Przeczytaj
Przypomnijmy definicję równoległości wektorów. Niezerowe wektory są równoległe, jeśli zawarte są w prostych równoległych, tzn. mają ten sam kierunek. Dla wektora zerowego nie definiujemy równoległości.
Udowodnimy teraz twierdzenie podające kryterium równoległości wektorówkryterium równoległości wektorów niezerowych.
Wektory niezerowe są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba taka, że (1) .
Ponieważ twierdzenie ma postać równoważności, mamy do rozważenia dwie implikacje. Jeżeli wektory spełniają równość to są równoległe na mocy definicji.
Załóżmy teraz, że wektory są równoległe. Jeżeli mają ten sam zwrot, to przyjmując , otrzymamy równość , która w myśl definicji iloczynu wektora i liczby oznacza, że wektor jest iloczynem wektora i liczby .
Gdy wektory mają zwroty przeciwne, wystarczy przyjąć i też otrzymamy równość (1).
Wniosek 1
Punkt leży na prostej wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba , że .
Wniosek 2
Punkt leży na półprostej o początku i przechodzącej przez punkt wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba , że i .
Wniosek 3
Punkt leży na półprostej dopełniającej do półprostej o początku w punkcie i przechodzącej przez punkt , to jest leży na prostej i nie leży na półprostej , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba , że i .
Wniosek 4
Punkt należy do odcinka wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba taka, że i .
Równania parametryczne
Powyższe wnioski pozwalają wprowadzić tzw. parametryzacje (lub równania parametryczne) następujących figur geometrycznych:
równanie parametryczne prostej : jeżeli może przyjąć dowolną wartość rzeczywistą, to wszystkie punkty spełniające warunek tworzą prostą ,
równanie parametryczne półprostej : jeżeli może przyjąć dowolną wartość z przedziału to wszystkie punkty spełniające warunek tworzą półprostą ,
równanie parametryczne odcinka : jeżeli może przyjąć dowolną wartość z przedziału , to wszystkie punkty spełniające warunek tworzą odcinek .
Słownik
dwa niezerowe wektory są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest iloczynem drugiego przez niezerową liczbę rzeczywistą