Przeczytaj

W literaturze możemy znaleźć kilka określeń twierdzenia.

W Słowniku Języka Polskiego czytamy:

twierdzenie
1. zdanie oznajmujące wyrażające jakiś pewnik lub czyjeś mocne przeświadczenie o czymś
2. log. zdanie udowodnione w danej teorii

W Wikipedii czytamy:

Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki, dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest właściwym sądem, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia.

Natomiast swoimi słowami możemy powiedzieć, że twierdzenie to zdanie udowodnione w danej teorii matematycznej, najczęściej złożone z dwóch zdań, zapisanych w formie implikacji.

Twierdzenie wymaga przeprowadzenia dowodu!

Teraz zajmiemy się przykładowymi twierdzeniami, które już znasz lub nie, ale warto sobie uświadomić, że również te fakty matematyczne, które uważamy za oczywiste w rzeczywistości też są twierdzeniami.

Przykład 1

Przypomnijmy sobie i przeanalizujmy kilka twierdzeń. W przypadku twierdzeń, które znamy, przypomnijmy sobie ich brzmienie i zwróćmy uwagę na budowę. W przypadku twierdzeń nowych dla nas, zwróćmy również uwagę na ich budowę.

a) Twierdzenie Pitagorasa.

b) TwierdzenietwierdzenieTwierdzenie o sumie kątów w trójkącie.

c) LematLematLemat Euklidesa – uogólnienie twierdzenia $30$ . z $VII$ księgi Elementów EuklidesaEuklidesEuklidesa: Jeżeli liczba naturalna dzieli iloczyn dwóch pewnych liczb naturalnych i jest względnie pierwsza z jedną z nich, to jest dzielnikiem drugiej.

d) Małe twierdzenie FermataPierre de FermatFermata: Jeżeli $p$ jest liczbą pierwszą, to dla dowolnej liczby całkowitej $a$ , liczba $a^{p} - a$ jest podzielna przez $p$ .

e) Podstawowe twierdzenie arytmetyki: Każdą liczbę naturalną większą od $1$ , nie będącą liczbą pierwszą, można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.

f) Suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą.

Rozwiązanie

a) Znamy kilka sformułowań tego twierdzenia, np:

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Budowa: pojedyncze zdanie oznajmujące.

Suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Budowa: pojedyncze zdanie oznajmujące.

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Budowa: zdanie złożone zbudowane w postaci implikacji.

b) W trójkącie suma miar kątów wewnętrznych jest równa $180$ stopni.

Budowa: pojedyncze zdanie oznajmujące.

c) Budowa: zdanie złożone zbudowane w postaci implikacji.

d) Budowa: zdanie złożone zbudowane w postaci implikacjiimplikacjaimplikacji.

e) Budowa: pojedyncze zdanie oznajmujące.

f) Budowa: pojedyncze zdanie oznajmujące.

Jak widać z powyższych przykładów, nie wszystkie twierdzenia zbudowane są w formie implikacji, ale we wszystkich można wyodrębnić założenie (czyli to, co już wiemy i przyjmujemy za nasz punkt wyjścia) i tezę (czyli nowy fakt, zależność, własność), której prawdziwość trzeba wykazać. Każde twierdzenie można sformułować w postaci implikacji.

Przykład 2

Sformułujmy twierdzenia w postaci implikacji i wskażemy w każdym z nich założenie i tezę.

a) Twierdzenie Pitagorasa.

b) TwierdzenietwierdzenieTwierdzenie o sumie kątów w trójkącie.

d) Małe twierdzenie FermataPierre de FermatFermata: Jeżeli $p$ jest liczbą pierwszą, to dla dowolnej liczby całkowitej $a$ , liczba $a^{p} - a$ jest podzielna przez $p$ .

e) Podstawowe twierdzenie arytmetyki: Każdą liczbę naturalną większą od $1$ , nie będącą liczbą pierwszą, można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.

f) Suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą.

Rozwiązanie

a) Twierdzenie Pitagorasa w postaci implikacji:

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Założenie: trójkąt jest prostokątny

Teza: suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta

b) Twierdzenie o sumie kątów w trójkącie w postaci implikacji:

Jeżeli wielokąt jest trójkątem, to suma miar jego kątów wewnętrznych jest równa $180$ stopni.

Założenie: wielokąt jest trójkątem

Teza: suma jego kątów wewnętrznych jest równa $180$ stopni

c) Lemat Euklidesa jest sformułowany w postaci implikacji:

Jeżeli liczba naturalna dzieli iloczyn dwóch pewnych liczb naturalnych i jest względnie pierwsza z jedną z nich, to jest dzielnikiem drugiej.

Założenie: liczba naturalna dzieli iloczyn dwóch pewnych liczb naturalnych i jest względnie pierwsza z jedną z nich

Teza: (ta liczba) jest dzielnikiem drugiej

d) Małe twierdzenie Fermata jest zbudowane w postaci implikacji:

Jeżeli $p$ jest liczbą pierwszą, to dla dowolnej liczby całkowitej $a$ , liczba $a^{p} - a$ jest podzielna przez $p$ .

Założenie: $p$ jest liczbą pierwszą

Teza: dla dowolnej liczby całkowitej $a$ liczba $a^{p} - a$ jest podzielna przez $p$

e) Podstawowe twierdzenie arytmetyki w postaci implikacji:

Jeśli liczba naturalna jest większa od $1$ i nie jest liczbą pierwszą, to można ją jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Założenie: liczba naturalna jest większa od $1$ i nie jest liczbą pierwszą

Teza: można ją (tę liczbę) jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych

f) Twierdzenie: Suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą w postaci implikacji:

Jeżeli liczby $a$ i $b$ są nieparzyste, to ich suma $a + b$ jest liczbą parzystą.

Założenie: liczby $a$ i $b$ są nieparzyste

Teza: suma $a + b$ jest liczbą parzystą.

Dlaczego warto formułować twierdzenia w postaci implikacji?
Odpowiedź wydaje się być prosta: ponieważ łatwo jest wówczas wyodrębnić założeniezałożeniezałożenie i tezę a świadomość, co jest założeniem, a co tezą, jest bardzo ważna w dowodzeniu twierdzeń.

W uproszczeniu ten schemat można przedstawić następująco.

TwierdzenietwierdzenieTwierdzenie w postaci implikacji:

Jeżeli założenie, to teza.

Łatwo zauważyć, że założeniem jest zdanie pomiędzy „jeżeli” i „to”, zaś tezątezatezą jest zdanie, które następuje po słowie „to”.

Jeżeli zdanie stanowiące założenie oznaczymy przez $p$ , a zdanie stanowiące tezę przez $q$ , to możemy zapisać:

p \Rightarrow q

Rodzi się następne pytanie: dlaczego tak ważne jest prawidłowe rozpoznanie założenia i tezy?
Odpowiedź wynika z praw logiki: nie wolno pomylić tezy z założeniem, ponieważ implikacje $p \Rightarrow q$ i $q \Rightarrow p$ nie są sobie równoważne.

Przypomnijmy sobie wartości logiczne implikacji:

Wartość logiczna zdania $p$	Wartość logiczna zdania $q$	Wartość logiczna implikacji zdań $p \Rightarrow q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$

A teraz uzupełnijmy tabelę o kolumnę, w której umieścimy wartości logiczne implikacji $q \Rightarrow p$ przy różnych wartościach logicznych zdań $p$ i $q$ :

Wartość logiczna zdania $p$	Wartość logiczna zdania $q$	Wartość logiczna implikacji $p \Rightarrow q$	Wartość logiczna implikacji $q \Rightarrow p$
$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$	$1$

Jak widać, wartości logiczne obu implikacji nie są jednakowe, tak więc udowodnienie prawdziwości implikacji $q \Rightarrow p$ nie oznacza udowodnienia naszego wyjściowego twierdzenia $p \Rightarrow q$ .

Twierdzenie zapisane w postaci $q \Rightarrow p$ jest twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia $p \Rightarrow q$ .

Twierdzenie odwrotne do danego nie zawsze jest prawdziwe!

Przykład 3

Rozważmy twierdzenie: Suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą. Sformułujmy twierdzenie odwrotne do niego. Czy jest ono prawdziwe?

Rozwiązanie

Twierdzenie odwrotnetwierdzenie odwrotneTwierdzenie odwrotne: Liczba parzysta jest sumą dwóch liczb nieparzystych. Nie jest ono prawdziwe, ponieważ liczba parzysta może być sumą dwóch liczb parzystych.

Niektóre twierdzenia sformułowane są w postaci równoważności.

Przykład 4

Przeanalizujmy twierdzenie: Jeżeli dwa kąty są wpisane w ten sam okrąg, to są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są oparte na równych łukach.

Jak tutaj wyodrębnić założenie i tezę?

Rozwiązanie

Takie twierdzenie można zapisać w formie dwóch implikacjiimplikacjaimplikacji:

Jeżeli dwa kąty są wpisane w ten sam okrąg i są równe, to są oparte na równych łukach.

Założenie: dwa kąty są wpisane w ten sam okrąg i są równe

Teza: (te kąty) są oparte na równych łukach

Jeżeli dwa kąty są wpisane w ten sam okrąg i są oparte na równych łukach, to są równe.

Założenie: dwa kąty są wpisane w ten sam okrąg i są oparte na równych łukach

Teza: (te kąty) są równe.

Aby udowodnić twierdzenie zapisane w postaci równoważności, należy przeprowadzić dowody obu implikacji.

Ciekawostka

Węgierski matematyk Paul Erdős, jeden z najwybitniejszych matematyków $XX$ wieku często odwoływał się do „księgi ksiąg”, w której Bóg przechowuje perfekcyjne dowody twierdzeń matematycznych. Martin Aigner i Gunter M. Ziegler napisali słynną książkę „Dowody z Księgi”, w której zawarli $32$ dowody twierdzeń z różnych działów matematyki, wybierając te przykłady tak, aby były zrozumiałe dla każdego, nie tylko dla matematyków. Książkę tę zadedykowali właśnie Paulowi Erdősowi, który tak często do boskiej Księgi się odwoływał.

Słownik

lemat

twierdzenie pomocnicze, którego głównym zastosowaniem jest uproszczenie dowodów innych, bardziej istotnych twierdzeń

Euklides

matematyk grecki (ok. $365 - 270$ r. p. n. e.) przez większość życia działający w Aleksandrii, autor Elementów, jednego z najsłynniejszych dzieł matematycznych w historii, w którym usystematyzował i nadał jednolitą postać podstawowej części ówczesnej wiedzy z geometrii płaskiej, przestrzennej i arytmetyki

Pierre de Fermat

matematyk francuski $(1601 - 1665)$ , dokonał wielu odkryć w różnych gałęziach matematyki, m. in. teorii liczb, analizie matematycznej, geometrii analitycznej

implikacja

zdanie złożone mające postać „jeśli $p$ to $q$ ”, gdzie $p$ , $q$ są zdaniami logicznymi

twierdzenie

zdanie udowodnione w danej teorii

teza

teza to element budowy twierdzenia

założenie

zbiór warunków, dla których dane twierdzenie jest spełnione

twierdzenie odwrotne

twierdzenie, w którym założenie zamieniono z tezą wyjściowego twierdzenia

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Słownik