Przeczytaj
Znamy już elementy sześcianu i wiemy, ile ich jest. Jednym z elementów sześcianusześcianu jest krawędź – i jest to pierwszy typ odcinków w sześcianie. Przypomnijmy, że wszystkie krawędzie sześcianu mają tę samą długość i są do siebie równoległe lub prostopadłe.
Ściany sześcianu są kwadratami. Na ścianach sześcianu możemy wyróżnić kolejny typ odcinka – przekątną ścianyprzekątną ściany (będziemy ją oznaczać przez ). Jeżeli krawędź sześcianu oznaczymy przez , to korzystając z własności kwadratu otrzymujemy . Mamy dwanaście przekątnych ścian sześcianu tej samej długości.
Obliczymy sumę krawędzi sześcianu o przekątnej ściany bocznej równej .
Korzystając ze wzoru na długość przekątnej ściany bocznej otrzymujemy , a to oznacza, że .
Czyli suma krawędzi sześcianu wynosi .
Najdłuższym odcinkiem w sześcianie jest przekątna sześcianuprzekątna sześcianu – jest to odcinek łączący wierzchołek dolnej podstawy sześcianu z wierzchołkiem górnej podstawy sześcianu, który nie leży na tej samej ścianie. Przekątną sześcianu będziemy oznaczać przez .
W każdym sześcianie są cztery przekątne sześcianu tej samej długości.
Zauważmy, że krawędź sześcianu, przekątna ściany bocznej i przekątna sześcianu łączące trzy wierzchołki sześcianu tworzą trójkąt prostokątny. Wynika to z faktu, że krawędź boczna jest wysokością sześcianu, a zatem jest prostopadła do każdego odcinka poprowadzonego w podstawie. Możemy więc wyznaczyć długość przekątnej sześcianu w zależności od długości jego krawędzi.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy zatem . Stąd i ostatecznie:
Przekątna sześcianu ma długość . Obliczymy długość krawędzi i przekątnej ściany.
Mamy .
Mnożąc obustronnie przez otrzymujemy i stąd .
Przekątna ściany ma więc długość .
W sześcianie można również poprowadzić inne odcinki, których długość możemy policzyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
Krawędź sześcianu ma długość . W tym sześcianie poprowadzono odcinek łączący środek krawędzi z wierzchołkiem leżącym na tej samej ścianie. Obliczymy długość tego odcinka.
Zrobimy rysunek pomocniczy.
Obliczymy długość odcinka , korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
, czyli
, a stąd .
Obliczymy odległość krawędzi sześcianu o krawędzi od przekątnej sześcianu, która nie ma z nią punktów wspólnych.
Zauważmy, że odległość od krawędzi do przekątnej, która nie ma z nią punktów wspólnych jest długością odcinka łączącego środek krawędzi ze środkiem tej przekątnej.
jest środkiem odcinka , jest środkiem przekątnej . Odcinek jest wysokością trójkąta równoramiennego (mamy , ponieważ są to przeciwprostokątne przystających trójkątów prostokątnych.
Obliczmy długość odcinka z twierdzenia Pitagorasa:
A stąd .
Przekątna tego sześcianu ma długość .
Obliczymy długość z twierdzenia Pitagorasa:
.
Czyli . A zatem .
Uwaga: Odległość krawędzi od przekątnej sześcianu, która nie ma z nią punktów wspólnych jest równa połowie długości przekątnej ściany bocznej.
Punkty i są środkami krawędzi sześcianu o boku długości a wychodzących z tego samego wierzchołka. Punkt jest punktem przecięcia przekątnych ściany przeciwległej do ściany zawierającej odcinek . Obliczymy długość wysokości trójkąta wychodzącej z wierzchołka .
Zróbmy rysunek pomocniczy:
Trójkąt jest równoramienny, przy czym (jest to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości ).
Oznaczmy przez punkt przecięcia przekątnych podstawy .
Odcinek jest wysokością Trójkąta poprowadzoną z wierzchołka trójkąta równoramiennego prostokątnego i ma długość .
A zatem .
Ponadto .
Obliczamy długość odcinka z twierdzenia Pitagorasa: .
Czyli , a stąd .
Słownik
graniastosłup, którego wszystkie ściany są przystającymi kwadratami
przekątna kwadratu, który jest ścianą sześcianu
odcinek łączący dwa wierzchołki równoległych ścian, które nie są wierzchołkami tej samej ściany