Warto przeczytać

Położenie ciała poruszającego się ruchem drgającymruch drgający (ang. oscillation)ruchem drgającym opisuje się wybierając za punkt odniesienia położenie równowagi ciała. Gdy drgania zachodzą wzdłuż osi 0X, a $x$ = 0 odpowiada położeniu równowagi, zależność położenia od czasu w ruchu harmonicznymruch harmoniczny (ang. simple harmonic motion)ruchu harmonicznym opisuje następująca zależność:

gdzie $A$ – amplituda drgańamplituda drgań (ang. amplitude)amplituda drgań, $\omega$ – częstość kołowaczęstość kołowa drgań (ang. angular/radian frequency)częstość kołowa, $\left(\omega t+\phi \right)$ – faza drgań, a $\phi$ – faza początkowa, czyli faza drgań dla $t$ = 0.

Wektor prędkości ciała poruszającego się ruchem harmonicznym ma kierunek osi Ox (Rys. 1.), a jego zwrot zmienia się co pół okresu, gdy ciało jest maksymalnie wychylone z położenia równowagi ($x=\pm A$).

RLCu0l2UhKXma

Rys. 1. Na rysunku znajduje się pozioma oś skierowana w prawo, na której odłożono położenie ciała, wykonującego ruch drgający. Położenie oznaczono literą małe x. Na osi zaznaczono punkt zero i 2 punkty równoodległe od punktu zerowego, wskazujące na maksymalne wychylenia w prawo i w lewo. Z lewej strony znajduje się punkt oznaczony literą minus wielkie A, z prawej strony punkt oznaczony literą wielkie A. Poruszający się punkt znajduje się na osi między punktem zerowym i punktem maksymalnego wychylenia z prawej strony. Do poruszającego się punktu przyłożony jest wektor prędkości, skierowany poziomo w prawo i oznaczony literą małe v ze strzałką nad nią.

Zależność współrzędnej prędkości od czasu dana jest przez:

gdzie $A$ – amplituda drgań, $\omega$ – częstość kołowa, $\left(\omega t+\phi \right)$ – faza drgań, a $\phi$ – faza początkowa.

Maksymalna wartość prędkości, nazywana też amplitudą prędkości, jest równa:

Jest ona proporcjonalna do amplitudy i częstości kołowej drgań $\omega =2\pi f$ (gdzie $f$ to częstotliwość drgańczęstotliwość drgań (ang. oscillation frequency)częstotliwość drgań).

Gdy faza początkowa jest równa zeru,

Wykresy zależności wychylenia i współrzędnej prędkości od czasu dla fazy początkowej równej zero przedstawia Rys. 2. Prędkość osiąga maksymalną wartość przy przejściu ciała przez położenie równowagi ($x$ = 0), a jest równa zeru, gdy ciało znajduje się w skrajnych położeniach ($x=\pm A$). Wykresy $x\left(t\right)$ i $v_x\left(t\right)$ są przesunięte względem siebie o ćwierć okresu.

RdxVDE1cvfu6S

Rys. 2. Ilustracja przedstawia 2 układy współrzędnych, których pionowe osie leżą na jednej linii prostej. W każdym z układów na osi poziomej odłożono czas, oznaczony literą małe t. W górnym układzie na osi pionowej odłożono wychylenie oznaczone literą małe x, w dolnym układzie na osi pionowej odłożono prędkość oznaczoną literą małe v. Wykres w górnym układzie, przedstawiający zależność wychylenia od czasu, to sinusoida, która zaczyna się w początkowym punkcie układu i wznosi się w górę i w prawo, osiągając maksimum. Następnie wykres opada w prawo i w dół, przecinając oś poziomą w punkcie o współrzędnej oznaczonej jako jedna druga razy wielkie T i osiąga minimum w punkcie poniżej osi poziomej. Dalej wykres znów wznosi się w górę i w prawo i przecina oś poziomą w punkcie o współrzędnej oznaczonej jako wielkie T. Dalej przebieg krzywej powtarza się. Narysowano poziomą, przerywaną linię prostą, która przechodzi przez pierwsze i drugie maksimum sinusoidy. Punkt przecięcia tej prostej z osią pionową oznaczony jest literą wielkie A. Wykres w dolnym układzie, przedstawiający zależność prędkości od czasu, to sinusoida, która zaczyna się w na osi pionowej, w punkcie odpowiadającym maksymalnej prędkości, oznaczonej równaniem: małe v z indeksem dolnym max równa się małe omega razy wielkie A. Wykres opada w prawo i w dół, przecina oś poziomą i osiąga minimum w punkcie o współrzędnej czasu równej jedna druga razy wielkie T. Następnie wykres wznosi się w górę i w prawo, przecina oś poziomą i osiąga maksimum w punkcie o współrzędnej czasu równej wielkie T. Dalej przebieg krzywej powtarza się. Maksima i minima wykresu prędkości odpowiadają tym samym chwilom na osi czasu, co zerowe wychylenia na wykresie wychylenia. Natomiast zerowe prędkości odpowiadają maksimom i minimom na wykresie wychylenia.

Gdy faza początkowa jest równa $\pi$/2, to w chwili początkowej wychylenie jest równe amplitudzie drgań i ciało porusza się w stronę położenia równowagi. Zależność wychylenia od czasu opisuje równanie:

a zależność współrzędnej prędkości od czasu:

Równania te można uprościć korzystające z wzorów redukcyjnych:

Zatem

Wykresy $x\left(t\right)$ i $v_x\left(t\right)$ przedstawia Rys. 3.

R15dOcETNqecl

Rys. 3. Ilustracja przedstawia 2 układy współrzędnych, których pionowe osie leżą na jednej linii prostej. W każdym z układów na osi poziomej odłożono czas oznaczony literą małe t. W górnym układzie na osi pionowej odłożono wychylenie oznaczone literą małe x, w dolnym układzie na osi pionowej odłożono prędkość oznaczoną literą małe v. Wykres w górnym układzie, przedstawiający zależność wychylenia od czasu, to sinusoida, która zaczyna się na osi pionowej w punkcie maksymalnego wychylenia i opada w dół i w prawo, przecinając oś poziomą i osiągając minimum w punkcie o współrzędnej czasu jedna druga razy wielkie T. Następnie wykres wznosi się prawo i w górę, przecina oś poziomą i osiąga maksimum w punkcie o współrzędnej czasu wielkie T. Dalej wykres znów opada w dół i w prawo i przebieg krzywej powtarza się. Narysowano pionowy, przerywany odcinek między osią poziomą i punktem maksymalnym wykresu. Odcinek oznaczono literą wielkie A. Wykres w dolnym układzie, przedstawiający zależność prędkości od czasu, to sinusoida, która zaczyna się w początkowym punkcie układu, opada w prawo i w dół i osiąga minimum w punkcie poniżej osi poziomej. Następnie wykres wznosi się w górę i w prawo i przecina oś poziomą w punkcie o współrzędnej jedna druga razy wielkie T. Wykres osiąga maksimum w punkcie powyżej osi poziomej. Następnie opada w prawo i dół i przecina oś poziomą w punkcie o współrzędnej wielkie T. Dalej przebieg krzywej powtarza się. Maksima i minima wykresu prędkości odpowiadają tym samym chwilom na osi czasu, co zerowe wychylenia na wykresie wychylenia. Natomiast zerowe prędkości odpowiadają maksimom i minimom na wykresie wychylenia. Narysowano pionowy, przerywany odcinek między osią poziomą i punktem maksymalnym wykresu. Przy odcinku zapisano równanie: małe v indeksem dolnym max równa się małe omega razy wielkie A.

Ogólnie, gdy faza początkowa $\phi$ jest różna od zera, to wykresy $x\left(t\right)$ i $v_x\left(t\right)$ są przesunięte wzdłuż osi czasu w kierunku przeciwnym do znaku $\phi$. Gdy $\phi$ > 0 to wykresy są przesunięte w kierunku wartości ujemnych, a gdy $\phi$ < 0 w kierunku dodatnim osi czasu.

Przykład 1.

Zapisz równanie i narysuj wykres zależności (Rys. 4.) współrzędnej prędkości od czasu dla drgań harmonicznych o amplitudzie: $A$ = 0,1 m, częstotliwości $f$ = 2 Hz i fazie początkowej $\pi$/2.

Częstość kołowa: $\omega =2\pi f=4\pi rad/s$

Okres drgańokres drgań (ang. oscillation period)Okres drgań: $T=\frac{1}{f}=\frac{1}{2Hz}=\frac{1}{2}s$

Maksymalna wartość prędkości: $v_{max}=\omega A=4\pi rad/s\cdot 0,1m=0,4\pi m/s\approx 1,3m/s$

RqtnKJirSz7AU

Rys. 4. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono czas w sekundach oznaczony literą małe t. Na osi pionowej odłożono prędkość w metrach na sekundę, oznaczoną literą małe v. Wykres to sinusoida, która zaczyna się w początkowym punkcie układu, opada w prawo i w dół i osiąga minimum w punkcie o współrzędnych: czas 0,125 sekundy, prędkość minus 1,3 metra na sekundę. Następnie wykres wznosi się w górę i w prawo i przecina oś poziomą w punkcie o współrzędnej 0,25 sekundy. Wykres osiąga maksimum w punkcie o współrzędnych: czas 0,325 sekundy, prędkość 1,3 metra na sekundę. Następnie opada w prawo i dół i przecina oś poziomą w punkcie o współrzędnej 0,5 sekundy. Dalej przebieg krzywej powtarza się. Kolejne punkty przecięcia sinusoidy z osią czasu to: 0,75 sekundy, jedna sekunda,1,25 sekundy, 1,5 sekundy 1,75 sekundy, dwie sekundy.

Przykład 2.

Zapisz równania i narysuj w tym samym układzie współrzędnych wykresy zależności (Rys. 5.) współrzędnych prędkości od czasu dla dwóch oscylatorów harmonicznych o tej samej amplitudzie drgań $A$ = 0,1 m i fazie początkowej równej zero, ale różnych częstotliwościach: $f_1$ = 0,5 Hz, $f_2$ = 1 Hz.

Dla oscylatora o częstotliwości $f_1$:

Częstość kołowa: ${\omega }_1=2\pi f_1=\pi rad/s$

Okres drgań: $T_1=\frac{1}{f_1}=2s$

Maksymalna wartość prędkości $v_{max1}={\omega }_{1}A=\pi rad/s\cdot 0,1m=0,1\pi m/s\approx 0,3m/s$

Zależność współrzędnej prędkości od czasu to

Dla oscylatora o częstotliwości $f_2$:

Częstość kołowa: ${\omega }_2=2\pi f_2=2\pi rad/s$

Okres drgań: $T_2=\frac{1}{f_2}=1s$

Maksymalna wartość prędkości $v_{max2}={\omega }_{2}A=2\pi rad/s\cdot 0,1m=0,2\pi m/s\approx 0,6m/s$

Zależność współrzędnej prędkości od czasu ma postać

R5VF4elw26Qmf

Rys. 5. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono czas w sekundach oznaczony literą małe t. Na osi pionowej odłożono prędkość w metrach na sekundę, oznaczoną literą małe v. Narysowano 2 wykresy: sinusoidę niebieską, oznaczoną literą małe v z indeksem dolnym 1 i sinusoidę czerwoną, oznaczoną literą małe v z indeksem dolnym 2. Sinusoida niebieska zaczyna się w punkcie o współrzędnych: czas zero, prędkość 0,3 metra na sekundę i opada w dół i w prawo, przecinając oś poziomą i osiągając minimum w punkcie o współrzędnych: czas jedna sekunda, prędkość minus 0,3 metra na sekundę. Następnie wykres wznosi się w górę i w prawo, osiągając maksimum w punkcie o współrzędnych: czas dwie sekundy, prędkość 0,3 metra na sekundę. Dalej przebieg krzywej powtarza się. Sinusoida czerwona zaczyna się w punkcie o współrzędnych: czas zero, prędkość 0,6 metra na sekundę i opada w dół i w prawo, przecinając oś poziomą i osiągając minimum w punkcie o współrzędnych: czas 0,5 sekundy, prędkość minus 0,6 metra na sekundę. Następnie wykres wznosi się w górę i w prawo, osiągając maksimum w punkcie o współrzędnych: czas jedna sekunda, prędkość 0,6 metra na sekundę. Dalej przebieg krzywej powtarza się.

Słowniczek