Przekształcimy wzór funkcji $f\left(x\right)=\frac{3x+3}{-x+1}$ do postaci kanonicznej.

Rozwiązanie

$f\left(x\right)=\frac{3x+3}{-x+1}$.

Wyłączamy w mianowniku liczbę $-1$:

$f\left(x\right)=\frac{3x+3}{-\left(x-1\right)}$.

Licznik i mianownik mnożymy przez $-1$:

$f\left(x\right)=\frac{-3x-3}{x-1}$.

Przekształcamy licznik tak, by zawierał wyrażenie z mianownika:

$f\left(x\right)=\frac{-3\left(x-1\right)-6}{x-1}$.

Zapisujemy funkcję w postaci sumy ułamków:

$f\left(x\right)=\frac{-3\left(x-1\right)}{x-1}+\frac{-6}{x-1}$.

Zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=-3-\frac{6}{x-1}$.

Odpowiedź:

Postać kanoniczna funkcji $f\left(x\right)=\frac{3x+3}{-x+1}$ to $f\left(x\right)=-\frac{6}{x-1}-3$.

Na podstawie wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x+1}-2$ podamy własności funkcji, które można określić na podstawie postaci kanonicznej funkcji homograficznej.

Rozwiązanie

Aby narysować wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x+1}-2$ należy wykres funkcji $g\left(x\right)=\frac{2}{x}$ przesunąć o wektor $\left[-1,-2\right]$.

RsmSWrAcugg1I

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu oraz pionową oś Y od minus sześciu do sześciu. Na rysunku zaznaczono również wykres funkcji homograficznej y, posiadającej dwie asymptoty, pierwsza pozioma o równaniu y równa się minus dwa oraz druga pionowa o równaniu x równa się minus jeden. Funkcja y przechodzi przez następujące punkty, nawias minus trzy średnik minus trzy koniec nawiasu, nawias minus dwa średnik minus cztery koniec nawiasu, nawias zero średnik zero koniec nawiasu, nawias jeden średnik minus jeden koniec nawiasu.

Własności funkcji:

• $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1\right\}$;

• $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2\right\}$;

• funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ,-1\right)$, $\left(-1,\infty \right)$;

• równanie asymptoty poziomej: $y=-2$;

• równanie asymptoty pionowej: $x=-1$.

Powyższe własności funkcji można określić na podstawie postaci kanonicznej funkcji.

Wyznaczymy wektor, o który należy przesunąć wykres funkcji $g\left(x\right)=\frac{r}{x}$, $r\ne 0$, aby otrzymać funkcję o natępujących własnościach:

• $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$;

• $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{3\right\}$.

Rozwiązanie

Skoro funkcja nie jest określona dla $x=4$, to prosta o równaniu $x=4$ jest asymptotą pionową wykresu tej funkcji. Podobnie funkcja nie przyjmuje wartości $y=3$ i prosta $y=3$ jest jej asymptotą poziomą.

Funkcja $g\left(x\right)=\frac{r}{x}$, $r\ne 0$ posiada asymptoty o równaniach: $x=0$ oraz $y=0$, które przesuwają się wraz z przesunięciem wykresu funkcji.

Zatem wektor przesunięcia to $\left[4,3\right]$.

Wyznaczymy postać kanoniczną funkcji homograficznej, której osiami symetrii są proste o równaniach $y=x+2$ oraz $y=-x-6$.

Rozwiązanie

Osie symetrii wykresu funkcji przecinają się w tym samym punkcie, co asymptoty wykresu funkcji. Wyznaczymy punkt przecięcia osi symetrii. W tym celu należy rozwiązać układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}y=x+2\\ y=-x-6\end{array}\right.$.

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb $\left(-4,-2\right)$.

Skoro asymptoty wykresu funkcji przecinają się w punkcie $\left(-4,-2\right)$, to każda funkcja postaci: $f\left(x\right)=\frac{r}{x+4}-2$, $r\ne 0$, określa postać kanoniczną tej funkcji.

Wyznaczymy wzór funkcji homograficznej wiedząc, że jest ona rosnąca w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ,-3\right)$, $\left(-3,\infty \right)$, $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$ oraz do wykresu funkcji należy punkt $\left(-1,3\right)$.

Rozwiązanie

Jeśli funkcja nie jest określona dla $x=-3$, to prosta o równaniu $x=-3$ jest asymptotą pionową wykresu tej funkcji. Podobnie, funkcja nie przyjmuje wartości $y=4$ i prosta $y=4$ jest jej asymptotą poziomą.

W związku z tym, wzór funkcji można zapisać w postaci:

$f\left(x\right)=\frac{r}{x+3}+4$.

Podstawiamy współrzędne punktu $\left(-1,3\right)$ do wzoru funkcji:

$3=\frac{r}{-1+3}+4$

$r=-2$.

Odpowiedź:

Wzór funkcji $f\left(x\right)=\frac{-2}{x+3}+4$.

funkcja, która jest ilorazem dwóch wielomianów $f\left(x\right)=\frac{W\left(x\right)}{P\left(x\right)}$, gdzie $P\left(x\right)\not\equiv 0$

prosta jest asymptotą danej krzywej, jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej, odległość tego punktu od prostej dąży do zera; asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji