Przeczytaj
Warto przeczytać
Johannes Kepler był znakomitym uczonym. Podobnie jak wielu astronomów i filozofów przed nim, Kepler przekonany był o jedności i doskonałej harmonii przyrody, której przejawów szukał w związkach liczbowych między wielkościami opisującymi ruch planet. Wnikliwa analiza wieloletnich obserwacji zebranych przez Tychona Brahe sprawiła, że Kepler znalazł owe zależności. W swoim trzecim prawie opisał zależność pomiędzy wielką półosią orbity a okresem obiegu planety wokół Słońca.
III prawo Keplera:
Nie wiedział on, ile dokładnie ta stała wynosi i skąd się bierze, ale wiedział, że stosunek tych dwóch wielkości jest taki sam dla wszystkich analizowanych (znanych w jego czasach) planet. Kilkadziesiąt lat później Isaac Newton, wyznając te same zasady co Kepler, analizował otaczający go świat.
Isaac Newton uważany jest za najwybitniejszego i jednego z najważniejszych uczonych wszechczasów. Jako pierwszy wykazał, że te same prawa rządzą ruchem ciał na Ziemi i ruchem ciał niebieskich. Jego prawa, opisujące ruch na Ziemi, dały matematyczne uzasadnienie prawom Keplera, a także uogólniły je. W jaki sposób? Przeanalizujmy ruch mas z punktu widzenia Newtona.
Newtonowskie prawo powszechnego ciążeniaprawo powszechnego ciążenia mówi, że:
Między dowolną parą ciał posiadających masy pojawia się siła przyciągająca, która działa na linii łączącej ich środki, a jej wartość jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.
Ma ono postać: , gdzie to stała grawitacjistała grawitacji.
Rozpatrzmy to prawo w przypadku ruchu dwóch mas m i M wokół wspólnego środka masy O (Rys. 1.).
Środek masy to punkt charakterystyczny dla rozkładu masy w ciele lub układzie ciał. Jeżeli rozpatrywalibyśmy identyczne masy, to środek ten leżałby w połowie odległości między nimi. Im bardziej masywny jest jeden składnik układu, tym środek masy znajduje się bliżej niego. W przypadku ruchu planety o masie m wokół gwiazdy centralnej o masie M zachodzi zależność M >> m. Ponadto odległość masywniejszego ciała M od środka masy dąży do zera (R → 0), ponieważ środek masy układu, z bardzo dobrym przybliżeniem, znajduje się w obrębie ciała centralnego Dlatego też, ruch ten upraszczamy do ruchu planety o masie m wokół gwiazdy centralnej o masie M.
Dzięki II zasadzie dynamiki Newtona wiemy, że wypadkowa siła działająca na poruszające się ciało jest równa iloczynowi jego przyspieszenia i masy. W ruchu po okręgu siłę tę nazywamy siłą dośrodkowąsiłą dośrodkową. Jest ona zwrócona ku środkowi okręgu i utrzymuje ciało na orbicie kołowej. Wartość siły dośrodkowej: , gdzie to prędkość liniowa, równa całkowitej długości orbity podzielonej przez okres obiegu .
Z powyższych zależności dostajemy wartość siły dośrodkowej w postaci:
.
Ponieważ siła dośrodkowa jest siłą przyciągania grawitacyjnego:
.
Przekształcając wzór dostajemy zależność:
która jest niczym innym jak III prawem Keplera.
Oczywiście ruch planet wokół Słońca odbywa się po elipsie. Jednak ekscentryczność orbit planet jest bardzo mała, więc w przybliżeniu można przyjąć, że orbity te są kołowe. W takim wypadku za promień r obieramy wartość wielkiej półosi orbity a.
W ten uproszczony sposób udowodniliśmy dzięki prawom Newtona, ile wynosi stała w III prawie Keplera. To przełomowe uzasadnienie przez Newtona praw Keplera uzmysłowiło innym uczonym tamtych czasów, że teoria heliocentryczna Kopernika jest prawdziwa. Dopiero w XVII wieku stała się ona powszechna.
Słowniczek
(ang.: Newton's law of universal gravitation) prawo Isaaca Newtona, które mówi o tym, że każde dwa ciała przyciągają się wzajemnie siłą, która jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami.
(ang.: centripetal force) siła powodująca zakrzywienie toru ciała. W ruchu jednostajnym po okręgu siła ta ma stałą wartość i jest zawsze skierowana do środka okręgu.
(ang.: gravitational constant) stała fizyczna, , służąca do opisu pola grawitacyjnego; po raz pierwszy jej wartość wyznaczył Henry Cavendish (około 70 lat po śmierci Newtona) za pomocą tzw. wagi skręceń.