ są przekątnymi ścian bocznych, odcinki $BI$, $BJ$ są przekątnymi graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątnymi graniastosłupa.

Wniosek

Z każdego wierzchołka jednej z podstaw (w kształcie $n-$kąta) graniastosłupa można poprowadzić $n-3$ przekątnych graniastosłupa, dwie przekątne ścian bocznych i jedną krawędź boczną.

Uwaga!

W graniastosłupie prostym przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i krawędź boczna są bokami tego samego trójkąta prostokątnego.

RFC92LPhejZbS

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie pięciokąta. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E, natomiast górną wielkimi literami od F do J. W przestrzeni graniastosłupa zaznaczono dwa trójkąty prostokątne wyznaczone przez przekątne bryły B I oraz B J. Trójkąt B E J zamalowano kolorem fioletowym. Przekątna graniastosłupa stanowi jego przeciwprostokątną, natomiast przekątna podstawy B E oraz jedna z krawędzi bocznych E J stanowią jego przyprostokątne. Kolejny trójkąt BDI zamalowano kolorem zielonym. Kolejna przekątna graniastosłupa stanowi jego przeciwprostokątną, natomiast druga przekątna podstawy B D oraz krawędź boczna D I stanowią jego przyprostokątne.

Słownik