Przezentacja

Obliczymy, ile jest wszystkich ośmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym mogą występować jedynie cyfry $1$, $2$, $3$, $4$, spełniających jednocześnie dwa następujące warunki: cyfra $4$ występuje dokładnie $3$ razy, cyfra $3$ występuje co najmniej raz. Oznaczmy cyfry szukanej liczby $\mathrm{}$ośmiocyfrowej kolejno od lewej $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$. Wtedy liczba składająca się z tak oznaczonych cyfr to szukana liczba ośmiocyfrowa.

Najpierw obliczymy, na ile sposobów możemy zapisać w rozpatrywanej liczbie ośmiocyfrowej trzy cyfry $4$.

Ponieważ w tym celu mamy wybrać trzy miejsca spośród ośmiu dostępnych w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej, więc możemy to zrobić na $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)=56$ sposobów.

Wybieramy $3$–elementowy podzbiór z $\mathrm{}$ośmioelementowego zbioru $\left\{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8\right\}$ i na każdym z wybranych miejsc zapisujemy cyfrę $4$. Każdy taki wybór to $4$–elementowa kombinacja ze zbioru $\mathrm{}$–elementowego, więc wszystkich możliwości zapisania w rozpatrywanej liczbie ośmiocyfrowej trzech cyfr $4$ jest
$\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)=\frac{8·7·6}{3·2·1}=56$.

Liczbę możliwości, na które zgodnie z warunkami zadania możemy uzupełnić pozostałe $5$ cyfr obliczymy dwoma sposobami.

W kolejnym kroku należy wypełnić pozostałe pięć miejsc zapisu dziesiętnego danej liczby zgodnie z warunkami zadania. Możemy w tym celu wykorzystać wyłącznie cyfry $1$, $2$ oraz $3$, przy czym na co najmniej jednym z tych miejsc ma być zapisana cyfra $3$.

Pierwszy sposób:
Rozpatrujemy pięć rozłącznych przypadków ze względu na liczbę cyfr $3$ na pozostałych pięciu miejscach zapisu dziesiętnego liczby naturalnej spełniającej warunki zadania.

Rozpatrujemy pięć rozłącznych przypadków.

Przypadek pierwszy:
Na pozostałych pięciu miejscach zapisana jest dokładnie jedna cyfra $3$.
W tym przypadku jest $5\cdot 16=80$ możliwości.
Miejsce dla cyfry $3$ wybieramy spośród pięciu dostępnych, czyli na $5$ sposobów.
Pozostałe cztery miejsca uzupełniamy cyfrą wybieraną za każdym razem spośród dwóch dostępnych cyfr: $1$ lub $2$, co można zrobić na $2^4=16$ sposobów.

Przypadek drugi:
Na pozostałych pięciu miejscach zapisane są dokładnie dwie cyfry $3$.
W tym przypadku jest $10\cdot 8=80$ możliwości.
Dwa miejsca dla dwóch cyfr $3$ wybierzemy na $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=\frac{5·4}{2·1}=10$ sposobów, a pozostałe trzy miejsca uzupełniamy cyfrą wybieraną za każdym razem spośród dwóch dostępnych cyfr: $1$ lub $2$, co można zrobić na $2^3=8$ sposobów.

Przypadek trzeci:
Na pozostałych pięciu miejscach zapisane są dokładnie trzy cyfry $3$. W tym przypadku jest $10\cdot 4=40$ możliwości.
Trzy miejsca dla trzech cyfr $3$ wybierzemy na $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=\frac{5·4}{2}=10$ sposobów, a pozostałe dwa miejsca uzupełniamy cyfrą wybieraną za każdym razem spośród dwóch dostępnych cyfr: $1$ lub $2$, co można to zrobić na $2^2=4$ sposoby.

Przypadek czwarty:
Na pozostałych pięciu miejscach zapisane są dokładnie cztery cyfry $3$.
W tym przypadku jest $5\cdot2=10$ możliwości. Miejsca dla czterech cyfr trzy wybierzemy na $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)=5$ sposobów, a pozostałe jedno miejsce uzupełniamy cyfrą wybieraną spośród dwóch dostępnych cyfr: $1$ lub $2$, co możemy zrobić na dwa sposoby.

Przypadek piąty:
Na pozostałych 5 miejscach zapisane są wyłącznie cyfry $3$.
W tym przypadku jest tylko jedna możliwość.
Otrzymujemy więc ogółem $211$ możliwości uzupełnienia pięciu pozostałych miejsc zapisu dziesiętnego liczby spełniającej warunki zadania. Ogółem możliwości uzupełnienia pozostałych pięciu miejsc zapisu dziesiętnego rozpatrywanej liczby jest więc $80+80+40+10+1=211$.

Drugi sposób:

Zauważamy, że liczba wszystkich możliwości uzupełnienia pozostałych pięciu miejsc jest równa $243$.
Na każdym z tych pięciu miejsc zapisujemy cyfrę wybieraną za każdym razem spośród trzech dostępnych cyfr: $1$, $2$ lub $3$, co można zrobić na $3^5=243$ sposoby.

Wśród nich są takie przypadki, kiedy na żadnym z pozostałych pięciu uzupełnianych miejsc nie jest zapisana cyfra $3$. Obliczamy, że są $32$ takie przypadki.
Wówczas na każdym spośród tych pięciu miejsc zapisana jest cyfra wybierana za każdym razem spośród dwóch cyfr: $2$ lub $2$, a więc takich możliwości jest $2^5=32$.
Wobec tego w pozostałych $211$ przypadkach na co najmniej jednym z uzupełnianych miejsc zapisana jest cyfra $3$.
Zatem pozostało $243–32=211$ przypadków, w których na co najmniej jednym z uzupełnianych pięciu miejsc zapisana jest cyfra $3$.
Oznacza to, że jest $11816$ wszystkich ośmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym mogą występować jedynie cyfry $1$, $2$, $3$, $4$, przy czym cyfra $4$ występuje dokładnie $3$ razy i jednocześnie cyfra $3$ występuje co najmniej raz.
Podsumowując, otrzymujemy, że wszystkich $8$–cyfrowych liczb naturalnych, które spełniają warunki zadania jest $56\cdot211=11816$.