Warto przeczytać

W astronomii określa się pewne teoretyczne prędkości graniczne, dla których obiekt mający daną prędkość może znaleźć się w przestrzeni kosmicznej (Rys. 1.). Pierwsza prędkość kosmiczna związana jest z ruchem obiektu wokół Ziemi. Będzie to ruch po okręgu o promieniu niewiele różniącym się od promienia Ziemi.

R67BrkyaTs6pW

Rys. 1. Zdjęcie przedstawia rakietę startującą pionowo w górę. Rakieta, znajdująca się kilkanaście metrów nad powierzchnią ziemi, ma kształt wąskiego cylindra zakończonego u góry szpicem. Z dolnego końca rakiety wyrzucane są pionowo w dół silnie świecące, gorące gazy, które w dolnej części przechodzą w kłęby biało‑szarego dymu.

Wyznaczenie pierwszej prędkości kosmicznej wiąże się z przyrównaniem siły grawitacjiSiła grawitacjisiły grawitacji pomiędzy ciałami do siły dośrodkowejSiła dośrodkowasiły dośrodkowej. Siła grawitacji Ziemi przyciąga obiekt do siebie siłą:

gdzie $G$ to stała grawitacji równa $G$ = 6,6743 · 10Indeks górny -11^-11 mIndeks górny 3³/(kg·sIndeks górny 2²), $M$ to masa ciała niebieskiegoCiało niebieskieciała niebieskiego, $m$ to masa niewielkiego ciała, które chcemy wystrzelić, a $R$ jest odległością obiektu – małego ciała, od środka masy ciała niebieskiego.

W ruchu po okręgu wokół planety na obiekt działa siła dośrodkowa, zakrzywiająca ruch ciała:

gdzie $v$ jest prędkością ciała $m$.

Siłą dośrodkową w takim ruchu jest siła grawitacji, więc $F_{g}=F$:

Przekształcając tę równość dostaniemy wartość prędkości ciała o masie $m$:

Zakładamy, że obiekt poruszać się będzie po minimalnej orbicie – niewiele ponad powierzchnią planety, więc wysokość ta będzie znacznie mniejsza od jej promienia (Rys. 2.). Dlatego też dla uproszczenia przyjmujemy, że odległość $R$ jest równa promieniowi planety.

RIDEWuhH00xl4

Rys. 2. Rysunek przedstawia kulę ziemską. Odcinkiem od środka do powierzchni kuli zaznaczono promień kuli ziemskiej i oznaczono go literą wielkie R. Na kuli ziemskiej jest napis: Ziemia ma masę wielkie M. Na powierzchni Ziemi w górnej części narysowano górę, której wysokość oznaczono literą małe h. Obok rysunku zapisano równanie: wielkie R plus małe h w przybliżeniu równa się wielkie R, co oznacza, że wysokość góry jest bardzo mała w porównaniu z promieniem Ziemi. Na szczycie góry znajduje się kulka o masie oznaczonej literą małe m. Narysowano 3 tory, po których poruszałaby się kulka wyrzucana z różnymi prędkościami, skierowanymi w lewo, prostopadle do promienia Ziemi. Pierwszy tor to łuk, który zaczyna się w środku kulki i kończy w punkcie na powierzchni Ziemi blisko podstawy góry. Pod tym torem zapisano nierówność: małe v z indeksem dolnym 1 jest znacznie mniejsze niż małe v z indeksem dolnym rzymska jedynka. Drugi tor to łuk, który zaczyna się w środku kulki i kończy w punkcie na powierzchni oddalonym od podstawy góry o ogromną odległość równą około jednej siódmej obwodu Ziemi. Pod tym torem zapisano nierówność: małe v z indeksem dolnym 2 jest mniejsze niż małe v z indeksem dolnym rzymska jedynka. Trzeci tor to okrąg, który przechodzi przez środek kulki. Środek okręgu pokrywa się ze środkiem kuli ziemskiej. Pod tym torem zapisano nierówność: małe v z indeksem dolnym 3 jest równe lub większe małe v z indeksem dolnym rzymska jedynka.

Pierwsza prędkość kosmiczna to teoretyczna wielkość, stanowiąca najmniejszą prędkość, jaką należy nadać ciału, aby poruszało się ono po zamkniętej orbicie wokół ciała niebieskiego, z którego jest wystrzelone. Pomijając opory ruchu, wartość tej prędkość wyznacza się właśnie ze wzoru

Podstawiając wartości: $G$ = 6,6743 · 10Indeks górny -11^-11 mIndeks górny 3³/(kg·sIndeks górny 2²), masę Ziemi $M_{Z}$ = 5,972 · 10Indeks górny 24²⁴ kg oraz promień Ziemi $R_{Z}$ = 6371 km = 6371000 m, otrzymamy wartość pierwszej prędkości kosmicznej dla Ziemi:

Mówi się, że pierwsza prędkość kosmiczna jest wielkością teoretyczną, ponieważ niemożliwe jest, aby satelita krążył dokładnie nad powierzchnią planety. Dodatkowo całkowicie pomija się opory ruchu, które przy powierzchni Ziemi są znaczące, ponieważ atmosfera ziemska jest dość gęsta. W rzeczywistości satelity znajdują się na wysokościach powyżej 160 km nad poziomem morza. Mimo wielu założeń teoretycznych prędkości satelitów nie odbiegają bardzo od pierwszej prędkości kosmicznej. Prędkość, w której nie pomija się wysokości $h$, nazywa się prędkością orbitalną. Wzór przyjmuje postać:

Słowniczek