Warto przeczytać

Kepler, jako wybitny matematyk, był cenionym uczonym. Był zwolennikiem teorii Kopernika, co w tamtych czasach nie było powszechne. Bardzo dokładnie analizował dane obserwacyjne zbierane przez lata przez jednego z najwybitniejszych obserwatorów nocnego nieba tamtych czasów – Tycho BraheTycho BraheTycho Brahe. Dzięki wielkiej bazie pomiarów położeń planet na niebie – głównie Marsa – mógł wyznaczyć kształt ich orbit. W ten sposób sformułował prawo, które było prawie obrazoburcze. Planety nie tylko okrążały Słońce, ale ich ruch nie odbywał się po doskonałej krzywej, jaką jest okrąg.

R18VnYjQFaQQH

Rys. 1. Ilustracja przedstawia poziomą elipsę narysowaną czarną linią symbolizującą orbitę planety wokół słońca. W elipsie widoczne są długa i krótka oś narysowane w postaci poziomej i pionowej czarnej, przerywanej linii. Promień długiej, poziomej osi oznaczono małą literą a, natomiast promień krótkiej os oznaczono małą literą b. W elipsie zaznaczono położenia dwóch ognisk Wielka litera F z indeksem dolnym jeden po lewej stronie i wielka litera F z indeksem dolnym dwa po prawej stornie od środka elipsy, wyznaczonego jako punkt przecięcia się jej długiej i krótkiej osi. Ogniska zaznaczono czarnymi punktami. W ognisku wielka litera F z indeksem dolnym dwa po prawej stronie widoczne jest Słońce narysowane w postaci okręgu o czarnej krawędzi i białym wypełnieniu. Na odbicie po lewej stronie w dolnej części elipsy widoczna jest planeta narysowana w postaci czarnego punktu. Odległość pomiędzy Słońcem i planetą narysowano w postaci czarnej linii i opisano jako promień wodzący. Przez ognisko wielka litera F z indeksem dolnym dwa, w którym umiejscowiono Słońce ora przez skrajne prawy i lewy punkt elipsy poprowadzono pionowe, czarne i przerywane linii, służące do opisu odległości. Odległość pomiędzy ogniskiem wielka litera F z indeksem dolny dwa a najbardziej oddalonym punktem orbity opisano jako mała litera r z indeksem dolnym małą litera a. Odległość pomiędzy ogniskiem wielka litera F z indeksem dolnym dwa a punktem orbity w najbliższym ognisku opisano jako mała litera r z indeksem dolnym mała litera p.

Punkty FIndeks dolny 1₁ i FIndeks dolny 2₂ to ogniska elipsy. W FIndeks dolny 2₂ znajduje się Słońce, czyli masa centralna układu. Odległość a nazywamy wielką półosią elipsy, b – małą półosią elipsy, natomiast c to odległość pomiędzy ogniskiem elipsy a jej środkiem. Odległości rIndeks dolny a_a i rIndeks dolny p_p to odpowiednio odległość do aphelium (najdalszy od Słońca punkt orbity) oraz odległość do peryhelium (najbliższy Słońcu punkt orbity).

Każda elipsa charakteryzuje się dwoma wielkościami: wielką półosią (a) i mimośrodem, często nazywanym również ekscentrycznością (e). Wielką i małą półoś można porównać do promienia w okręgu. Różnica polega na tym, że elipsa ma dwa różne promienie nazywane półosiami: wielką - a i małą - b. Na co dzień używa się głównie pojęcia wielkiej półosi, ponieważ na niej znajdują się ogniska elipsy. Im większa jest wartość a i mniejsza b, tym większe spłaszczenie elipsy. Innym pojęciem używanym do opisu elipsy jest mimośród zwany również ekscentrycznością:

gdzie e to mimośród, a – wielka półoś, c - odległość pomiędzy ogniskiem a środkiem elipsy (tzw. ogniskowa).

Mimośród określa jak bardzo wydłużona jest elipsa, dla tej krzywej przyjmuje wartości w przedziale od 0 do 1. Im jest on większy, tym bardziej spłaszczona elipsa. Możemy powiedzieć, że mimośród jest miarą odstępstwa orbity od kształtu kołowego. Jeżeli mimośród równy jest 0, to obie osie elipsy są sobie równe i wtedy elipsa jest okręgiem.

Planety Układu Słonecznego mają niewielki mimośród – poniżej dwóch dziesiątych. Dla przykładu mimośród Ziemi wynosi 0,01671. Planetą o najbardziej ekscentrycznej orbicie w Układzie Słonecznym jest Merkury – jego mimośród wynosi 0,2056.

Pierwsze prawo Keplera opisuje ruch wszystkich ciał niebieskich okrążających masywne ciało. W przypadku planet często przybliża się orbitę planety do koła – ze względu na małą ekscentryczność nie powoduje to dużego błędu obliczeniowego, a bardzo ułatwia obliczenia. W Układzie Słonecznym wszystkie ciała niebieskie: planety, planetoidy, meteoroidy krążą wokół Słońca, a nawet Księżyce wokół planet poruszają zgodnie z I prawem Keplera.

Uogólnione I prawo Keplera mówi o tym, że elipsa nie jest jedyną krzywą, po której mogą poruszać się ciała w Układzie Słonecznym. Mogą nimi być również parabola i hiperbola, czyli tak zwane krzywe stożkowe. Krzywe stożkowe są to linie powstałe na ścianie bocznej stożka w wyniku przecięcia go płaszczyzną pod określonym kątem.

RGJIFCX58uvdx

Rys. 2. Ilustracja podzielona jest na dwie części. Po lewej stronie widoczny jest szary stożek skierowany wierzchołkiem pionowo w górę. Stożek przecięto pod różnymi kątami i zamalowano na kolorowo powierzchnię powstałą w wyniku przecięcia a następnie opisano jej kształt. Pierwsze przecięcie wykonano w płaszczyźnie poziomej. Przekrój stożka w tej płaszczyźnie zamalowano kolorem czerwonym a kształt przekroju opisano jako okrąg. Kolejne przecięcie wykonano poniżej pierwszego i wykonano je pod niewielkim kątem nachylonym względem płaszczyzny poziomej. Przekrój teko przecięcia zamalowano na żółto a jego kształt opisano jako elipsa. Następne przecięcie wykonano poniżej drugiego i wykonano je pod kątem pod kątem równoległym do tworzącej stożka. Przekrój zamalowano na zielono a jego kształt opisano jako parabolę. Ostatnie nacięcia wykonano najniżej i dokonano go w płaszczyźnie pionowej. Przekrój zamalowano kolorem niebieskim i opisano jako hiperbola. Obok po prawej stornie od stożka widoczne są nałożone na siebie przekroje powstałe w części lewej. Najszerszym przekrojem jest przekrój hiperboliczny widoczny w postaci niebieskiego kształtu o ramionach skierowanych w górę i ze środkiem wypełnionym tym samym kolorem. Na tle tego przekroju widoczny jest zielony przekrój paraboliczny również zamalowany w środku o ramionach skierowanych w górę. Na tle tych przekrojów widoczny jest żółty, pionowy przekrój eliptyczny. Na tle trzech przekrojów widoczny jest mniejszy przekrój w postaci czerwonego koła. Wszystkie przekroje narysowane są w taki sposób, że ich najniższe punkty znajdują się w jednym miejscu.

Jeżeli stożek przetniemy płaszczyzną równoległą do podstawy, to otrzymamy koło (pierwsza krzywa stożkowa). Przecinając stożek pod pewnym niewielkim kątem do podstawy otrzymamy elipsę. Natomiast przecinając stożek pod tak dużym kątem, że krzywa przejdzie przez podstawę, otrzymamy parabolę lub hiperbolę.

Zawsze jednak Słońce znajduje się w ognisku orbity. Kiedy mimośród (ekscentryczność) osiąga w danym układzie wielkość równą bądź większą od jedynki, to elipsa „rozrywa się”. Gdy jest równy 1 mamy do czynienia z parabolą. Natomiast e > 1 da nam hiperbolę. Każda z tych krzywych sprawia, że ciało znajdujące się na takiej orbicie tylko raz zbliża się do ogniska, w którym znajduje się masa centralna, natomiast wielka półoś orbity dąży do nieskończoności, a mała półoś dąży do zera. Prawdopodobnie część komet i drobnych ciał niebieskichdrobne ciała niebieskiedrobnych ciał niebieskich Układu Słonecznego porusza się po takich orbitach.

Słowniczek