Przeczytaj
Okrąg na płaszczyźnie kartezjańskiej opisujemy za pomocą równania. Wyróżniamy dwie postacie tego równania:
równanie okręgu w postaci ogólnej , gdzie promień okręgu obliczamy ze wzoru , zaś punkt jest środkiem okręgu,
równanie okręgu w postaci kanonicznej , gdzie nazywamy promieniem okręgu, zaś punkt środkiem okręgu.
Wzajemne położenie dwóch okręgów na płaszczyźnie kartezjańskiej
Załóżmy, że mamy dane dwa okręgi na płaszczyźnie kartezjańskiej. Wprowadźmy oznaczenia:
- środki okręgów,
- promienie okręgów.
1. Okręgi styczne wewnętrznie lub zewnętrznie.
Okręgi są styczne wewnętrznie, gdy odległość między ich środkami jest równa wartości bezwzględnej różnicy ich promieni:
.
Na rysunku przedstawiono okręgi styczne wewnętrznie o równaniach:
oraz , skąd otrzymujemy:
oraz ,
oraz .
Okręgi są styczne zewnętrznie, gdy odległość między ich środkami jest równa sumie ich promieni:
.
Na rysunku przedstawiono okręgi styczne zewnętrznie o równaniach:
oraz , skąd otrzymujemy
oraz ,
oraz ,
2. Okręgi rozłączne wewnętrznie lub zewnętrznie.
Okręgi są rozłączne wewnętrznie, gdy odległość pomiędzy ich środkami jest mniejsza niż wartość bezwzględna różnicy ich promieni:
.
Na rysunku przedstawiono okręgi rozłączne wewnętrznie o równaniach:
oraz , skąd otrzymujemy
oraz ,
oraz .
Okręgi są rozłączne zewnętrznie, gdy odległość między ich środkami jest większa niż suma ich promieni:
Na rysunku przedstawiono okręgi rozłączne zewnętrznie o równaniach:
oraz , skąd otrzymujemy
oraz ,
oraz .
3. Okręgi przecinające się.
Okręgi przecinają się w dwóch punktach, gdy odległość między środkami okręgów jest większa od wartości bezwzględnej różnicy ich promieni i mniejsza od sumy ich promieni:
Na rysunku przedstawiono okręgi przecinające się o równaniach:
oraz , skąd otrzymujemy
oraz ,
oraz .
Z opisanych wyżej możliwości wzajemnego położenia dwóch okręgów na płaszczyźnie kartezjańskiej wynika pewna własność.
Dwa okręgi na płaszczyźnie kartezjańskiej mają:
punktów wspólnych, gdy są rozłączne wewnętrznie lub zewnętrznie,
punkt wspólny, gdy są styczne wewnętrznie lub zewnętrznie,
punkty wspólne, gdy się przecinają,
nieskończenie wiele punktów wspólnych, gdy się pokrywają.
Okręgi o wspólnym środku nazywamy okręgami współśrodkowymi. Zaliczamy je do grupy okręgów rozłącznych.
Na rysunku przedstawiono okręgi o równaniach:
oraz , skąd otrzymujemy
, i .
Do analizy wzajemnego położenia okręgów na płaszczyźnie kartezjańskiej wykorzystamy wzór na odległość dwóch punktów o współrzędnych i .
Wówczas: .
Zbadamy wzajemne położenie okręgów zadanych równaniami w postaci kanonicznejrównaniami w postaci kanonicznej: i .
Rozwiązanie:
Ustalmy środki i promienie okręgów. Mamy:
oraz ,
oraz .
Obliczmy odległość pomiędzy środkami tych okręgów:
.
Wyznaczmy sumę oraz różnicę promieni:
oraz .
Ponieważ zachodzi warunek , zatem okręgi przecinają się w dwóch punktach.
Zbadamy wzajemne położenie okręgów zadanych równaniami: oraz .
Rozwiązanie:
Równanie pierwszego okręgu możemy zapisać w postaci , a drugiego okręgu w postaci .
Środki i promienie tych okręgów wynoszą odpowiednio:
oraz ,
oraz .
Obliczmy odległość pomiedzy środkami tych okręgów:
.
Zauważmy, że .
Ponieważ zachodzi warunek , zatem okręgi są rozłączne zewnętrznie.
Jeżeli mamy dane równanie okręgu w postaci ogólnejrównanie okręgu w postaci ogólnej, wówczas możemy wyznaczyć jego środek i promień, korzystając ze wzorów.
Zbadamy wzajemne położenie okręgów zadanych równaniami: oraz .
Rozwiązanie:
Środek oraz promień pierwszego okręgu wynoszą:
i .
Do wyznaczenia środka i promienia drugiego okręgu wykorzystamy wzór na równanie okręgu w postaci ogólnej oraz wzór na promień .
Otrzymujemy:
oraz , co daje i
Środek okręgu ma zatem współrzędne .
Promień okręgu obliczymy po podstawieniu do wzoru:
Obliczmy odległość pomiędzy środkami tych okręgów:
Zauważmy, że .
Ponieważ , zatem okręgi są rozłączne wewnętrznie.
Mając dane równanie okręgu z parametrem, możemy wyznaczyć jego wartość, jeżeli wiemy, czy okręgi są styczne, przecinające się lub rozłączne.
Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru okręgi o równaniach i są styczne zewnętrznie.
Z podanych równań możemy odczytać środki oraz promienie okręgów.
Zatem:
oraz
oraz .
Z warunku, że promień okręgu jest zawsze większy od otrzymujemy nierówność:
, zatem .
Jeżeli okręgi są styczne zewnętrznie, to prawdziwy jest warunek:
Obliczmy odległość pomiędzy środkami tych okręgów:
Do wyznaczenia wartości parametru rozwiązujemy równanie:
, czyli .
Rozwiązaniami równania są liczby lub .
Okręgi są styczne zewnętrznie, gdy lub .
W celu wyznaczenia punktów wspólnych dwóch okręgów rozwiązujemy układ równań kwadratowych.
Wyznaczymy punkty wspólne okręgów określonych równaniami oraz .
Rozwiązanie:
W celu wyznaczenia punktów wspólnych tych okręgów rozwiążemy układ równań:
Układ ten jest równoważny układowi równań:
Jeżeli równania odejmiemy stronami, to otrzymujemy równanie , czyli .
Po podstawieniu tego wyrażenia do pierwszego równania otrzymujemy równanie , które przekształcamy do postaci .
Rozwiązaniami tego równania są liczby lub .
Zatem okręgi mają dwa punkty wspólne, których drugie współrzędne wynoszą odpowiednio oraz .
Okręgi przecinają się w punktach o współrzędnych oraz .
Słownik
, gdzie promień okręgu obliczamy ze wzoru i oraz - środek okręgu
, gdzie - promień okręgu, - środek okręgu