Błąd bezwzględny przybliżenia
Definicja: Błąd bezwzględny przybliżenia

Błąd bezwzględny przybliżenia to wartość bezwzględna różnicy między wartością przybliżoną (tą, którą obliczyliśmy, oszacowaliśmy lub zmierzyliśmy), a wartością dokładną (prawdziwą).

Jeśli oznaczymy przez x wartość dokładną, a przez p wartość przybliżoną, to błąd bezwzględny x  możemy obliczyć korzystając ze wzoru:

x=x-p
Błąd względny przybliżenia
Definicja: Błąd względny przybliżenia

Błąd względny przybliżenia to iloraz błędu bezwzględnego i modułu wartości dokładnej.

Jeśli oznaczymy przez x wartość dokładną, a przez p wartość przybliżoną, to błąd względny δx  możemy obliczyć korzystając ze wzoru:

δx=x-px= xx

Błąd względny najczęściej jest wyrażany w procentach i nazywany wtedy błędem procentowym.

δx=xx·100%

Błąd względny jest wielkością niemianowaną, czyli nie posiada jednostki miary, błąd procentowy podajemy oczywiście w procentach.

Przypomnijmy, że błąd bezwzględny jest wyrażany w takich samych jednostkach jak wartość, którą przybliżamy.

Przykład 1

Wróćmy do wspomnianych we wstępie odległości między miastami. Obliczymy błąd względny tych przybliżeń.

Rzeczywista odległość z Warszawy do Krakowa wynosi x=320 km.

Jeżeli wspomniany we wstępie błąd bezwzględny x wynosi 25 km, to błąd względny przybliżenia wynosi

δx=xx=253200,078.

błąd procentowybłąd procentowy bezwzględnybłąd procentowy to

δx=xx·100%0,078·100%=7,8%.

Z kolei rzeczywista odległość z Warszawy do Londynu wynosi y = 1625   k m .

Jeżeli błąd bezwzględny y wyniesie 25 km, to błąd względny przybliżenia wynosi

δy=yy=2516250,015.

A błąd procentowy to

δy=yy·100%0,015·100%=1,5%

A zatem, choć w obu przypadkach pomyliliśmy się o 25 km, to w przypadku trasy Warszawa‑Kraków pomyliliśmy się o około  8%, a w przypadku trasy Warszawa‑Londyn tylko o około 1,5%.

Przykład 2

Plac z ławeczkami przed szkołą ma długość 96,5 m. Uczniowie na przerwie zmierzyli długość tego placu i ich pomiar wyniósł 100 m. Obliczmy błąd bezwzględny i błąd względny tego przybliżenia.

Wartość dokładna

x=96,5 m

Wartość przybliżona

p=100 m

Błąd bezwzględny przybliżenia

x=96,5-100 m=-3,5 m=3,5 m

Błąd względny przybliżeniabłąd względny przybliżeniaBłąd względny przybliżenia

δx=3,596,50,036=3,6%

Uczniowie pomylili się o ponad 3,5%.

Przykład 3

Państwo Nowakowie postanowili latem zrobić remont łazienki. Pan Nowak postanowił sam wykonać całą pracę i zaczął od oszacowania kosztów remontu. Obliczył, że na wykonanie zmian oraz zakup nowych mebli i sprzętów do łazienki potrzebne będzie 10000 . Jednak koszty rzeczywiste tego remontu wyniosły 10685 . Obliczymy jaki błąd bezwzględny i względny popełnił pan Nowak?

Wartość dokładna

x=10685 

Wartość przybliżona

p=10000 

Błąd bezwzględny przybliżenia

x=10685-10000 =685 =685 

Błąd względny przybliżenia

δx=685106850,064=6,4%

Pan Nowak pomylił się o około 6%.

Przykład 4

Oblicz, ile wynosi błąd względny przybliżenia liczby 712 do części setnych.

712=0,58333...=0,5830,58

Wartość dokładna

x=712

Wartość przybliżona

p=0,58=58100=2950

Błąd bezwzględny przybliżenia

x=712-2950=175-174300=1300

Błąd względny przybliżenia

δx=1300712=1300·127=11750,0057140,6%

Błąd względny tego przybliżenia wynosi około 0,6%.

Przykład 5

Przybliżenie z nadmiarem pewnej liczby dodatniej x do drugiego miejsca po przecinku jest równe 12,35. Błąd względny tego przybliżenia wynosi 14200. Obliczymy dokładną wartość liczby x.

Korzystając ze wzoru na błąd względny przybliżeniabłąd względny przybliżeniabłąd względny przybliżenia możemy zapisać

x-12,35x=14200

Wiemy, że liczba 12,35 jest przybliżeniem z nadmiarem, a zatem

x<12,35

Zatem

x-12,35<0

Więc

x-12,35=-x+12,35

Wiemy również, że liczba x jest dodatnia, więc x=x.

Wtedy

-x+12,35x=14200

x=-4200x+51870

x+4200x=51870

4201x=51870

x=518704201

x=1214584201

Szukaną liczbą jest liczba x=1214584201.

Słownik

błąd względny przybliżenia
błąd względny przybliżenia

iloraz błędu bezwzględnego i modułu wartości dokładnej

błąd procentowy bezwzględny
błąd procentowy bezwzględny

błąd względny przybliżenia wyrażony w procentach