Przeczytaj
Odległość w terenie
Umiejętność posługiwania się kompasem odchodzi w zapomnienie. No może jeszcze pasjonaci biegów na orientację, harcerze i ci, którzy próbują odnaleźć się w survivalu, wiedzą jak korzystać z takiego urządzenia. Co prawda w przykładzie opisanym poniżej wygodniej byłoby posłużyć się busolą – urządzeniem, którego zasadniczą częścią jest kompas, a które posiada również wbudowane urządzenia celownicze.
Przypuśćmy, że spędzamy czas nad jeziorem, nie mamy GPS, bo brak zasięgu naszej sieci telefonicznej, ale za to znamy twierdzenie sinusówtwierdzenie sinusów i potrafimy obliczyć przybliżone wartości funkcji sinussinus. Chcielibyśmy przepłynąć jezioro, mamy bowiem doświadczenie w pływaniu na średnich dystansach. Ale czulibyśmy się lepiej, gdybyśmy znali odległość, jaka nas dzieli od punktu docelowego, jakim jest przystań po drugiej stronie jeziora.
Aby obliczyć dystans, który mamy do pokonania, tj. odległość od punktu do punktu , obliczyliśmy odległość oraz, wykorzystując busolę, kąty, pod jakimi widać dwa wyróżnione obiekty, odpowiednio z punktów i (patrz rysunek).
Rachunków wcale nie będzie zbyt wiele. Z bilansu kątów w trójkącie mamy, że . Teraz możemy już skorzystać z odkrycia Snelliusa i posłużyć się twierdzeniem sinusów
Stąd otrzymujemy, że
Decyzja, czy płynąć, może teraz okazać się łatwiejsza.
Zastosowanie twierdzenia sinusów do rozwiązywania trójkątów i badania związków miarowych w wielokątach
Jeśli nie będzie innego wskazania, to w kolejnych przykładach i zadaniach będziemy przyjmować, że kąt przy wierzchołku jest oznaczany literą i w trójkącie jest on położony naprzeciwko boku o długości , kąt przy wierzchołku jest oznaczany literą i w trójkącie jest on położony naprzeciwko boku o długości , kąt przy wierzchołku jest oznaczany literą i w trójkącie jest on położony naprzeciwko boku o długości . Kąt przy wierzchołku będzie oznaczany literą .
Najdłuższy bok trójkąta ma długość , a dwa kąty tego trójkąta mają miary oraz . Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Rozwiązanie
Mamy długość boku i kąt, a nawet dwa kąty w trójkącie. By zastosować twierdzenie sinusów potrzebujemy długości boku i kąta, ale pamiętajmy, że to musi być bok i kąt leżący naprzeciw tego boku. Oczywiście najdłuższy bok leży naprzeciw największego kąta, a ten nie jest jeszcze podany – jego miara jest równa
Teraz możemy już zapisać odpowiednią równość
Ponieważ
więc
Krzysiek przyczepił sznurek o długości do korkowej tablicy. Następnie bawił się wbijając szpilkę w tablicę korkową i mierząc kąty powstałego trójkąta .
W pewnym momencie Krzysiek zauważył, że kąty trójkąta są w stosunku . Znajdź długości boków trójkąta . Rozpatrz dwa przypadki.
Rozwiązanie
Niech będą kątami trójkąta . Wówczas , oraz dla pewnego . Zatem , więc . Zatem kąty mają miary: , , .
Rozpatrzmy trzy przypadki:
Z treści zadania wiemy, że (długość sznurka).
Przypadek I
Zatem , więc oraz
Pozostaje znaleźć długość trzeciego boku trójkąta . Ponownie korzystmy z twierdzenia sinusów. Wykorzystamy dokładną wartość funkcji (spróbuj uzasadnić tę równość wykorzystując wzory redukcyjne oraz wzór na sinus sumy).
.
Zatem długości boków trójkąta to: , i .
Przypadek i pozostawimy jako ćwiczenie. Podamy jedynie wyniki:
Przypadek : , ,
Przypadek : , ,
Słownik
sinusem kąta w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej w tym trójkącie
w dowolnym trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie