Przeczytaj
Operowanie symbolem silni w zadaniach sprowadza się zazwyczaj do wyróżniania pewnych jej czynników, a następnie do przekształcania otrzymanych wyrażeń do postaci, którą sugeruje polecenie.
Np. w zadaniach, w których istotne jest analizowanie zapisu dziesiętnego rozpatrywanej liczby warto mieć na uwadze jej czynniki podzielne przez oraz podzielne przez .
Natomiast w zadaniach, w których chcemy wykazać, że rozpatrywana liczba jest kwadratem liczby całkowitej przydatne będzie grupowanie czynników w pary takich samych liczb oraz zapis danej liczby w postaci iloczynu potęg liczb całkowitych o parzystych wykładnikach.
Wyznaczymy wszystkie dodatnie liczby całkowite , które spełniają nierówność
.
Rozwiązanie
Przekształcając nierówność równoważnie otrzymujemy kolejno
,
,
.
Ponieważ ciągciąg , gdzie , jest rosnący oraz , więc nierówność jest spełniona dla .
Wykażemy, że w zapisie dziesiętnym liczby
występuje co najmniej dziewiątek.
Rozwiązanie
Rozpatrzmy liczbę
.
Zauważmy, że
,
a więc
.
Wobec tego
.
Ponieważ wśród czynników liczby są między innymi , , , , , oraz , więc ta liczba dzieli się przez iloczyn
.
Wynika stąd, że każda z sześciu ostatnich cyfr zapisu dziesiętnego liczby jest zerem, a to oznacza, że sześć ostatnich cyfr liczby
to dziewiątki.
To spostrzeżenie kończy dowód.
Uogólniając spostrzeżenia poczynione w powyższym przykładzie zauważamy, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej zachodzi równość
skąd wniosek, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej
.
Dla otrzymujemy w szczególności
.
Ustalimy, ile jest równa suma trzech ostatnich cyfr liczby
.
Rozwiązanie
Zauważmy, że każdy ze składników liczby dzieli się przez , a więc dzieli się przez iloczyn . Oznacza to, że dwie ostatnie cyfry liczby są zerami.
Ponieważ wśród czynników liczby są między innymi , , , , więc dzieli się przez .
Wynika stąd, że trzy ostatnie cyfry sumy
są zerami.
Obliczamy, że
.
Wobec tego trzecia od końca cyfra liczby to iloczyn liczby przez cyfrę jedności liczby .
Ta liczba jest równa , a jej ostatnią cyfrą jest 4 (aby ją wyznaczyć wystarczy sprawdzić, że ostatnią cyfrą składników tej sumy są kolejno: , , , oraz ).
Ponieważ , więc ostatecznie stwierdzamy, że trzecia od końca cyfra liczby to . Oznacza to, że suma trzech ostatnich cyfr liczby jest równa .
Korzystając z własności przystawania liczb całkowitychprzystawania liczb całkowitych modulo , a także z twierdzeń o działaniach arytmetycznychtwierdzeń o działaniach arytmetycznych na otrzymanych kongruencjachkongruencjach, kolejne wnioski sformułowane powyżej możemy zapisać następująco
,
,
skąd
.
Wykażemy, że liczba
jest kwadratem liczby naturalnej.
Rozwiązanie
Zauważmy, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej prawdziwa jest równość
.
Wynika stąd, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej prawdziwe są poniższe równości
.
Korzystając z powyższej tożsamości możemy zapisać
.
Ponieważ
więc
.
Oznacza to, że liczba jest kwadratem liczby całkowitej.
Słownik
funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste
jeśli liczby całkowite i dają tę samą resztę z dzielenia przez dodatnią liczbę całkowitą , to jest dzielnikiem ; tę relację zapisujemy symbolicznie i czytamy: „ przystaje do modulo ”
rozpatrzmy dodatnią liczbę całkowitą oraz liczby całkowite , , oraz ; wówczas
jeżeli to dla dowolnej liczby prawdziwe są kongruencje oraz ,
jeżeli oraz to prawdziwe są kongruencje oraz