Przeczytaj

Już wiesz

Funkcja $f (x) = \frac{a}{x}$ jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ , gdzie $a d - b c \neq 0$ i $c \neq 0$ . Jej wykresem jest hiperbola, czyli krzywa składająca się z dwóch gałęzi zbliżającch się do osi układu współrzędnych.

Jeśli $a \neq 0$ i $x \neq 0$ , to powyższy wzór opisuje proporcjonalność odwrotnąproporcjonalność odwrotnaproporcjonalność odwrotną.

Aby narysować wykres funkcji

f (x) = \frac{a}{|x|}

należy najpierw narysować wykres funkcji:

g (x) = \frac{a}{x}

a następnie część wykresu, która znajduje się po prawej stronie osi $Y$ $(x > 0)$ odbić symetrycznie względem osi $Y$ odbicie symetryczne względem osi Yodbić symetrycznie względem osi $Y$ . Część wykresu znajdująca się po lewej stronie osi $Y$ $(x < 0)$ znika.

Przykład 1

Narysujemy wykres funkcji $f (x) = - \frac{3}{|x|}$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Rysujemy wykres funkcji $g (x) = - \frac{3}{x}$ – granatowa przerywana linia.

RTzw1aqIf7L3Z

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 7 do 7 i pionową oś y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono wykres o równaniu fx=−3x. Wykres ten ma kształt hiperboli, której części znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce. Jedna z części przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu i nawias minus jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, a druga część przechodzi przez punkty nawias jeden średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i nawias trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu. Wykres został namalowany linią przerywaną. Asymptotami tego wykresu są osie układu współrzędnych.

Krok 2. Część wykresu znajdująca się po prawej stronie osi $Y$ odbijamy symetrycznie względem osi $Y$ , część wykresu będąca po lewej stroni osi $Y$ znika – żółta linia.

RW9chim2XK0mU

Aby naszkicować wykres funkcji

h (x) = \frac{a}{|x| - p} + q

należy najpierw narysować wykres funkcji

p (x) = \frac{a}{x - p} + q

czyli przesunąć wykres funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ o wektor $[p, q]$ , a następnie część wykresu, która znajduje się po prawej stronie osi $Y$ $(x > 0)$ odbić symetrycznie względem osi $Y$ . Część wykresu znajdująca się po lewej stronie osi $Y$ $(x < 0)$ znika.

Przykład 2

Narysujemy wykres funkcji $h (x) = - \frac{3}{|x| - 2} + 1$

Rozwiązanie

Krok 1. Rysujemy wykres funkcji $g (x) = - \frac{3}{x}$ – granatowa linia.

Krok 2. Następnie przesuwamy go o wektor $[2, 1]$ – czerwona przerywana linia.

Krok 3. Następnie, część wykresu, która znajduje się po prawej stronie osi $Y$ (czyli dla $x > 0$ ), odbijamy symetrycznie względem osi $Y$ . Część wykresu znajdująca się po lewej stronie osi $Y$ $(x < 0)$ znika – niebieska linia.

R12wil85eM3XO

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 7 do 7 i pionową oś y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono wykres o równaniu gx=−3x. Wykres ten ma kształt hiperboli, której części znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce. Jedna z części przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu i nawias minus jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, a druga część przechodzi przez punkty nawias jeden średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i nawias trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu. Wykres został namalowany granatową linią przerywaną. Asymptotami tego wykresu są osie układu współrzędnych. W układzie zaznaczono wektor v równy 2,1, przesuwa on asymptoty oraz cały wykres o dwie jednostki w prawo i jedną do góry. Nowy wykres ma równanie px=−3x−2+1. Jego kształt to również hiperbola, lecz tym razem jej pierwsza część przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu i nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, a jej druga część przechodzi przez punty nawias trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu. Wykres ten został zaznaczony czerwoną linią przerywaną. Następnie przekształcamy wykres, tak aby miał równanie hx=−3x−2+1. Części znajdujące się po prawej stronie osi y pozostają na swoim miejscu, a po lewej stronie osi y pojawia się ich odbicie lustrzane. Wykres składa się z trzech części pierwsza z nich pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu i biegnie po łuku przez punkt minus pięć średnik zero zamknięci nawiasu i punkt nawias minus trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w trzeciej ćwiartce. Drugi fragment również pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie po łuku przez punkt nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu, następnie dochodzi do osi y nad rzędną dwa, dalej biegnie po łuku przez punkt nawias jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu. Trzecia część pojawia się w czwartej ćwiartce i biegnie po łuku przez punkty nawias trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.

Poniżej przedstawiony jest tylko efekt końcowy

Rzie7TUOoFCgP

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 7 do 7 i pionową oś y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono wykres o równaniu hx=−3x−2+1. Wykres składa się z trzech części pierwsza z nich pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu i biegnie po łuku przez punkt minus pięć średnik zero zamknięci nawiasu i punkt nawias minus trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w trzeciej ćwiartce. Drugi fragment również pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie po łuku przez punkt nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu, następnie dochodzi do osi y nad rzędną dwa, dalej biegnie po łuku przez punkt nawias jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu. Trzecia część pojawia się w czwartej ćwiartce i biegnie po łuku przez punkty nawias trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.

Ważne!

Jeśli część wykresu, którą odbijamy symetrycznie, posiada asymptoty, to je również odbijamy.

Opiszemy własności funkcji $h (x) = - \frac{3}{|x| - 2} + 1$ :

a) $D_{h} = ℝ ∖ \{- 2; 2\}$ ;
b) $Z W_{h} = (- \infty; 1) \cup ⟨ 2 \frac{1}{2}; \infty)$ ;
c) $x_{0} \in \{- 5; 5\}$ ;
d) funkcja jest rosnąca w przedziałach: $(0; 2), (2; \infty)$ ;
e) funkcja jest malejąca w przedziałach: $(- \infty; - 2), (- 2; 0)$ ;
f) asymptota pozioma: $y = 1$ , asymptoty pionowe: $x = 2$ , $x = - 2$ ;
g) $h (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - 5) \cup (- 2; 2) \cup (5; \infty)$ ;
h) $h (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- 5; - 2) \cup (2; 5)$ ;
i) funkcja jest parzysta.

Przykład 3

Narysujemy wykres funkcji $h (x) = - \frac{3}{|x| + 2} + 1$

Rozwiązanie

Krok 1. Rysujemy wykres funkcji $g (x) = - \frac{3}{x}$ – granatowa przerywana linia

Krok 2. Następnie przesuwamy go o wektor $[-2, 1]$ – czerwona przerywana linia

Krok 3. Następnie, część wykresu, która znajduje się po prawej stronie osi $Y$ $(x > 0)$ odbijamy symetrycznie względem osi $Y$ . Część wykresu znajdująca się po lewej stronie osi $Y$ $(x < 0)$ znika – zielona linia

RGmVRELiviLr4

Poniżej przedstawiony jest tylko efekt końcowy

RFw4SmCneLukI

ustracja przedstawia pozioma oś x od minus 7 do 7 i pionową oś y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono wykres o równaniu hx=−3x+2+1. Wykres ten pojawia się w drugiej ćwiartce układu i biegnie po łuku nad osią x następnie w punkcie nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu przecina oś x, dalej przecina oś y tuż pod osią x i biegnie znów po łuku przez punkt nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce zaraz nad osią x.

Przykład 4

Narysujemy wykres funkcji $f (x) = \frac{|x| + 3}{|x| - 3}$

Rozwiązanie

Krok 1. Najperw należy przekształcić funkcję $g (x) = \frac{x + 3}{x - 3}$ do postaci kanonicznej: $h (x) = \frac{6}{x - 3} + 1$

Krok 2. Następnie rysujemy wykres funkcji $f (x) = \frac{6}{x}$ – granatowa przerywana linia

Krok 3. Kolejny krok to przesunięcie o wektor $[3; 1]$ – czerwona przerywana linia

Krok 4. Następnie, część wykresu, która znajduje się po prawej stronie osi $Y$ (czyli dla $x > 0$ ), odbijamy symetrycznie względem osi $Y$ . Część wykresu znajdująca się po lewej stronie osi $Y$ $(x < 0)$ znika – niebieska linia

RmGuwah3Oqbls

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 7 do 7 i pionową oś y od minus 4 do sześć. W układzie zaznaczono wykres o równaniu gx=6x. Wykres ten ma kształt hiperboli, której asymptotami są osie układu współrzędnych. Część znajdująca się w trzeciej ćwiartce układu przechodzi przez punkty nawias minus sześć średnik minus jeden oraz nawias minus dwa średnik minus trzy. Część znajdująca się w pierwszej ćwiartce przechodzi przez punkty nawias dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu i nawias sześć średnik jeden zamknięcie nawiasu. Wykres narysowano granatową linią przerywaną. Kolejnym wykresem jest wykres funkcji hx, na płaszczyźnie zapisane zostało jej przekształcenie: hx=6x−3+1=6+x−3x−3=x+3x−3. Wykres ten również ma kształt hiperboli, jej asymptoty to x=3 oraz y=1. Jej pierwsza część przechodzi przez punty nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu i nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Druga część znajduje się w całości w pierwszej ćwiartce i przechodzi przez punkty nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu i nawias sześć średnik trzy zamknięcie nawiasu. Wykres ten namalowano czerwoną linią przerywaną. Kolejny wykres ma równanie fx=x+3x−3. Wykres ten ma trzy części. Pierwsza z nich znajduje się w całości w drugiej ćwiartce i ma kształt łuku, przechodzi przez punkty nawias minus sześć średnik trzy zamknięcie nawiasu i nawias minus pięć średnik cztery. Druga część pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce i biegnie przez punkt nawias minus jeden średnik minus dwa zamkniecie nawiasu, przecina oś y w punkcie nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku przez punkt nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. Trzecia część znajduje się w pierwszej ćwiartce , ma kształt łuku i przechodzi przez punkty nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu i nawias sześć średnik trzy zamkniecie nawiasu. Wykres ten namalowano niebieską linią ciągłą.

Poniżej przedstawiony jest tylko efekt końcowy

R1SbNQPFKKUKL

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 7 do 7 i pionową oś y od minus 4 do sześć. W układzie zaznaczono wykres o równaniu fx=x+3x−3. Wykres ten ma trzy części. Pierwsza z nich znajduje się w całości w drugiej ćwiartce i ma kształt łuku, przechodzi przez punkty nawias minus sześć średnik trzy zamknięcie nawiasu i nawias minus pięć średnik cztery. Druga część pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce i biegnie przez punkt nawias minus jeden średnik minus dwa zamkniecie nawiasu, przecina oś y w punkcie nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku przez punkt nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. Trzecia część znajduje się w pierwszej ćwiartce , ma kształt łuku i przechodzi przez punkty nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu i nawias sześć średnik trzy zamkniecie nawiasu.

Ważne!

Jeśli część wykresu, którą odbijamy symetrycznie, posiada asymptoty, to je również odbijamy.

Dla zainteresowanych

W poniższym przykładzie narysujemy wykres funkcji $y = |f (|x|)|$

Przykład 5

Narysujemy wykres funkcji $h (x) = |\frac{- 3 |x| + 2}{|x| - 1}|$

Rozwiązanie

Krok 1. Rysujemy wykres funkcji $g (x) = \frac{- 3 x + 2}{x - 1}$ . W tym celu przekształcamy wzór tej funkcji do postaci kanonicznej: $q (x) = \frac{- 1}{x - 1} - 3$

Krok 2. Rysujemy wykres funkcji $q (x) = - 3 - \frac{1}{x - 1}$ – granatowa przerywana linia

Krok 3. Aby naszkicować wykres funkcji $p (x) = |\frac{- 3 x + 2}{x - 1}| = |- 3 - \frac{1}{x - 1}|$ , tę część wykresu, która znajduje się pod osią $X$ , odbijamy symetrycznie względem osi $X$ . Część wykresu będąca nad osią $X$ zostaje bez zmian – czerwona przerywana linia

R1RxS6eHZYaMW

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 7 do 7 i pionową oś y od minus 5 do sześć. W układzie zaznaczono wykres o równaniu qx=−3−1x−1. Wykres ten ma kształt hiperboli, której asymptotami są proste x=1 oraz y=-3. Pierwsza część wykresu przechodzi przez punkt nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Druga część w całości znajduje się w czwartej ćwiartce i przechodzi przez punkt nawias dwa średnik minus cztery zamknięcie nawiasu. Wykres ten namalowano granatową linią przerywaną. Drugi wykres jest odbiciem lustrzanym pierwszego względem osi x, ma on równanie px=−3x+2x−1, jego asymptoty to x=-1 oraz y=3. Wykres pojawia się w drugiej ćwiartce układu, najpierw biegnie pod swoją poziomą asymptotą a następnie biegnie po łuku przecinając oś y w punkcie nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej przed odciętą równą jeden dotyka osi x i dalej biegnie niemal poziomo wzdłuż swojej pionowej asymptoty, wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. Drugi fragment znajduje się w całości w pierwszej ćwiartce, ma kształt łuku i przechodzi przez punkt nawias dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu. Wykres ten zaznaczono czerwoną linią przerywaną. Trzeci wykres ma równanie hx=−3x+2x−1>. Wykres składa się z trzech części i ma trzy asymptoty: x=-1, x= oraz1 y=3</math. Pierwsza z nich znajduje się w całości w drugiej ćwiartce układu, ma kształt łuku wybrzuszonego w stronę środka układu współrzędnych i przechodzi przez punkt nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu. Druga część pojawia się w drugiej ćwiartce biegnie niemal pionowo wzdłuż prawej strony asymptoty aż do osi x, następnie odbija się i biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu, następnie znów biegnie do osi x, odbija się od niej o biegnie niemal pionowo wzdłuż lewej strony swojej drugiej pionowej asymptoty, wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. Trzecia część znajduje się w całości w pierwszej ćwiartce, ma kształt łuku wybrzuszonego w stronę środka układu i przechodzi przez punkt nawias dwa średnik cztery zamkniecie nawiasu. Wykres ten namalowano ciągłą linią niebieską.

Poniżej przedstawiony jest tylko efekt końcowy

RVT7VeQi3wqWm

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 7 do 7 i pionową oś y od minus 2 do sześć. W układzie zaznaczono wykres o równaniu hx=−3x+2x−1>. Wykres składa się z trzech części i ma trzy asymptoty: x=-1, x= oraz1 y=3</math. Pierwsza z nich znajduje się w całości w drugiej ćwiartce układu, ma kształt łuku wybrzuszonego w stronę środka układu współrzędnych i przechodzi przez punkt nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu. Druga część pojawia się w drugiej ćwiartce biegnie niemal pionowo wzdłuż prawej strony asymptoty aż do osi x, następnie odbija się i biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu, następnie znów biegnie do osi x, odbija się od niej o biegnie niemal pionowo wzdłuż lewej strony swojej drugiej pionowej asymptoty, wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. Trzecia część znajduje się w całości w pierwszej ćwiartce, ma kształt łuku wybrzuszonego w stronę środka układu i przechodzi przez punkt nawias dwa średnik cztery zamkniecie nawiasu.

Ważne!

Jeśli część wykresu, którą odbijamy symetrycznie, posiada asymptoty, to je również odbijamy.

Słownik

proporcjonalność odwrotna

taka zależność między dwiema zmieniającymi się wielkościami $x$ i $y$ , w której iloczyn tych wielkości jest stały i różny od zera

odbicie symetryczne względem osi Y

przekształcenie, które punktowi $P = (x; y)$ przyporządkowuje punkt $P' = (- x; y)$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik