Przeczytaj
W poniższych przykładach omówimy zadania dotyczące zliczania liczb naturalnych, których zapis dziesiętny spełnia kilka określonych w treści warunków.
Analizując te warunki będziemy wyraźnie rozróżniali kolejne etapy rozwiązania. Jeśli ponadto zauważymy potrzebę podzielenia rozwiązania na różne przypadki, to z zasady będziemy je rozważali jako przypadki rozłączne parami.
Obliczymy, ile jest:
a) wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero i na dokładnie trzech miejscach znajdują się cyfry parzyste,
b) wszystkich liczb naturalnych siedmiocyfrowych, w zapisie których na dokładnie czterech miejscach stoją cyfry parzyste.
Rozwiązanie:
a) Zliczanie rozkładamy na dwa etapy:
wybór trzech miejsc dla cyfr parzystych, z ośmiu dostępnych w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej oraz zapisanie takich cyfr na wybranych miejscach;
ponieważ każdy wybór trzech miejsc z ośmiu to trzyelementowa kombinacjakombinacja zbioru -elementowego, więc na podstawie twierdzenia o liczbie kombinacjitwierdzenia o liczbie kombinacji stwierdzamy, że takie trzy miejsca z ośmiu możemy wybrać na sposobów.
Wtedy wszystkich możliwości rozmieszczenia cyfr parzystych na ustalonych miejscach jest tyle, ile jest –elementowych wariacji z powtórzeniamiwariacji z powtórzeniami czteroelementowego zbioru cyfr parzystych, czyli .
Korzystając z reguły mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy, że w tym etapie jest możliwości;
zapisanie na pozostałych miejscach pięciu cyfr nieparzystych;
ponieważ wszystkich możliwości rozmieszczenia cyfr nieparzystych na pięciu pozostałych miejscach jest tyle, ile jest –elementowych wariacji z powtórzeniamiwariacji z powtórzeniami pięcioelementowego zbioru cyfr nieparzystych, więc w tym etapie mamy możliwości.
Korzystając jeszcze raz z reguły mnożeniareguły mnożenia, obliczamy ostatecznie, że wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero i na dokładnie trzech miejscach znajdują się cyfry parzyste jest .
b)
sposób:
Rozróżniamy dwa rozłączne przypadki:
na pierwszym miejscu zapisana jest cyfra parzysta,
na pierwszym miejscu jest cyfra nieparzysta.
W pierwszym przypadku zliczanie rozkładamy na trzy etapy:
wybór pierwszej cyfry – po odrzuceniu zera pozostają nam możliwości,
wybór miejsc z pozostałych w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej, na których zapiszemy kolejne cyfry parzyste (można to zrobić na sposobów) oraz zapisanie takich cyfr na ustalonych miejscach (co można zrobić na sposobów),
zapisanie cyfr nieparzystych na pozostałych miejscach – można to zrobić na sposobów.
Wynika stąd, że w tym przypadku jest liczb spełniających warunki zadania.
W drugim przypadku zliczanie rozkładamy również na trzy etapy:
wybór pierwszej cyfry – ponieważ możemy tu zapisać dowolną cyfrę nieparzystą, więc mamy możliwości,
wybór miejsc z pozostałych w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej, na których zapiszemy cyfry parzyste (można to zrobić na sposobów) oraz zapisanie takich cyfr na ustalonych miejscach (co można zrobić na sposobów),
zapisanie cyfr nieparzystych na pozostałych miejscach – można to zrobić na sposobów.
Oznacza to, że w tym przypadku jest liczb spełniających warunki zadania.
Korzystając z reguły dodawania obliczamy ostatecznie, że wszystkich liczb naturalnych siedmiocyfrowych, w zapisie których na dokładnie czterech miejscach stoją cyfry parzyste jest .
sposób:
Wypisujemy kolejno jedna za drugą siedem cyfr, wybierając każdą spośród możliwych (dopuszczamy na pierwszym miejscu), przy czym na dokładnie miejscach zapisujemy cyfrę parzystą. W trzech etapach obliczamy, ile jest tak określonych ciągów –elementowych.
Mamy możliwości wyboru miejsc dla cyfr parzystych, cyfry te na ustalonych miejscach możemy zapisać na sposobów, a na pozostałych miejscach cyfry nieparzyste zapiszemy na sposobów. Takich ciągów o cyfrach jest zatem .
Wśród tych ciągów są takie, w których cyfra zapisana jest na pierwszym miejscu. W każdym z nich na spośród kolejnych miejsc znajdują się cyfry parzyste. Miejsce dla nich można wybrać na sposobów, zapisać cyfry parzyste na tych ustalonych miejscach można na sposobów, a zapisać cyfry nieparzyste na pozostałych miejscach można również na sposobów. Oznacza to, że ciągów z cyfrą na pierwszym miejscu jest .
Stąd wynika, że jest takich ciągów –elementowych, w których pierwszą cyfrą nie jest . Ponieważ każdy taki ciąg odpowiada wzajemnie jednoznacznie liczbie –cyfrowej spełniającej warunki zadania, więc szukanych liczb –cyfrowych jest .
Obliczymy, ile jest dziewięciocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje zero, natomiast występują trzy cyfry i dwie cyfry .
Rozwiązanie:
Zliczanie rozkładamy na trzy etapy:
wybór miejsc spośród dostępnych w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej dla trzech cyfr i zapisanie tych cyfr na wybranych miejscach – można to zrobić na sposoby,
wybór miejsc spośród pozostałych dla dwóch cyfr i zapisanie tych cyfr na wybranych miejscach – można to zrobić na sposobów,
uzupełnienie każdego z pozostałych miejsc cyfrą wybieraną za każdym razem spośród dostępnych cyfr: , , , , , , – można to zrobić na sposobów.
Korzystając z reguły mnożeniareguły mnożenia, obliczamy, że wszystkich dziewięciocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje zero, natomiast występują trzy cyfry i dwie cyfry jest .
Obliczymy, ile jest dziewięciocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują trzy cyfry i dwie cyfry .
Rozwiązanie:
sposób:
Rozpatrujemy trzy rozłączne przypadki ze względu na pierwszą cyfrę zapisu dziesiętnego liczby naturalnej spełniającej warunki zadania:
jeśli jest to cyfra , to zliczanie rozkładamy na trzy następujące etapy:
wybór miejsc spośród dostępnych w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej dla dwóch cyfr i zapisanie tych cyfr na wybranych miejscach – można to zrobić na sposobów,
wybór miejsc spośród pozostałych dla dwóch cyfr i zapisanie tych cyfr na wybranych miejscach – można to zrobić na sposobów,
uzupełnienie każdego z pozostałych miejsc cyfrą wybieraną za każdym razem spośród dostępnych cyfr: , , , , , , , – można to zrobić na sposobów,
Zatem w tym przypadku jest liczb spełniających warunki zadania;jeśli jest to cyfra , to zliczanie rozkładamy na trzy następujące etapy:
wybór miejsc spośród dostępnych w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej dla trzech cyfr i zapisanie tych cyfr na wybranych miejscach – można to zrobić na sposobów,
wybór miejsca spośród pozostałych dla jednej cyfry i zapisanie tej cyfry na wybranym miejscu – można to zrobić na sposobów,
uzupełnienie każdego z pozostałych miejsc cyfrą wybieraną za każdym razem spośród dostępnych cyfr: , , , , , , , – można to zrobić na sposobów.
Oznacza to, że w tym przypadku jest liczb spełniających warunki zadania;jeśli jest to cyfra niezerowa, różna od i różna od , to zliczanie rozkładamy na cztery następujące etapy:
wybór jednej cyfry spośród dostępnych na pierwsze miejsce zapisu dziesiętnego – można to zrobić na sposobów,
wybór miejsc spośród dostępnych w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej dla trzech cyfr i zapisanie tych cyfr na wybranych miejscach – można to zrobić na sposobów,
wybór miejsc spośród pozostałych dla dwóch cyfr i zapisanie tych cyfr na wybranych miejscach – można to zrobić na sposobów,
uzupełnienie każdego z pozostałych miejsc cyfrą wybieraną za każdym razem spośród dostępnych cyfr: , , , , , , , – można to zrobić na sposobów.
Wynika stąd, że w tym przypadku jest liczb spełniających warunki zadania.
Wobec tego jest wszystkich dziewięciocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują trzy cyfry i dwie cyfry .
II sposób:
Wypisujemy kolejno jedna za drugą dziewięć cyfr, wybierając każdą spośród możliwych (dopuszczamy na pierwszym miejscu), przy czym na dokładnie miejscach zapisujemy cyfrę i na dokładnie miejscach zapisujemy cyfrę . W trzech etapach obliczamy, ile jest tak określonych ciągów –elementowych.
wybieramy miejsca spośród dostępnych w ciągu dla trzech cyfr i zapisujemy te cyfry na wybranych miejscach – można to zrobić na sposoby,
wybieramy miejsca spośród pozostałych dla dwóch cyfr i zapisujemy te cyfry na wybranych miejscach – można to zrobić na sposobów,
uzupełniamy każde z pozostałych miejsc cyfrą wybieraną za każdym razem spośród dostępnych cyfr: , , , , , , , – można to zrobić na sposobów.
Oznacza to, że jest takich ciągów.
Wśród rozpatrywanych powyżej ciągów są takie, w których cyfra zapisana jest na pierwszym miejscu. W każdym z nich na miejscach wybranych spośród kolejnych miejsc znajduje się cyfra , na miejscach wybranych spośród pozostałych miejsc znajduje się cyfra , a na każdym z jeszcze niewypełnionych miejsc można wstawić za każdym razem jedną spośród następujących cyfr: , , , , , , , .
Korzystając z reguły mnożeniareguły mnożenia, stwierdzamy więc, że ciągów z cyfrą zero na pierwszym miejscu jest .
Oznacza to, że jest takich ciągów –elementowych, w których pierwszą cyfrą nie jest . Ponieważ każdy taki ciąg odpowiada wzajemnie jednoznacznie liczbie –cyfrowej spełniającej warunki zadania, więc szukanych liczb –cyfrowych jest .
Obliczymy, ile jest wszystkich dwudziestocyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej , w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra i dokładnie jedna cyfra .
Rozwiązanie:
Z warunków zadania wynika, że możliwe są dwa następujące rozłączne przypadki:
w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby oprócz cyfr oraz jest jeszcze cyfra oraz siedemnaście cyfr ,
oprócz cyfr oraz w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby są jeszcze cztery cyfry oraz czternaście cyfr .
W pierwszym przypadku zliczanie rozkładamy na trzy etapy:
wybór jednej z trzech niezerowych cyfr do zapisania na pierwszym miejscu zapisu dziesiętnego rozpatrywanej liczby – można to zrobić na sposoby,
wybór miejsca (spośród dostępnych) do zapisania kolejnej niezerowej cyfry – można to zrobić na sposobów,
wybór miejsca (spośród dostępnych) do zapisania trzeciej niezerowej cyfry i uzupełnienie każdego z pozostałych miejsc cyfrą – można to zrobić na sposobów.
Zatem w tym przypadku jest liczb spełniających warunki zadania.
Drugi przypadek dzielimy na kolejne dwa rozłączne przypadki (ze względu na pierwszą cyfrę zapisu dziesiętnego):
pierwszą cyfrą rozpatrywanej liczby jest lub ;
w tym przypadku zliczanie rozkładamy na trzy etapy:
wybór jednej z cyfr: lub do zapisania na pierwszym miejscu zapisu dziesiętnego rozpatrywanej liczby – można to zrobić na sposoby,
wybór miejsca (spośród dostępnych) do zapisania drugiej z tych cyfr – można to zrobić na sposobów,
wybór czterech miejsc (spośród dostępnych) do zapisania czterech cyfr i uzupełnienie każdego z pozostałych miejsc cyfrą – można to zrobić na sposobów.
Zatem przy tak ustalonych warunkach jest liczb.
pierwszą cyfrą rozpatrywanej liczby jest ;
w tym przypadku zliczanie również rozkładamy na trzy etapy:
wybór miejsca (spośród dostępnych) do zapisania cyfry – można to zrobić na sposobów,
wybór miejsca (spośród dostępnych) do zapisania cyfry – można to zrobić na sposobów,
wybór trzech miejsc (spośród dostępnych) do zapisania trzech cyfr i uzupełnienie każdego z pozostałych miejsc cyfrą – można to zrobić na sposobów.
Zatem przy tak ustalonych warunkach jest liczb.
Wobec tego w drugim przypadku mamy ogółem możliwości.
Na koniec sumujemy liczby możliwości otrzymane w omówionych powyżej przypadkach i stwierdzamy, że wszystkich liczb naturalnych spełniających warunki zadania jest .
Obliczymy, ile jest liczb naturalnych, które są mniejsze niż i których iloczyn cyfr jest równy .
Rozwiązanie
Zauważmy, że:
, co oznacza, że w zapisie dziesiętnym każdej liczby spełniającej warunki zadania występują trzy cyfry , a więc rozpatrywać będziemy liczby co najmniej trzycyfrowe,
jeżeli liczba spełniająca warunki zadania ma w zapisie więcej niż trzy cyfry, to każda z cyfr różnych od jest równa ,
ponieważ liczba spełniająca warunki zadania jest mniejsza niż , więc może być co najwyżej –cyfrowa.
Wynika stąd, że szukamy liczb –cyfrowych, w których zapisie występują cyfry , a pozostałe cyfr to cyfry , gdzie .
Ponieważ miejsca do wstawienia trzech cyfr w zapisie każdej takiej liczby wyznaczymy na sposobów i wtedy na pozostałych rozmieścimy cyfry , więc wszystkich liczb spełniających warunki zadania jest tyle, ile jest równa suma
.
Korzystając z reguły sumowania współczynników dwumianowych po górnym indeksie. stwierdzamy, że powyższa suma jest równa .
Słownik
każdy –elementowy podzbiór zbioru –elementowego, gdzie , nazywamy –elementową kombinacją tego zbioru –elementowego
liczba wszystkich –elementowych kombinacji zbioru –elementowego, gdzie , jest równa
–wyrazowy ciąg o elementach wybieranych dowolnie (czyli z powtórzeniami) ze zbioru –elementowego
liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z sposobów, druga – na jeden z sposobów, trzecia – na jeden z sposobów i tak dalej do – tej czynności, która może zakończyć się na jeden z sposobów, jest równa