Przeczytaj

Operowanie symbolem silni w zadaniach sprowadza się zazwyczaj do wyróżniania pewnych jej czynników, a następnie do przekształcania otrzymanych wyrażeń do postaci, którą sugeruje polecenie.

Np. w zadaniach, w których istotne jest analizowanie zapisu dziesiętnego rozpatrywanej liczby warto mieć na uwadze jej czynniki podzielne przez $2$ oraz podzielne przez $5$ .

Natomiast w zadaniach, w których chcemy wykazać, że rozpatrywana liczba jest kwadratem liczby całkowitej przydatne będzie grupowanie czynników w pary takich samych liczb oraz zapis danej liczby w postaci iloczynu potęg liczb całkowitych o parzystych wykładnikach.

Przykład 1

Wyznaczymy wszystkie dodatnie liczby całkowite $n$ , które spełniają nierówność

$4! \cdot 6! \cdot (n + 3)! < n! \cdot 10!$ .

Rozwiązanie

Przekształcając nierówność równoważnie otrzymujemy kolejno

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6! \cdot n! \cdot (n + 1) \cdot (n + 2) \cdot (n + 3) < n! \cdot 6! \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$ ,

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (n + 1) \cdot (n + 2) \cdot (n + 3) < 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$ ,

$(n + 1) \cdot (n + 2) \cdot (n + 3) < 210 = 5 \cdot 6 \cdot 7$ .

Ponieważ ciągciągciąg $a_{n} = (n + 1) \cdot (n + 2) \cdot (n + 3)$ , gdzie $n \geq 1$ , jest rosnący oraz $a_{4} = 5 \cdot 6 \cdot 7 = 210$ , więc nierówność $a_{n} < 210$ jest spełniona dla $n \in \{1, 2, 3\}$ .

Przykład 2

Wykażemy, że w zapisie dziesiętnym liczby

$S = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + 4 \cdot 4! + \dots + 23 \cdot 23! + 24 \cdot 24!$

występuje co najmniej $6$ dziewiątek.

Rozwiązanie

Rozpatrzmy liczbę

$w = 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 23! + 24!$ .

Zauważmy, że

$S + w = (1 + 1) \cdot 1! + (2 + 1) \cdot 2! + (3 + 1) \cdot 3! + \dots + (24 + 1) \cdot 24!$ ,

a więc

$S + w = 2! + 3! + 4! + \dots + 25!$ .

Wobec tego

$S = 2! + 3! + 4! + \dots + 25! - (1! + 2! + 3! + \dots + 24!) = 25! - 1! = 25! - 1$ .

Ponieważ wśród czynników liczby $25!$ są między innymi $2$ , $4$ , $5$ , $10$ , $15$ , $20$ oraz $25$ , więc ta liczba dzieli się przez iloczyn

$2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 20 \cdot 25 = 3000000$ .

Wynika stąd, że każda z sześciu ostatnich cyfr zapisu dziesiętnego liczby $25!$ jest zerem, a to oznacza, że sześć ostatnich cyfr liczby

$S = 25! - 1$

to dziewiątki.

To spostrzeżenie kończy dowód.

Uwaga!

Uogólniając spostrzeżenia poczynione w powyższym przykładzie zauważamy, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $k$ zachodzi równość

k \cdot k! = ((k + 1) - 1) \cdot k! = (k + 1) \cdot k! - k! = (k + 1)! - k!

skąd wniosek, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej $k$

1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + k \cdot k! = (2 \cdot 1! - 1!) + (3 \cdot 2! - 2!) + \dots + ((k + 1) \cdot k! - k!) =

= (2! - 1!) + (3! - 2!) + \dots + ((k + 1)! - k!) = (k + 1)! - 1! = (k + 1)! - 1

Dla $k = 24$ otrzymujemy w szczególności

$1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + 24 \cdot 24! = 25! - 1$ .

Przykład 3

Ustalimy, ile jest równa suma trzech ostatnich cyfr liczby

$x = 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + 18! + 19! + 20!$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że każdy ze składników liczby $x$ dzieli się przez $10!$ , a więc dzieli się przez iloczyn $2 \cdot 5 \cdot 10 = 100$ . Oznacza to, że dwie ostatnie cyfry liczby $x$ są zerami.

Ponieważ wśród czynników liczby $15!$ są między innymi $4$ , $5$ , $10$ , $15$ , więc $15!$ dzieli się przez $4 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 15 = 3000$ .

Wynika stąd, że trzy ostatnie cyfry sumy

$15! + 16! + 17! + 18! + 19! + 20!$

są zerami.

Obliczamy, że

$\frac{10!}{100} = 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 36288$ .

Wobec tego trzecia od końca cyfra liczby $x$ to iloczyn liczby $8$ przez cyfrę jedności liczby $\frac{10! + 11! + 12! + 13! + 14!}{10!}$ .

Ta liczba jest równa $1 + 11 + 11 \cdot 12 + 11 \cdot 12 \cdot 13 + 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14$ , a jej ostatnią cyfrą jest 4 (aby ją wyznaczyć wystarczy sprawdzić, że ostatnią cyfrą składników tej sumy są kolejno: $1$ , $1$ , $2$ , $6$ oraz $4$ ).

Ponieważ $4 \cdot 8 = 32$ , więc ostatecznie stwierdzamy, że trzecia od końca cyfra liczby $x$ to $2$ . Oznacza to, że suma trzech ostatnich cyfr liczby $x$ jest równa $2$ .

Uwaga!

Korzystając z własności przystawania liczb całkowitychkongruencja modulo nprzystawania liczb całkowitych modulo $1000$ , a także z twierdzeń o działaniach arytmetycznychtwierdzeń o działaniach arytmetycznych na otrzymanych kongruencjachkongruencja modulo nkongruencjach, kolejne wnioski sformułowane powyżej możemy zapisać następująco

$10! = (2 \cdot 5 \cdot 10) \cdot (3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9) = 100 \cdot 36288 \equiv 800 (\mod 1000)$ ,

$10! + 11! + 12! + 13! + 14! \equiv$

$\equiv 800 \cdot (1 + 11 + 11 \cdot 12 + 11 \cdot 12 \cdot 13 + 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14) \equiv$

$800 \cdot 1 + 800 \cdot 1 + 800 \cdot 2 + 800 \cdot 6 + 800 \cdot 4 \equiv 200 (\mod 1000)$

$15! = 10! \cdot (11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14) \cdot 15 \equiv 0 (\mod 1000)$ ,

skąd

$x \equiv 200 (\mod 1000)$ .

Przykład 4

Wykażemy, że liczba

$a = 35 \cdot 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdot 6! \cdot 7! \cdot 8! \cdot 9! \cdot 10! \cdot 11! \cdot 12! \cdot 13! \cdot 14! \cdot 15! \cdot 16! \cdot 17! \cdot 18!$

jest kwadratem liczby naturalnej.

Rozwiązanie

Zauważmy, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $k$ prawdziwa jest równość

$(2 k - 1)! \cdot (2 k)! = (2 k - 1)! \cdot (2 k - 1)! \cdot (2 k) = {((2 k - 1)!)}^{2} \cdot (2 k)$ .

Wynika stąd, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ prawdziwe są poniższe równości

$1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot \dots \cdot (2 n - 1)! \cdot (2 n)! =$

$= (1! \cdot 2!) \cdot (3! \cdot 4)! \cdot \dots \cdot ((2 n - 1)! \cdot (2 n)!) =$

$= {(1!)}^{2} \cdot 2 \cdot {(3!)}^{2} \cdot 4 \cdot \dots \cdot {((2 n - 1)!)}^{2} \cdot (2 n) =$

$= {(1! \cdot (3!) \cdot \dots \cdot (2 n - 1)!)}^{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \dots \cdot (2 n) =$

$= {(1! \cdot (3!) \cdot \dots \cdot (2 n - 1)!)}^{2} \cdot (1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n) \cdot 2^{n} =$

$= {(1! \cdot (3!) \cdot \dots \cdot (2 n - 1)!)}^{2} \cdot n! \cdot 2^{n}$ .

Korzystając z powyższej tożsamości możemy zapisać

$a = 35 \cdot 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdot 6! \cdot 7! \cdot 8! \cdot 9! \cdot 10! \cdot 11! \cdot 12! \cdot 13! \cdot 14! \cdot 15! \cdot 16! \cdot 17! \cdot 18! =$

$= 35 \cdot 2^{9} \cdot 9! \cdot {(1! \cdot 3! \cdot \dots \cdot 17!)}^{2}$ .

Ponieważ

$35 \cdot 2^{9} \cdot 9! = 5 \cdot 7 \cdot 2^{9} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^{2} \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot 2^{3} \cdot 3^{2} = 2^{16} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}$

więc

$a = 2^{16} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2} \cdot {(1! \cdot 3! \cdot \dots \cdot 17!)}^{2} = {(2^{8} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot (1! \cdot 3! \cdot \dots \cdot 17!))}^{2}$ .

Oznacza to, że liczba $a$ jest kwadratem liczby całkowitej.

Słownik

ciąg

funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste

kongruencja modulo n

jeśli liczby całkowite $a$ i $b$ dają tę samą resztę z dzielenia przez dodatnią liczbę całkowitą $n$ , to $n$ jest dzielnikiem $a - b$ ; tę relację zapisujemy symbolicznie $a \equiv b (\mod n)$ i czytamy: „ $a$ przystaje do $b$ modulo $n$ ”

twierdzenie o działaniach arytmetycznych na kongruencjach

rozpatrzmy dodatnią liczbę całkowitą $n$ oraz liczby całkowite $a$ , $b$ , $c$ oraz $d$ ; wówczas

jeżeli $a \equiv b (\mod n)$ to dla dowolnej liczby $c$ prawdziwe są kongruencje $a + c \equiv b + c (\mod n)$ oraz $a c \equiv b c (\mod n)$ ,
jeżeli $a \equiv b (\mod n)$ oraz $c \equiv d (\mod n)$ to prawdziwe są kongruencje $a + c \equiv b + d (\mod n)$ oraz $a c \equiv b d (\mod n)$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik