Przeczytaj

Zapiszemy w postaci sumy iloczyn dwóch dowolnych wyrażeń przez ich różnicę.

(a + b) (a - b) = a^{2} - a b + a b - b^{2} = a^{2} - b^{2}

Otrzymaliśmy kolejny wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Ważne!

Wzór na iloczyn sumy przez różnicę:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Wzór ten można zilustrować następująco:

RCgra9KgfoNMC

Otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu kwadrat minus koło zamknięcie nawiasu równa się kwadrat do potęgi drugiej minus koło do potęgi drugiej. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zapisujemy odpowiednie twierdzenie.

Twierdzenie o iloczynie sumy przez różnicę

Twierdzenie: Twierdzenie o iloczynie sumy przez różnicę

Iloczyn sumy dwóch dowolnych wyrażeń przez ich różnicę równa się różnicy kwadratów tych wyrażeń.

Przykład 1

Zapiszemy iloczyny w postaci różnicy kwadratów.

$(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$

$(a^{2} + b) (a^{2} - b) = a^{4} - b^{2}$

$(2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = 4 x^{2} - 9 y^{2}$

$(0, 5 x y + \sqrt{2}) (0, 5 x y - \sqrt{2}) = 0, 25 x^{2} y^{2} - 2$

Korzystając z przemienności mnożenia poznany wzór można zapisać w postaci

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

i podobnie jak w Przykładzie 1, zapisywać iloczyny w postaci różnicy kwadratów.

Przykład 2

Zapiszemy iloczyny w postaci różnicy kwadratów.

(3 - \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2}) = 9 - 2 = 7

(x - 2 \sqrt{3}) (x + 2 \sqrt{3}) = x^{2} - 12

(\sqrt{6} - \sqrt{5}) (\sqrt{6} + \sqrt{5}) = 6 - 5 = 1

Przekształcając wyrażenia algebraiczne, warto pamiętać, że chcąc w sumie algebraicznej zmienić znaki wyrażeń na przeciwne, trzeba wyłączyć $(- 1)$ przed nawias w tej sumie (czyli w praktyce – znak „ $-$ ”).

Przykład 3

Aby pomnożyć wyrażenia $(- 2 - x) (2 - x)$ , w pierwszym czynniku wyłączymy przed nawias $(- 1)$ .

(- 2 - x) (2 - x) = - (2 + x) (2 - x) = - (4 - x^{2}) = - 4 + x^{2}

W podobny sposób pomnożymy $(- 4 x + y) (- 4 x - y)$ .

(- 4 x + y) (- 4 x - y) = - (4 x - y) \cdot (- 1) \cdot (4 x + y) =

= (4 x - y) (4 x + y) = 16 x^{2} - y^{2}

Wzór $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ można zapisać też w postaci

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ .

Obie te postacie nazywamy wzorem skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

Ważne!

Wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Wzór ten można zilustrować następująco:

RPpuzEan0YXtY

Kwadrat do potęgi drugiej minus koło do potęgi drugiej równa się otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu kwadrat minus koło zamknięcie nawiasu. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Formułujemy odpowiednie twierdzenie.

Twierdzenie o różnicy kwadratów dwóch wyrażeń

Twierdzenie: Twierdzenie o różnicy kwadratów dwóch wyrażeń

Różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę.

Oto interpretacja geometryczna wzoru.

Rv8eS9uIKsZtK

Na ilustracji znajdują się dwa prostokąty. W prostokącie po lewej stronie zaznaczone są ścianki A i B oraz pola A do potęgi drugiej jak i B do potęgi drugiej. Pod tym prostokątem znajduje się napis: A do potęgi drugiej minus B do potęgi drugiej. Po prawej stronie prostokąt ma zaznaczone ścianki A i B jak i pole oznaczone: otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu A minus B zamknięcie nawiasu. Pod tym prostokątem znajduje się napis otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu A minus B zamknięcie nawiasu. Pomiędzy prostokątami jak i napisami widnieją znaki 'równa się'. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 4

Przekształcimy podane sumy algebraiczne na iloczyny.

4 - y^{2} = 2^{2} - y^{2} = (2 + y) (2 - y)

16 x^{2} - 9 = {(4 x)}^{2} - 3^{2} = (4 x + 3) (4 x - 3)

a^{4} b^{4} - 25 a^{2} = {(a^{2} b^{2})}^{2} - {(5 a)}^{2} = (a^{2} b^{2} - 5 a) (a^{2} b^{2} + 5 a)

Przykład 5

Zapiszemy podane wyrażenie w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = - \sqrt{2}$ .

$2 (x + 1) (x - 1) + [(- x - 1) (x - 1) - x^{2}] =$

$= 2 (x^{2} - 1) + [- (x + 1) (x - 1) - x^{2}] =$

$= 2 x^{2} - 2 + (- x^{2} + 1 - x^{2}) = - 1$

Rozpatrywane wyrażenie dla każdej liczby rzeczywistej $x$ ma stałą wartość, równą $(- 1)$ .

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia dla $x = - \sqrt{2}$ jest równa $(- 1)$ .

Słownik

wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik