Przeczytaj

Znasz już własności, które pozwalają zapisać nierówność bez symbolu wartości bezwzględnej.

Przypomnij je sobie.

Już wiesz

Dla dowolnych liczb $a$ oraz $r \geq 0$ mamy:

|x| \geq r \Leftrightarrow [(x \leq - r) \lor (x \geq r)]

oraz

|x - a| \geq r \Leftrightarrow [(x \leq a - r) \lor (x \geq a + r)]

Zapoznaj się z przykładami.

Przykład 1

Rozwiąż nierówność $|x + 6| \geq 10$ .

Zapisujemy nierówność bez symbolu modułu, korzystając wprost z powyższej własności:

$x + 6 \leq - 10 \lor x + 6 \geq 10$

$x \leq - 10 - 6 \lor x \geq 10 - 6$

$x \leq - 16 \lor x \geq 4$

Możemy przedstawić otrzymane nierówności na osi liczbowej. Rozwiązaniem jest alternatywa dwóch nierównościalternatywa dwóch nierównościalternatywa dwóch nierówności.

RbFflquz0gAOJ

Ilustracja przedstawia poziomą oś liczbową X z zaznaczonymi punktami o wartościach minus szesnaście oraz cztery. Punkty zaznaczone są zamalowanymi kropkami. Na osi zaznaczone zostały przedziały: od minus nieskończoności do minus szesnastu i od czterech do plus nieskończoności,

Podajemy zbiór rozwiązań:

$x \in (- \infty, - 16⟩ \cup ⟨4, \infty)$

Przykład 2

Rozwiąż nierówność $|3 x - 5| > 2$ .

Powołując się na wspomnianą własność możemy tę nierówność zapisać również w postaci alternatywy nierówności.

$3 x - 5 < - 2 \lor 3 x - 5 > 2$

A następnie rozwiązać odpowiednie nierówności.

$3 x - 5 < - 2 \lor 3 x - 5 > 2$

$3 x < - 2 + 5 \lor 3 x > 2 + 5$

$3 x < 3 \lor 3 x > 7$

$x < 1 \lor x > 2 \frac{1}{3}$

Podajemy zbiór rozwiązań:

$x \in (- \infty, 1) \cup (2 \frac{1}{3}, \infty)$

Przykład 3

Rozwiąż nierówność $|6 \cdot (x - 12) + 35| + 14 \geq 12$ .

Tym razem najpierw doprowadzimy wyrażenie pod modułem do najprostszej postaci.

$|6 x - 72 + 35| + 14 \geq 12$

$|6 x - 37| \geq - 2$

Odległość dwóch liczb jest zawsze liczbą nieujemną. Otrzymaliśmy nierówność tożsamościową.

Podajemy zbiór rozwiązań:

$x \in ℝ$

Przypomnij sobie teraz definicję:

Definicja algebraiczna wartości bezwzględnej liczby

Definicja: Definicja algebraiczna wartości bezwzględnej liczby

|a| = \{\begin{cases} a, & a \geq 0 \\ - a, & a < 0 \end{cases}

Rozwiązywanie nierówności przy użyciu tej definicji, wymaga rozpatrzenia dwóch przypadków:

1° $a \geq 0 \Rightarrow |a| = a$

2° $a < 0 \Rightarrow |a| = - a$

Przeanalizuj przykłady.

Przykład 4

Rozwiąż nierówność $|2 x - 4| > 12$ .

1°

Rozpatrujemy pierwszy przypadek, kiedy liczba pod modułem jest nieujemna.

$2 x - 4 \geq 0 \Leftrightarrow 2 x \geq 4 \Leftrightarrow x \geq 2$

Wtedy:

$|2 x - 4| = 2 x - 4$

i nierówność przyjmuje postać:

$2 x - 4 > 12$

$2 x > 16$

$x > 8$

W pierwszym przypadku, rozwiązaniem są liczby, które spełniają układ nierówności

$\{\begin{matrix} x \geq 2 \\ x > 8 \end{matrix} \Leftrightarrow x \in (8, \infty)$

2°

Rozpatrujemy drugi przypadek, kiedy liczba pod modułem jest ujemna.

$2 x - 4 < 0 \Leftrightarrow 2 x < 4 \Leftrightarrow x < 2$

Wtedy:

$|2 x - 4| = - 2 x + 4$

i nierówność przyjmuje postać:

$- 2 x + 4 > 12$

$- 2 x > 8$

$x < - 4$

W tym przypadku, rozwiązaniem są liczby, które spełniają układ nierówności

$\{\begin{cases} x < 2 \\ x < - 4 \end{cases} \Leftrightarrow x \in (- \infty, - 4)$

Rozwiązaniem nierówności $|2 x - 4| > 12$ jest suma przedziałów otrzymanych w powyższych przypadkach.

$x \in (- \infty, - 4) \cup (8, \infty)$

Przykład 5

Rozwiąż nierówność $|- 5 x + 10| \geq 5$ .

Zastosuj definicję algebraiczną wartości bezwzględnej liczby.

Rozpatrujemy przypadki:

1° $- 5 x + 10 \geq 0 \Leftrightarrow - 5 x \geq - 10 \Leftrightarrow x \leq 2$

Wtedy:

$|- 5 x + 10| = - 5 x + 10$

a nierówność przyjmuje postać:

$- 5 x + 10 \geq 5$

$- 5 x \geq 5 - 10$

$- 5 x \geq - 5$

$x \leq 1$

Zapisujemy rozwiązanie pierwszego przypadku.

$\{\begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 1 \end{matrix} \Leftrightarrow x \in (- \infty, 1⟩$

2° $- 5 x + 10 < 0 \Leftrightarrow - 5 x < - 10 \Leftrightarrow x > 2$

Wtedy:

$|- 5 x + 10| = 5 x - 10$

i nierówność przyjmuje postać:

$5 x - 10 \geq 5$

$5 x \geq 5 + 10$

$5 x \geq 15$

$x \geq 3$

Zapisujemy rozwiązanie drugiego przypadku.

$\{\begin{matrix} x > 2 \\ x \geq 3 \end{matrix} \Leftrightarrow x \in ⟨3, \infty)$

Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x \in (- \infty, 1⟩ \cup ⟨3, \infty)$

Słownik

alternatywa dwóch nierówności

dwie nierówności połączone spójnikiem logicznym „lub” $(\lor)$ ; jej zbiorem rozwiązań są liczby, które spełniają pierwszą lub drugą z nierówności

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik