Przeczytaj
Rozważmy proste o równaniach:
Przyjmijmy założenia jak na rysunku poniżej. Załóżmy, że są one prostopadłe. Oznacza to, że kąty nachylenia tych prostych do osi różnią się o .
Przypomnijmy, że oraz . Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, możemy wykonać poniżesz przekształcenia:
Wynika stąd
Ponieważ powyższe rozumowanie można odwrócić, mamy więc prawo sformułować następujący wniosek, zwany warunkiem prostopadłości prostych.
Proste o równaniach kierunkowych
są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn współczynników kierunkowychwspółczynników kierunkowych tych prostych jest równy .
Przykład 1
Rozstrzygniemy, czy proste o podanych równaniach są prostopadłe.
a) i
Odczytajmy współczynniki kierunkowe tych prostych
Zauważmy, że liczba to , zatem
Wynika stąd, że proste o równaniach i są prostopadłe.
b) i
Uporządkujmy podane równania:
Odczytajmy współczynniki kierunkowe tych prostych
Zatem .
Wynika stąd, że proste o równaniach i są prostopadłe.
c) i
Odczytajmy współczynniki kierunkowe tych prostych
Zauważmy, że
Zatem
Wynika stąd, że proste o równaniach i są prostopadłe.
Przykład 2
Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez punkt o współrzędnych prostopadłej do prostej o równaniu .
Odczytajmy współczynnik kierunkowy podanej prostej:
Szukana prosta ma równanie postaci
gdzie
Zatem po podstawieniu do warunku prostopadłości , otrzymujemy . Aby wyznaczyć podstawimy współrzędne punktu do równania :
Zatem równanie szukanej prostej to .
Przykład 3
Wyznaczymy wartość parametru , dla którego proste o równaniach
są prostopadłe.
Zaczniemy od uporządkowania równań i odczytania współczynników kierunkowych.
Ponieważ proste opisane równaniami kierunkowymi są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy , wystarczy więc rozwiązać równanie
Wobec powyższego jedyna wartość parametru , dla której proste o równaniach i są prostopadłe to .
Przykład 4
Prosta jest prostopadła do prostej . Wiadomo, że przecinają się one w punkcie . Prosta przecina oś w punkcie . Wyznacz równania tych prostych wiedząc, że żadna z nich nie jest równoległa do osi .
Ponieważ żadna z prostych nie jest równoległa do osi , każdą z nich można opisać równaniem postaci
Najpierw wyznaczymy równanie prostej . Korzystając z faktu, że przechodzi ona przez punkty o współrzędnych i , możemy zapisać układ równań:
Po odjęciu równań stronami, otrzymujemy równanie
Zatem prosta ma równanie
Ponieważ prosta jest prostopadła do prostej , współczynnik kierunkowy jej równania można wyznaczyć z warunku
Aby wyznaczyć , podstawimy współrzędne punktu do równania :
Zatem równanie szukanej prostej to
Słownik
liczba we wzorze zwanym równaniem kierunkowym prostej; określa nachylenie prostej