Warto przeczytać

Wirowość pola jest pojęciem, które ma swoje źródło w hydrodynamice, czyli fizyce przepływów cieczy. Spróbujmy na początek uruchomić naszą wyobraźnię.

RRYvUuXGbJ2Wn

Rys. 1. Rysunek przedstawia okrąg narysowany czarną linią z zaznaczonymi czerwonymi strzałkami opisującymi wektory prędkości mała litera v ze strzałką oznaczającą wektor. Wektorów jest osiem i są styczne do okręgu w różnych punktach. Ich długości są równe. Symbolizują one wektory prędkości styczne do okręgu i wyznaczające kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara.

Na Rys. 1. pokazano pole prędkości cieczy w postaci czerwonych wektorów prędkości cieczy przypisanych punktom przestrzeni. Jest to pole wektorowe. Oczywiście pokazane są tylko pewne wektory. Widzimy, że układają się one jakby w kółko, co zaznaczono dodatkowo okręgiem, w którego punktach wektory są zaczepione. Gdybyśmy umieścili w środku tego okręgu wiatraczek o osi prostopadłej do rysunku i łopatkach na okręgu, to ciecz z pewnością wprawiłaby go w ruch obrotowy – zacząłby wirować. A czy tak samo „chętnie” wiatraczek wirowałby, gdybyśmy umieścili go w polu zobrazowanym na Rys. 2. albo na Rys. 3.?

R1OlXwc1tdSJq

Rys. 2. Rysunek przedstawia okrąg narysowany czarną linią z zaznaczonymi czerwonymi strzałkami opisującymi wektory prędkości mała litera v ze strzałką oznaczającą wektor. Wektorów jest osiem nie są styczne ani prostopadłe do okręgu, ale pochylone na zewnątrz okręgu. Ich początki znajdują się na okręgu, rozłożone są promieniście.. Ich długości są równe.

RMquPQPlPghJC

Rys. 3. Rysunek przedstawia okrąg narysowany czarną linią z zaznaczonymi czerwonymi strzałkami opisującymi wektory prędkości mała litera v ze strzałką oznaczającą wektor. Wektorów jest osiem i są prostopadłe do okręgu w różnych punktach. Ich długości są równe, skierowane są na zewnątrz okręgu.

Oczywiście, nie. Mimo że wektory mają taką samą długość – taka sama jest wartość wektora prędkości cieczy, to czujemy, że wirowanie zależy od ustawienia tych wektorów względem okręgu. Im wektory są ustawione bardziej stycznie do okręgu, tym jest większa wirowość pola. W przypadku pola z Rys. 3. brakuje wektorów stycznych do okręgu. Wiatraczek wogóle nie będzie się obracał. To pole jest bezwirowe.

Wielkość fizyczna, która jest miarą wirowości pola wektorowego, to krążenie, czasem zwane cyrkulacją pola.

RUhFreLzP5uTt

Rys. 4. Na ilustracji pokazano nieregularny wypukły kształt wydłużony w kierunku poziomym. Kształt narysowany jest zieloną linią na której grotami strzałek zaznaczono kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara. Grotów strzałek jest cztery i znajdują się w punktach stycznych zielonego kształtu z okręgiem narysowanym cienką czerwoną linia na jego tle. Z punktów stycznych zielonego kształtu z okręgiem wychodzą również cztery czerwone strzałki styczne do okręgu, które symbolizują wektory prędkości mała litera v ze strzałką oznaczającą wektor. W jednym z punktów stycznych okręgu i kształtu zaznaczono również czarną przerywaną linią półprostą styczną do zielonego kształtu i skierowaną do jego wnętrza. Pomiędzy wektorem prędkości narysowanym czerwoną strzałka i przerywaną czarną półprostą oznaczoną jako zmiana położenia wielka grecka litera delta i mała litera l ze strzałką oznaczającą wektor, zaznaczono kąt mała grecka litera teta. Wektory prędkości opisują wielkość fizyczną nazywaną krążeniem lub cyrkulacją, która opisuje wirowość pola wektorowego.

Obliczanie krążenia pola wektorowego prędkości $K_{v}$ odbywa się według następującej procedury. Najpierw obieramy orientację krzywej, co pokazane jest na Rys. 4. za pomocą strzałek leżących na konturze. Dzielimy krzywą na maleńkie wektory $\overrightarrow{\Delta l}$ styczne do krzywej i skierowane zgodnie z jej orientacją. Nasza abstrakcyjna, matematyczna krzywa „zanurzona” jest w całkiem realnym polu fizycznym, jakim jest pole prędkości cieczy. Na rysunku, dla jego przejrzystości, narysowane są tylko cztery wektory prędkości $\overrightarrow{v}$, ale pole prędkości występuje tu w każdym punkcie przestrzeni i trzeba sobie wyobrazić, że do każdego wektora ${\overrightarrow{\Delta l}}_i$ na krzywej doczepiony jest odpowiedni wektor ${\overrightarrow{v}}_i$. Krążenie zdefiniowane jest jako suma iloczynów skalarnych wektorów ${\overrightarrow{\Delta l}}_i$ i ${\overrightarrow{v}}_i$:

gdy $\Delta l_{i}\rightarrow0$.

Zauważmy, że $v_{i}\cdot\cos\theta_{i}$ jest składową styczną wektora prędkości cieczy do krzywej, po której obliczamy krążenie. Ten przyczynek do krążenia może być dodatni, ujemny albo równy zeru. W naszym przykładzie na Rys. 4. wszystkie przyczynki są dodatnie i całkowite krążenie tego pola prędkości cieczy jest dodatnie. Nie mamy wątpliwości, że pole jest wirowe.

Krążenie dla innych pól wektorowych będziemy obliczać analogicznie. Tak więc, dla pola elektrycznegopole elektrycznepola elektrycznego krążenie wektora natężenia pola elektrycznego zdefiniowane jest jako:

gdy $\Delta l_{i}\rightarrow0$. pola magnetycznegopole magnetycznepola magnetycznego Dla  krążenie wektora indukcji magnetycznej zdefiniowane jest jako:

gdy $\Delta l_{i}\rightarrow0$.

Zobaczmy, co możemy powiedzieć o krążeniu pola elektrycznego i magnetycznego i, w związku z tym, o wirowości tych pól. Czy mamy tu jakieś prawa fizyczne dotyczące pojęcia krążenia?

Tak, z czterech praw MaxwellaPrawa Maxwellapraw Maxwella opisujących elektromagnetyzm dwa prawa dotyczą krążenia, jedno - pola elektrycznego, drugie – magnetycznego.

Jedno prawo najprawdopodobniej jest Ci znane. To prawo Faradaya opisujące zjawisko indukcji elektromagnetycznej, zapisywane najczęściej w postaci:

Taki zapis pozwala zrozumieć zjawisko indukcji w całej złożoności: zarówno wtedy, gdy siła elektromotoryczna jest spowodowana przez siłę Lorentza działającą na ładunki swobodne w poruszającym się przewodniku, jak i wtedy, gdy zmienia się wartość indukcji magnetycznej. Pamiętamy, że w tym drugim przypadku prąd spowodowany jest powstającym w obwodzie wirowym polem elektrycznym. Przyjrzyjmy się temu bliżej.

SEM indukcji będzie zdefiniowana wtedy jako praca pola elektrycznego związana z przemieszczaniem jednostkowego ładunku wzdłuż obwodu, co zapiszemy:

Ale, w jaki sposób obliczamy pracę siły elektrycznej wykonywaną wzdłuż krzywej (obwodu)? Musimy podzielić krzywą na maleńkie wektory ${\overrightarrow{\Delta l}}_i$, pomnożyć te wektory skalarnie przez wektor siły elektrycznej, a następnie pododawać tak obliczone przyczynki do pracy. Zapiszmy tę procedurę:

przy warunku, że $\Delta l_{i}\rightarrow0$.

Wartość siły elektrycznej zapiszmy jako iloczyn natężenia pola $E$ i ładunku $q$ i przeprowadźmy rachunek do końca wyliczając siłę elektromotoryczna indukcji:

przy warunku, że $\Delta l_{i}\rightarrow0$.

Widzimy, że siła elektromotoryczna indukcji jest równa krążeniu pola elektrycznego. Stąd prawo Faradaya w zestawie równań Maxwella zapisujemy jako:

a jego sens jest następujący:

Zmienne pole magnetyczne wytwarza wokół siebie wirowe pole elektryczne.

Zobaczmy, że to prawo sięga dalej – opisuje też dobrze przypadek statyczny, czyli elektrostatykę. W tej teorii nie mamy do czynienia ze zmiennym polem magnetycznym, a pole elektryczne wytwarzają nieruchome ładunki. Wtedy zgodnie z wyżej zapisanym prawem, krążenie pola elektrycznego równe jest zeru.

W elektrostatyce $K_{E}=0$.

To oznacza, że praca wykonywana podczas przemieszczania ładunku wzdłuż krzywej zamkniętej również równa jest zeru. Oczywiście! Przecież to znana definicja tzw. zachowawczości pola elektrycznego, pozwalająca na wprowadzenie energii potencjalnej ładunku w polu elektrostatycznym.

A jak jest z krążeniem pola magnetycznego? Tutaj mamy przede wszystkim prawo Ampere’a, które można zapisać w następujący sposób:

co odczytujemy:

Krążenie wektora indukcji wokół krzywej zamkniętej równe jest iloczynowi stałej przenikalności magnetycznej próżni i całkowitego natężenia prądu przebijającego powierzchnię rozpiętą na krzywej.

Nie powinno być to dla nas zaskakujące przyzwyczajonych do takiego obrazu pola magnetycznego, jak ten przedstawiony na Rys. 5.

R7UNTRYwlJIQz

Rys. 5. Na ilustracji widoczny jest przewodnik prostoliniowy narysowany w postaci niebieskiej pionowej linii. W dolnej części widoczna jest także prawa ludzka dłoń obejmująca czterem palcami przewodnik i z kciukiem skierowanym w górę. Przez przewodnik płynie prąd elektryczny ku górze, zgodnie z kierunkiem wskazywanym przez kciuk. Natężenie prądu jest równe wielka litera I ze strzałką oznaczającą wektor. Przewodnik, przez który płynie prąd jest źródłem pola magnetycznego narysowanego w postaci współśrodkowych okręgów wokół przewodnika. Okręgi są poziome i mają różne promienie. Zaznaczono na nich grotami strzałek kierunek wektora indukcji magnetycznej wielka litera B ze strzałka oznaczającą wektor. Kierunek wektora indukcji magnetycznej zmienia się i jest równoległy względem okręgów i skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara tak jak skierowane są cztery palce prawej dłoni wokół przewodnika.

Ale to nie jest cała prawda o polu magnetycznym. Otóż Maxwell, analizując różne przypadki prądu jako źródła pola magnetycznego, doszedł do niezmiernie ciekawego wniosku. Okazuje się, że źródłem wirowego pola magnetycznego jest nie tylko prąd, ale także zmienne pole elektryczne.

To znaczy, że:

Zmienne pole elektryczne wytwarza wokół siebie wirowe pole magnetyczne.

Mogło by to zostać zilustrowane takim obrazkiem (Rys. 6.), pod warunkiem rosnącej wartości pola elektrycznego.

R15yT8DFVAkex

Rys. 6. Na ilustracji widoczny jest rysunek wektora natężenia pole elektrycznego wielka litera E ze strzałką oznaczającą wektor, w postaci czerwonej pionowej strzałki skierowanej w górę. Wokół czerwonego wektora natężenia pola elektrycznego narysowane są współśrodkowe, poziome okręgi o czarnych krawędziach. Symbolizują one pole magnetyczne wywołane polem elektrycznym. Okręgi mają różne promienie. Na okręgach zaznaczono kierunek wektora indukcji magnetycznej wielka litera B ze strzałką oznaczającą wektor. Wektor indukcji magnetycznej ma zmienny kierunek wzdłuż okręgów, który jest przeciwny względem ruchu wskazówek zegara.

Podsumowując: równania dotyczące krążenia pola elektrycznego i magnetycznego są bardzo istotne z punktu widzenia teorii elektromagnetyzmu. O ich konsekwencjach możesz przeczytać więcej w e‑materiale „Współzależność zmian pola magnetycznego i elektrycznego w ujęciu jakościowym” oraz w e‑materiale „Równania Maxwella”. Tutaj jeszcze, na zakończenie, zapiszmy te prawa obok siebie, aby zauważyć ich pewną symetrię.

Słowniczek