Przeczytaj

Zajmiemy się tutaj wyrażeniami algebraicznymi zapisanymi w formie ułamka zwykłego. Ułamek, którego licznik i mianownik są wyrażeniami algebraicznymi nazywamy ułamkami algebraicznymiułamek algebraicznyułamkami algebraicznymi.

Rozważmy kilka wyrażeń algebraicznych zapisanych w formie ułamka.

RbYoaAj7Eo2Gn

początek ułamka, cztery p indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, q, mianownik, pięć p indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, q indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Zauważmy, że ułamek ten jest określony (tzn. można obliczyć jego wartość), gdy mianownik jest różny od zero.
Określmy zatem dziedzinę tego wyrażenia:
pięć p indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, q indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, nie równa się, zero wtedy i tylko wtedy, gdy p, nie równa się, zero oraz q, nie równa się, zero.
Czyli ułamek jest określony, gdy p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego i q, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.
Zauważmy, że ułamek można skrócić (analogicznie do skracania ułamków zwykłych):
początek ułamka, cztery p indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, q, mianownik, pięć p indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, q indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć p q indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka; p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego i q, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.

, początek ułamka, trzydzieści dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Ułamek ten jest określony, gdy x, nie równa się, zero, y, nie równa się, zero, zet, nie równa się, zero.
Można go skrócić przez osiem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego:
początek ułamka, trzydzieści dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Pamiętajmy jednak, że skrócenie nie powoduje zmiany założeń - powyższe wyrażenia algebraiczne są równe tylko gdy x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, y, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, zet, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.

, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a b, minus, dwa a, koniec ułamka

Zapiszmy licznik i mianownik ułamka w postaci iloczynu:
początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a b, minus, dwa a, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, b, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Ułamek jest określony gdy a, nie równa się, zero i b, nie równa się, dwa.
Można go skrócić przez a:
początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, b, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a, plus, trzy b, mianownik, b, minus, dwa, koniec ułamka
pamiętając o początkowych założeniach: a, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, b, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego.

, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Zauważmy, że
początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, nawias, x, plus, y, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Mianownik został zapisany jako suma kwadratów, może więc przyjąć wartość zero tylko, gdy jednocześnie x, równa się, zero oraz y, równa się, zero.
Ułamek zatem jest określony, jeżeli przynajmniej jedna z liczb x, y jest różna od zero.
Taki warunek można zapisać na kilka sposobów, na przykład:
- możemy powiedzieć, że x, nie równa się, zero lub y, nie równa się, zero,
- możemy ten warunek przedstawić w formie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nie równa się, zero.

, początek ułamka, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, n, minus, n, mianownik, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa m, plus, jeden, koniec ułamka

Przekształćmy ułamek wyłączając wspólny czynnik przed nawias i stosując wzory skróconego mnożenia:
początek ułamka, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, n, minus, n, mianownik, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa m, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Ułamek jest określony gdy m, nie równa się, minus, jeden i można go skrócić przez m, plus, jeden:
początek ułamka, n nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, m, plus, jeden, koniec ułamka.

Zauważmy, że ułamek ten jest określony (tzn. można obliczyć jego wartość), gdy mianownik jest różny od zero.
Określmy zatem dziedzinę tego wyrażenia:
pięć p indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, q indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, nie równa się, zero wtedy i tylko wtedy, gdy p, nie równa się, zero oraz q, nie równa się, zero.
Czyli ułamek jest określony, gdy p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego i q, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.
Zauważmy, że ułamek można skrócić (analogicznie do skracania ułamków zwykłych):
początek ułamka, cztery p indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, q, mianownik, pięć p indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, q indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć p q indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka; p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego i q, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.

Ułamek ten jest określony, gdy x, nie równa się, zero, y, nie równa się, zero, zet, nie równa się, zero.
Można go skrócić przez osiem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego:
początek ułamka, trzydzieści dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Pamiętajmy jednak, że skrócenie nie powoduje zmiany założeń - powyższe wyrażenia algebraiczne są równe tylko gdy x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, y, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, zet, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.

, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a b, minus, dwa a, koniec ułamka

Zapiszmy licznik i mianownik ułamka w postaci iloczynu:
początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a b, minus, dwa a, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, b, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Ułamek jest określony gdy a, nie równa się, zero i b, nie równa się, dwa.
Można go skrócić przez a:
początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, b, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a, plus, trzy b, mianownik, b, minus, dwa, koniec ułamka
pamiętając o początkowych założeniach: a, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, b, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego.

, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Zauważmy, że
początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, nawias, x, plus, y, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Mianownik został zapisany jako suma kwadratów, może więc przyjąć wartość zero tylko, gdy jednocześnie x, równa się, zero oraz y, równa się, zero.
Ułamek zatem jest określony, jeżeli przynajmniej jedna z liczb x, y jest różna od zero.
Taki warunek można zapisać na kilka sposobów, na przykład:
- możemy powiedzieć, że x, nie równa się, zero lub y, nie równa się, zero,
- możemy ten warunek przedstawić w formie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nie równa się, zero.

, początek ułamka, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, n, minus, n, mianownik, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa m, plus, jeden, koniec ułamka

Przekształćmy ułamek wyłączając wspólny czynnik przed nawias i stosując wzory skróconego mnożenia:
początek ułamka, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, n, minus, n, mianownik, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa m, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Ułamek jest określony gdy m, nie równa się, minus, jeden i można go skrócić przez m, plus, jeden:
początek ułamka, n nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, m, plus, jeden, koniec ułamka.

Przykład 1

Obliczmy wartości wyrażeń algebraicznych dla $a = - 3$ , $b = 2$ , $c = - 1$ .

RTR2HffN3Bpq6

początek ułamka, pięć a, plus, siedem, mianownik, trzy b, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

początek ułamka, pięć a, plus, siedem, mianownik, trzy b, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, piętnaście, plus, siedem, mianownik, sześć, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, siedem, koniec ułamka

, początek ułamka, a indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Możemy najpierw uprościć ułamek (podane wartości a, b, c należą do dziedziny podanego wyrażenia).
początek ułamka, a indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, czternaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, czternaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, c indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, mianownik, b, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, dwadzieścia siedem, razy, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka

, początek ułamka, a, plus, b, plus, c, mianownik, a, plus, b, minus, c, koniec ułamka

Zauważmy, że a, plus, b, minus, c, równa się, minus, trzy, plus, dwa, plus, jeden, równa się, zero.
Zatem ułamek początek ułamka, a, plus, b, plus, c, mianownik, a, plus, b, minus, c, koniec ułamka nie jest określony dla podanych wartości a, b, c.

, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć a c, koniec ułamka

Sprowadźmy licznik i mianownik do postaci iloczynu:
początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć a c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, a, plus, pięć c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Widzimy, że dla podanych wartości a, b, c ułamek jest określony (mianownik jest różny od zera) i można go skrócić przez a.
początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, a, plus, pięć c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a, plus, trzy b, mianownik, a, plus, pięć c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, trzy, plus, sześć, mianownik, minus, trzy, minus, pięć, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka

, początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka

Można spróbować skrócić ułamek:
początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, b nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, c nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, b, mianownik, c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, dwa.
Ważne jest jednak zawsze sprawdzenie, czy dany ułamek dla określonych wartości zmiennych istnieje. W naszym przypadku wyrażenie c nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu dla a, równa się, minus, trzy przyjmuje wartość zero, więc dla podanych wartości zmiennych ułamek początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka nie ma określonej wartości.

początek ułamka, pięć a, plus, siedem, mianownik, trzy b, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

początek ułamka, pięć a, plus, siedem, mianownik, trzy b, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, piętnaście, plus, siedem, mianownik, sześć, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, siedem, koniec ułamka

Możemy najpierw uprościć ułamek (podane wartości a, b, c należą do dziedziny podanego wyrażenia).
początek ułamka, a indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, czternaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, czternaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, c indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, mianownik, b, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, dwadzieścia siedem, razy, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka

, początek ułamka, a, plus, b, plus, c, mianownik, a, plus, b, minus, c, koniec ułamka

Zauważmy, że a, plus, b, minus, c, równa się, minus, trzy, plus, dwa, plus, jeden, równa się, zero.
Zatem ułamek początek ułamka, a, plus, b, plus, c, mianownik, a, plus, b, minus, c, koniec ułamka nie jest określony dla podanych wartości a, b, c.

, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć a c, koniec ułamka

Sprowadźmy licznik i mianownik do postaci iloczynu:
początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć a c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, a, plus, pięć c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Widzimy, że dla podanych wartości a, b, c ułamek jest określony (mianownik jest różny od zera) i można go skrócić przez a.
początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, a, plus, pięć c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a, plus, trzy b, mianownik, a, plus, pięć c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, trzy, plus, sześć, mianownik, minus, trzy, minus, pięć, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka

, początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka

Można spróbować skrócić ułamek:
początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, b nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, c nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, b, mianownik, c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, dwa.
Ważne jest jednak zawsze sprawdzenie, czy dany ułamek dla określonych wartości zmiennych istnieje. W naszym przypadku wyrażenie c nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu dla a, równa się, minus, trzy przyjmuje wartość zero, więc dla podanych wartości zmiennych ułamek początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka nie ma określonej wartości.

Ważne!

Wykonując operacje na ułamkach algebraicznych należy pamiętać o uwzględnieniu dziedziny ułamkadziedzina wyrażenia algebraicznegodziedziny ułamka. Mianownik ułamka w każdej jego postaci (również przed dokonaniem ewentualnego skracania ułamka) musi być różny od $0$ .

Określając dziedzinę wyrażenia algebraicznego należy podać dla wszystkich zmiennych występujących w wyrażeniu warunki, przy których spełnieniu wyrażenie przyjmuje jakąś wartość; w szczególności:

mianowniki ułamków i liczby przez które dzielimy muszą być różne od zera;
liczby podpierwiastkowe pierwiastków parzystego stopnia nie mogą być liczbami ujemnymi;
podstawa logarytmu i liczba logarytmowana muszą być dodatnie, ponadto podstawa logarytmu musi być różna od $1$ ;
zero nie może być podstawą potęgi o wykładniku $0$ .

Przykład 2

Rozważmy sześć wyrażeń algebraicznych zapisanych w formie ułamka. Ustalmy, które z tych wyrażeń są równe wyznaczając ich dziedzinę i sprowadzając wyrażenia do najprostszej postaci.

R1VXvoAO5Frau

Slajd pierwszy. Rozważamy wyrażenie początek ułamka, dwa a, mianownik, x, koniec ułamka. Wyrażenie początek ułamka, dwa a, mianownik, x, koniec ułamka jest w najprostszej postaci. Założenia są następujące: a, należy do, liczby rzeczywiste, x, należy do, liczby rzeczywiste \ nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego. Slajd drugi. Rozważamy wyrażenie początek ułamka, sześć a x, mianownik, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka. Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: początek ułamka, sześć a x, mianownik, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a, mianownik, x, koniec ułamka. Założenia są następujące: a, należy do, liczby rzeczywiste, x, należy do, liczby rzeczywiste \ nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego. Slajd trzeci. Rozważamy wyrażenie początek ułamka, dwa a x, plus, cztery a, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, koniec ułamka. Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: początek ułamka, dwa a x, plus, cztery a, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a nawias x, plus, dwa zamknięcie nawiasu, mianownik, x nawias x, plus, dwa zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a, mianownik, x, koniec ułamka. Założenia są następujące: a, należy do, liczby rzeczywiste, x, należy do, liczby rzeczywiste \ nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego. Slajd czwarty. Rozważmy wyrażenie początek ułamka, dziesięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć a x, koniec ułamka. Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: początek ułamka, dziesięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć a x, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a, mianownik, x, koniec ułamka. Założenia są następujące: a, należy do, liczby rzeczywiste, x, należy do, liczby rzeczywiste \ nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego. Slajd piąty. Rozważmy wyrażenie początek ułamka, dwa a pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka. Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: początek ułamka, dwa a pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a, mianownik, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a, mianownik, x, koniec ułamka. Założenia są następujące: a, należy do, liczby rzeczywiste, x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu ze względu na ostatnie założenie można było zastosować równość wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, równa się, x. Slajd szósty. Rozważmy wyrażenie początek ułamka, cztery a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa a x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka. Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: początek ułamka, cztery a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa a x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a, mianownik, x, koniec ułamka. Założenia są następujące: a, należy do, liczby rzeczywiste minus nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, x, należy do, liczby rzeczywiste minus nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.

Slajd pierwszy. Rozważamy wyrażenie $\frac{2 a}{x}$ . Wyrażenie $\frac{2 a}{x}$ jest w najprostszej postaci. Założenia są następujące: $a \in ℝ$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ . Slajd drugi. Rozważamy wyrażenie $\frac{6 a x}{3 x^{2}}$ . Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: $\frac{6 a x}{3 x^{2}} = \frac{2 a}{x}$ . Założenia są następujące: $a \in ℝ$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ . Slajd trzeci. Rozważamy wyrażenie $\frac{2 a x + 4 a}{x^{2} + 2 x}$ . Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: $\frac{2 a x + 4 a}{x^{2} + 2 x} = \frac{2 a (x + 2)}{x (x + 2)} = \frac{2 a}{x}$ . Założenia są następujące: $a \in ℝ$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ . Slajd czwarty. Rozważmy wyrażenie $\frac{10 a^{2}}{5 a x}$ . Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: $\frac{10 a^{2}}{5 a x} = \frac{2 a}{x}$ . Założenia są następujące: $a \in ℝ$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ . Slajd piąty. Rozważmy wyrażenie $\frac{2 a \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3}}}$ . Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: $\frac{2 a \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3}}} = \frac{2 a}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{2 a}{|x|} = \frac{2 a}{x}$ . Założenia są następujące: $a \in ℝ$ , $x \in (0, \infty)$ ze względu na ostatnie założenie można było zastosować równość $|x| = x$ . Slajd szósty. Rozważmy wyrażenie $\frac{4 a^{2} x^{2}}{2 a x^{3}}$ . Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: $\frac{4 a^{2} x^{2}}{2 a x^{3}} = \frac{2 a}{x}$ . Założenia są następujące: $a \in ℝ ∖ \{0\}$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ .

Porównując założenia widzimy, że mamy następujące pary wyrażeń równych:

$1$ oraz $2$
$4$ oraz $6$

Przykład 3

Dane jest wyrażenie $\frac{1}{k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}}$ . Jaka jest
(a) największa,
(b) najmniejsza wartość,

którą może przyjąć to wyrażenie, jeśli $k$ , $m$ , $n$ są różnymi dodatnimi liczbami jednocyfrowymi?

(a) szukamy największej wartości wyrażenia

Ułamek ma przyjąć wartość największą, więc jego mianownik $k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}$ powinien przyjąć wartość najmniejszą.
Zatem liczba $m + \frac{3}{n}$ powinna być możliwie duża, zaś liczba $n$ mała.
Oznacza to, że $m$ powinno przyjąć wartość dużą, zaś $k$ i $n$ – małą.
Mamy więc do rozważenia dwie sytuacje:
$m = 9$ , $k = 1$ , $n = 2$ ,
wtedy $\frac{1}{k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}} = \frac{21}{25}$ .
$m = 9$ , $k = 2$ , $n = 1$ ,
wtedy $\frac{1}{k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}} = \frac{6}{13}$ .
Największa wartość ułamka to $\frac{21}{25}$ .

(b) analogicznie wyznaczyć możemy najmniejszą wartość wyrażenia

Zauważmy, że $m$ powinno przyjąć wartość małą, zaś $k$ i $n$ - możliwie dużą.
Mamy więc do rozważenia dwie sytuacje:
$m = 1$ , $k = 8$ , $n = 9$ ,
wtedy $\frac{1}{k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}} = \frac{2}{19}$ .
$m = 1$ , $k = 9$ , $n = 8$ ,
wtedy $\frac{1}{k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}} = \frac{11}{115}$ .
Najmniejsza wartość ułamka to $\frac{11}{115}$ .

Słownik

dziedzina wyrażenia algebraicznego

zbiór liczb, dla których wyrażenie algebraiczne ma sens liczbowy.

ułamek algebraiczny

ułamek, którego licznik i mianownik są wyrażeniami algebraicznymi.

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik