Przeczytaj

Zajmiemy się tutaj wyrażeniami algebraicznymi zapisanymi w formie ułamka zwykłego. Ułamek, którego licznik i mianownik są wyrażeniami algebraicznymi nazywamy ułamkami algebraicznymiułamek algebraicznyułamkami algebraicznymi.

Rozważmy kilka wyrażeń algebraicznych zapisanych w formie ułamka.

RbYoaAj7Eo2Gn

\frac{4 p^{2} q}{5 p^{3} q^{4}}

Zauważmy, że ułamek ten jest określony (tzn. można obliczyć jego wartość), gdy mianownik jest różny od $0$ .
Określmy zatem dziedzinę tego wyrażenia:
$5 p^{3} q^{4} \neq 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $p \neq 0$ oraz $q \neq 0$ .
Czyli ułamek jest określony, gdy $p \in ℝ ∖ 0)$ i $q \in ℝ ∖ 0)$ .
Zauważmy, że ułamek można skrócić (analogicznie do skracania ułamków zwykłych):
$\frac{4 p^{2} q}{5 p^{3} q^{4}} = \frac{4}{5 p q^{3}}$ ; $p \in ℝ ∖ 0)$ i $q \in ℝ ∖ 0)$ .

\frac{32 x^{6} y^{5} z^{13}}{24 x^{3} y^{7} z^{2}}

Ułamek ten jest określony, gdy $x \neq 0$ , $y \neq 0$ , $z \neq 0$ .
Można go skrócić przez $8 x^{3} y^{5} z^{2}$ :
$\frac{32 x^{6} y^{5} z^{13}}{24 x^{3} y^{7} z^{2}} = \frac{4 x^{3} z^{11}}{3 y^{2}}$ .
Pamiętajmy jednak, że skrócenie nie powoduje zmiany założeń - powyższe wyrażenia algebraiczne są równe tylko gdy $x \in ℝ ∖ 0)$ , $y \in ℝ ∖ 0)$ , $z \in ℝ ∖ 0)$ .

\frac{a^{2} + 3 a b}{a b - 2 a}

Zapiszmy licznik i mianownik ułamka w postaci iloczynu:
$\frac{a^{2} + 3 a b}{a b - 2 a} = \frac{a (a + 3 b)}{a (b - 2)}$ .
Ułamek jest określony gdy $a \neq 0$ i $b \neq 2$ .
Można go skrócić przez $a$ :
$\frac{a (a + 3 b)}{a (b - 2)} = \frac{a + 3 b}{b - 2}$
pamiętając o początkowych założeniach: $a \in ℝ ∖ 0)$ , $b \in ℝ ∖ 2)$ .

\frac{x + y}{x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}}

Zauważmy, że
$\frac{x + y}{x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}} = \frac{x + y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y^{2}} = \frac{x + y}{{(x + y)}^{2} + y^{2}}$ .
Mianownik został zapisany jako suma kwadratów, może więc przyjąć wartość $0$ tylko, gdy jednocześnie $x = 0$ oraz $y = 0$ .
Ułamek zatem jest określony, jeżeli przynajmniej jedna z liczb $x$ , $y$ jest różna od $0$ .
Taki warunek można zapisać na kilka sposobów, na przykład:
- możemy powiedzieć, że $x \neq 0$ lub $y \neq 0$ ,
- możemy ten warunek przedstawić w formie $x^{2} + y^{2} \neq 0$ .

\frac{m^{2} n - n}{m^{2} + 2 m + 1}

Przekształćmy ułamek wyłączając wspólny czynnik przed nawias i stosując wzory skróconego mnożenia:
$\frac{m^{2} n - n}{m^{2} + 2 m + 1} = \frac{n (m^{2} - 1)}{{(m + 1)}^{2}} = \frac{n (m + 1) (m - 1)}{{(m + 1)}^{2}}$ .
Ułamek jest określony gdy $m \neq - 1$ i można go skrócić przez $m + 1$ :
$\frac{n (m + 1) (m - 1)}{{(m + 1)}^{2}} = \frac{n (m - 1)}{m + 1}$ .

$\frac{4 p^{2} q}{5 p^{3} q^{4}}$

Zauważmy, że ułamek ten jest określony (tzn. można obliczyć jego wartość), gdy mianownik jest różny od $0$ .
Określmy zatem dziedzinę tego wyrażenia:
$5 p^{3} q^{4} \neq 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $p \neq 0$ oraz $q \neq 0$ .
Czyli ułamek jest określony, gdy $p \in ℝ ∖ ""0)$ i $q \in ℝ ∖ ""0)$ .
Zauważmy, że ułamek można skrócić (analogicznie do skracania ułamków zwykłych):
$\frac{4 p^{2} q}{5 p^{3} q^{4}} = \frac{4}{5 p q^{3}}$ ; $p \in ℝ ∖ ""0)$ i $q \in ℝ ∖ ""0)$ .

$\frac{32 x^{6} y^{5} z^{13}}{24 x^{3} y^{7} z^{2}}$

Ułamek ten jest określony, gdy $x \neq 0$ , $y \neq 0$ , $z \neq 0$ .
Można go skrócić przez $8 x^{3} y^{5} z^{2}$ :
$\frac{32 x^{6} y^{5} z^{13}}{24 x^{3} y^{7} z^{2}} = \frac{4 x^{3} z^{11}}{3 y^{2}}$ .
Pamiętajmy jednak, że skrócenie nie powoduje zmiany założeń - powyższe wyrażenia algebraiczne są równe tylko gdy $x \in ℝ ∖ ""0)$ , $y \in ℝ ∖ ""0)$ , $z \in ℝ ∖ <mfenced open=""> 0$ .

$\frac{a^{2} + 3 a b}{a b - 2 a}$

Zapiszmy licznik i mianownik ułamka w postaci iloczynu:
$\frac{a^{2} + 3 a b}{a b - 2 a} = \frac{a (a + 3 b)}{a (b - 2)}$ .
Ułamek jest określony gdy $a \neq 0$ i $b \neq 2$ .
Można go skrócić przez $a$ :
$\frac{a (a + 3 b)}{a (b - 2)} = \frac{a + 3 b}{b - 2}$
pamiętając o początkowych założeniach: $a \in ℝ ∖ ""0)$ , $b \in ℝ ∖ ""2)$ .

$\frac{x + y}{x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}}$

Zauważmy, że
$\frac{x + y}{x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}} = \frac{x + y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y^{2}} = \frac{x + y}{{(x + y)}^{2} + y^{2}}$ .
Mianownik został zapisany jako suma kwadratów, może więc przyjąć wartość $0$ tylko, gdy jednocześnie $x = 0$ oraz $y = 0$ .
Ułamek zatem jest określony, jeżeli przynajmniej jedna z liczb $x$ , $y$ jest różna od $0$ .
Taki warunek można zapisać na kilka sposobów, na przykład:
- możemy powiedzieć, że $x \neq 0$ lub $y \neq 0$ ,
- możemy ten warunek przedstawić w formie $x^{2} + y^{2} \neq 0$ .

<math >m2n-nm2+2m+1

Przekształćmy ułamek wyłączając wspólny czynnik przed nawias i stosując wzory skróconego mnożenia:
$\frac{m^{2} n - n}{m^{2} + 2 m + 1} = \frac{n (m^{2} - 1)}{{(m + 1)}^{2}} = \frac{n (m + 1) (m - 1)}{{(m + 1)}^{2}}$ .
Ułamek jest określony gdy $m \neq - 1$ i można go skrócić przez $m + 1$ :
$\frac{n (m + 1) (m - 1)}{{(m + 1)}^{2}} = \frac{n (m - 1)}{m + 1}$ .

Przykład 1

Obliczmy wartości wyrażeń algebraicznych dla $a = - 3$ , $b = 2$ , $c = - 1$ .

RTR2HffN3Bpq6

\frac{5 a + 7}{3 b + c^{2}}

$\frac{5 a + 7}{3 b + c^{2}} = \frac{- 15 + 7}{6 + 1} = - \frac{8}{7}$

\frac{a^{17} b^{13} c^{20}}{{(a^{2} b^{2} c)}^{7}}

Możemy najpierw uprościć ułamek (podane wartości $a$ , $b$ , $c$ należą do dziedziny podanego wyrażenia).
$\frac{a^{17} b^{13} c^{20}}{{(a^{2} b^{2} c)}^{7}} = \frac{a^{17} b^{13} c^{20}}{a^{14} b^{14} c^{7}} = \frac{a^{3} c^{13}}{b} = \frac{- 27 \cdot (- 1)}{2} = \frac{27}{2}$

\frac{a + b + c}{a + b - c}

Zauważmy, że $a + b - c = - 3 + 2 + 1 = 0$ .
Zatem ułamek $\frac{a + b + c}{a + b - c}$ nie jest określony dla podanych wartości $a$ , $b$ , $c$ .

\frac{a^{2} + 3 a b}{a^{2} + 5 a c}

Sprowadźmy licznik i mianownik do postaci iloczynu:
$\frac{a^{2} + 3 a b}{a^{2} + 5 a c} = \frac{a (a + 3 b)}{a (a + 5 c)}$ .
Widzimy, że dla podanych wartości $a$ , $b$ , $c$ ułamek jest określony (mianownik jest różny od zera) i można go skrócić przez $a$ .
$\frac{a (a + 3 b)}{a (a + 5 c)} = \frac{a + 3 b}{a + 5 c} = \frac{- 3 + 6}{- 3 - 5} = - \frac{3}{8}$

\frac{a b + 3 b}{a c + 3 c}

Można spróbować skrócić ułamek:
$\frac{a b + 3 b}{a c + 3 c} = \frac{b (a + 3)}{c (a + 3)} = \frac{b}{c} = \frac{2}{- 1} = - 2$ .
Ważne jest jednak zawsze sprawdzenie, czy dany ułamek dla określonych wartości zmiennych istnieje. W naszym przypadku wyrażenie $c (a + 3)$ dla $a = - 3$ przyjmuje wartość $0$ , więc dla podanych wartości zmiennych ułamek $\frac{a b + 3 b}{a c + 3 c}$ nie ma określonej wartości.

$\frac{5 a + 7}{3 b + c^{2}}$

$\frac{5 a + 7}{3 b + c^{2}} = \frac{- 15 + 7}{6 + 1} = - \frac{8}{7}$

$\frac{a^{17} b^{13} c^{20}}{{(a^{2} b^{2} c)}^{7}}$

Możemy najpierw uprościć ułamek (podane wartości $a$ , $b$ , $c$ należą do dziedziny podanego wyrażenia).
$\frac{a^{17} b^{13} c^{20}}{{(a^{2} b^{2} c)}^{7}} = \frac{a^{17} b^{13} c^{20}}{a^{14} b^{14} c^{7}} = \frac{a^{3} c^{13}}{b} = \frac{- 27 \cdot (- 1)}{2} = \frac{27}{2}$

$\frac{a + b + c}{a + b - c}$

Zauważmy, że $a + b - c = - 3 + 2 + 1 = 0$ .
Zatem ułamek $\frac{a + b + c}{a + b - c}$ nie jest określony dla podanych wartości $a$ , $b$ , $c$ .

$\frac{a^{2} + 3 a b}{a^{2} + 5 a c}$

Sprowadźmy licznik i mianownik do postaci iloczynu:
$\frac{a^{2} + 3 a b}{a^{2} + 5 a c} = \frac{a (a + 3 b)}{a (a + 5 c)}$ .
Widzimy, że dla podanych wartości $a$ , $b$ , $c$ ułamek jest określony (mianownik jest różny od zera) i można go skrócić przez $a$ .
$\frac{a (a + 3 b)}{a (a + 5 c)} = \frac{a + 3 b}{a + 5 c} = \frac{- 3 + 6}{- 3 - 5} = - \frac{3}{8}$

$\frac{a b + 3 b}{a c + 3 c}$

Można spróbować skrócić ułamek:
$\frac{a b + 3 b}{a c + 3 c} = \frac{b (a + 3)}{c (a + 3)} = \frac{b}{c} = \frac{2}{- 1} = - 2$ .
Ważne jest jednak zawsze sprawdzenie, czy dany ułamek dla określonych wartości zmiennych istnieje. W naszym przypadku wyrażenie $c (a + 3)$ dla $a = - 3$ przyjmuje wartość $0$ , więc dla podanych wartości zmiennych ułamek $\frac{a b + 3 b}{a c + 3 c}$ nie ma określonej wartości.

Ważne!

Wykonując operacje na ułamkach algebraicznych należy pamiętać o uwzględnieniu dziedziny ułamkadziedzina wyrażenia algebraicznegodziedziny ułamka. Mianownik ułamka w każdej jego postaci (również przed dokonaniem ewentualnego skracania ułamka) musi być różny od $0$ .

Określając dziedzinę wyrażenia algebraicznego należy podać dla wszystkich zmiennych występujących w wyrażeniu warunki, przy których spełnieniu wyrażenie przyjmuje jakąś wartość; w szczególności:

mianowniki ułamków i liczby przez które dzielimy muszą być różne od zera;
liczby podpierwiastkowe pierwiastków parzystego stopnia nie mogą być liczbami ujemnymi;
podstawa logarytmu i liczba logarytmowana muszą być dodatnie, ponadto podstawa logarytmu musi być różna od $1$ ;
zero nie może być podstawą potęgi o wykładniku $0$ .

Przykład 2

Rozważmy sześć wyrażeń algebraicznych zapisanych w formie ułamka. Ustalmy, które z tych wyrażeń są równe wyznaczając ich dziedzinę i sprowadzając wyrażenia do najprostszej postaci.

R1VXvoAO5Frau

$\frac{2 a}{x}$

$\frac{2 a}{x}$ jest w najprostszej postaci

Założenia: $a \in ℝ$ ; $x \in ℝ ∖ "{"0"}"$
$\frac{6 a x}{3 x^{2}}$

$\frac{6 a x}{3 x^{2}} = \frac{2 a}{x}$

Założenia: $a \in ℝ$ ; $x \in ℝ ∖ "{"0"}"$
$\frac{2 a x + 4 a}{x^{2} + 2 x}$

$\frac{2 a x + 4 a}{x^{2} + 2 x} = \frac{2 a (x + 2)}{x (x + 2)} = \frac{2 a}{x}$

Założenia: $a \in ℝ$ ; $x \in ℝ ∖ "{"- 2, 0"}"$
$\frac{10 a^{2}}{5 a x}$

$\frac{10 a^{2}}{5 a x} = \frac{2 a}{x}$

Założenia: $a \in ℝ ∖ "{"0"}"$ ; $x \in ℝ ∖ "{"0"}"$
$\frac{2 a \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3}}}$

$\frac{2 a \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3}}} = \frac{2 a}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{2 a}{"|"x"|"} = \frac{2 a}{x}$

Założenia: $a \in ℝ$ ; $x \in (0, \infty)$
ze względu na ostatnie założenie można było zastosować równość $"|"x"|" = x$
$\frac{4 a^{2} x^{2}}{2 a x^{3}}$

$\frac{4 a^{2} x^{2}}{2 a x^{3}} = \frac{2 a}{x}$

Założenia: $a \in ℝ ∖ "{"0"}"$ ; $x \in ℝ ∖ "{"0"}"$

Slajd pierwszy. Rozważamy wyrażenie $\frac{2 a}{x}$ . Wyrażenie $\frac{2 a}{x}$ jest w najprostszej postaci. Założenia są następujące: $a \in ℝ$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ . Slajd drugi. Rozważamy wyrażenie $\frac{6 a x}{3 x^{2}}$ . Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: $\frac{6 a x}{3 x^{2}} = \frac{2 a}{x}$ . Założenia są następujące: $a \in ℝ$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ . Slajd trzeci. Rozważamy wyrażenie $\frac{2 a x + 4 a}{x^{2} + 2 x}$ . Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: $\frac{2 a x + 4 a}{x^{2} + 2 x} = \frac{2 a (x + 2)}{x (x + 2)} = \frac{2 a}{x}$ . Założenia są następujące: $a \in ℝ$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ . Slajd czwarty. Rozważmy wyrażenie $\frac{10 a^{2}}{5 a x}$ . Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: $\frac{10 a^{2}}{5 a x} = \frac{2 a}{x}$ . Założenia są następujące: $a \in ℝ$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ . Slajd piąty. Rozważmy wyrażenie $\frac{2 a \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3}}}$ . Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: $\frac{2 a \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3}}} = \frac{2 a}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{2 a}{|x|} = \frac{2 a}{x}$ . Założenia są następujące: $a \in ℝ$ , $x \in (0, \infty)$ ze względu na ostatnie założenie można było zastosować równość $|x| = x$ . Slajd szósty. Rozważmy wyrażenie $\frac{4 a^{2} x^{2}}{2 a x^{3}}$ . Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: $\frac{4 a^{2} x^{2}}{2 a x^{3}} = \frac{2 a}{x}$ . Założenia są następujące: $a \in ℝ ∖ \{0\}$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ .

Porównując założenia widzimy, że mamy następujące pary wyrażeń równych:

$1$ oraz $2$
$4$ oraz $6$

Przykład 3

Dane jest wyrażenie $\frac{1}{k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}}$ . Jaka jest
(a) największa,
(b) najmniejsza wartość,

którą może przyjąć to wyrażenie, jeśli $k$ , $m$ , $n$ są różnymi dodatnimi liczbami jednocyfrowymi?

(a) szukamy największej wartości wyrażenia

Ułamek ma przyjąć wartość największą, więc jego mianownik $k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}$ powinien przyjąć wartość najmniejszą.
Zatem liczba $m + \frac{3}{n}$ powinna być możliwie duża, zaś liczba $n$ mała.
Oznacza to, że $m$ powinno przyjąć wartość dużą, zaś $k$ i $n$ – małą.
Mamy więc do rozważenia dwie sytuacje:
$m = 9$ , $k = 1$ , $n = 2$ ,
wtedy $\frac{1}{k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}} = \frac{21}{25}$ .
$m = 9$ , $k = 2$ , $n = 1$ ,
wtedy $\frac{1}{k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}} = \frac{6}{13}$ .
Największa wartość ułamka to $\frac{21}{25}$ .

(b) analogicznie wyznaczyć możemy najmniejszą wartość wyrażenia

Zauważmy, że $m$ powinno przyjąć wartość małą, zaś $k$ i $n$ - możliwie dużą.
Mamy więc do rozważenia dwie sytuacje:
$m = 1$ , $k = 8$ , $n = 9$ ,
wtedy $\frac{1}{k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}} = \frac{2}{19}$ .
$m = 1$ , $k = 9$ , $n = 8$ ,
wtedy $\frac{1}{k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}} = \frac{11}{115}$ .
Najmniejsza wartość ułamka to $\frac{11}{115}$ .

Słownik

dziedzina wyrażenia algebraicznego

zbiór liczb, dla których wyrażenie algebraiczne ma sens liczbowy.

ułamek algebraiczny

ułamek, którego licznik i mianownik są wyrażeniami algebraicznymi.

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik