Prezentacja multimedialna
Zapoznaj się z przedstawioną poniżej prezentacją multimedialną.
Przeanalizuj zaprezentowane w niej rozwiązanie zadania, w którym należy ustalić, ile jest wszystkich ośmiocyfrowych liczb naturalnych, których cyfry spełniają jednocześnie dwa pewne warunki.
Przezentacja
Obliczymy, ile jest wszystkich ośmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym mogą występować jedynie cyfry , , , , spełniających jednocześnie dwa następujące warunki: cyfra występuje dokładnie razy, cyfra występuje co najmniej raz. Oznaczmy cyfry szukanej liczby ośmiocyfrowej kolejno od lewej , , , , , , , . Wtedy liczba składająca się z tak oznaczonych cyfr to szukana liczba ośmiocyfrowa.
Najpierw obliczymy, na ile sposobów możemy zapisać w rozpatrywanej liczbie ośmiocyfrowej trzy cyfry .
Ponieważ w tym celu mamy wybrać trzy miejsca spośród ośmiu dostępnych w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej, więc możemy to zrobić na sposobów.
Wybieramy –elementowy podzbiór z ośmioelementowego zbioru i na każdym z wybranych miejsc zapisujemy cyfrę . Każdy taki wybór to –elementowa kombinacja ze zbioru –elementowego, więc wszystkich możliwości zapisania w rozpatrywanej liczbie ośmiocyfrowej trzech cyfr jest
.
Liczbę możliwości, na które zgodnie z warunkami zadania możemy uzupełnić pozostałe cyfr obliczymy dwoma sposobami.
W kolejnym kroku należy wypełnić pozostałe pięć miejsc zapisu dziesiętnego danej liczby zgodnie z warunkami zadania. Możemy w tym celu wykorzystać wyłącznie cyfry , oraz , przy czym na co najmniej jednym z tych miejsc ma być zapisana cyfra .
Pierwszy sposób:
Rozpatrujemy pięć rozłącznych przypadków ze względu na liczbę cyfr na pozostałych pięciu miejscach zapisu dziesiętnego liczby naturalnej spełniającej warunki zadania.
Rozpatrujemy pięć rozłącznych przypadków.
Przypadek pierwszy:
Na pozostałych pięciu miejscach zapisana jest dokładnie jedna cyfra .
W tym przypadku jest możliwości.
Miejsce dla cyfry wybieramy spośród pięciu dostępnych, czyli na sposobów.
Pozostałe cztery miejsca uzupełniamy cyfrą wybieraną za każdym razem spośród dwóch dostępnych cyfr: lub , co można zrobić na sposobów.
Przypadek drugi:
Na pozostałych pięciu miejscach zapisane są dokładnie dwie cyfry .
W tym przypadku jest możliwości.
Dwa miejsca dla dwóch cyfr wybierzemy na sposobów, a pozostałe trzy miejsca uzupełniamy cyfrą wybieraną za każdym razem spośród dwóch dostępnych cyfr: lub , co można zrobić na sposobów.
Przypadek trzeci:
Na pozostałych pięciu miejscach zapisane są dokładnie trzy cyfry . W tym przypadku jest możliwości.
Trzy miejsca dla trzech cyfr wybierzemy na sposobów, a pozostałe dwa miejsca uzupełniamy cyfrą wybieraną za każdym razem spośród dwóch dostępnych cyfr: lub , co można to zrobić na sposoby.
Przypadek czwarty:
Na pozostałych pięciu miejscach zapisane są dokładnie cztery cyfry .
W tym przypadku jest możliwości. Miejsca dla czterech cyfr trzy wybierzemy na sposobów, a pozostałe jedno miejsce uzupełniamy cyfrą wybieraną spośród dwóch dostępnych cyfr: lub , co możemy zrobić na dwa sposoby.
Przypadek piąty:
Na pozostałych 5 miejscach zapisane są wyłącznie cyfry .
W tym przypadku jest tylko jedna możliwość.
Otrzymujemy więc ogółem możliwości uzupełnienia pięciu pozostałych miejsc zapisu dziesiętnego liczby spełniającej warunki zadania. Ogółem możliwości uzupełnienia pozostałych pięciu miejsc zapisu dziesiętnego rozpatrywanej liczby jest więc .
Drugi sposób:
Zauważamy, że liczba wszystkich możliwości uzupełnienia pozostałych pięciu miejsc jest równa .
Na każdym z tych pięciu miejsc zapisujemy cyfrę wybieraną za każdym razem spośród trzech dostępnych cyfr: , lub , co można zrobić na sposoby.
Wśród nich są takie przypadki, kiedy na żadnym z pozostałych pięciu uzupełnianych miejsc nie jest zapisana cyfra . Obliczamy, że są takie przypadki.
Wówczas na każdym spośród tych pięciu miejsc zapisana jest cyfra wybierana za każdym razem spośród dwóch cyfr: lub , a więc takich możliwości jest .
Wobec tego w pozostałych przypadkach na co najmniej jednym z uzupełnianych miejsc zapisana jest cyfra .
Zatem pozostało przypadków, w których na co najmniej jednym z uzupełnianych pięciu miejsc zapisana jest cyfra .
Oznacza to, że jest wszystkich ośmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym mogą występować jedynie cyfry , , , , przy czym cyfra występuje dokładnie razy i jednocześnie cyfra występuje co najmniej raz.
Podsumowując, otrzymujemy, że wszystkich –cyfrowych liczb naturalnych, które spełniają warunki zadania jest .
Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują co najwyżej cztery cyfry .