Błąd bezwzględny przybliżenia to wartość bezwzględna różnicy między wartością przybliżoną (tą, którą obliczyliśmy, oszacowaliśmy lub zmierzyliśmy), a wartością dokładną (prawdziwą).

Błąd względny przybliżenia to iloraz błędu bezwzględnego i modułu wartości dokładnej.

Wróćmy do wspomnianych we wstępie odległości między miastami. Obliczymy błąd względny tych przybliżeń.

Rzeczywista odległość z Warszawy do Krakowa wynosi $x=320 \mathrm{km}$.

Jeżeli wspomniany we wstępie błąd bezwzględny ${∆}_x$ wynosi $25 \mathrm{km}$, to błąd względny przybliżenia wynosi

${\delta }_x=\frac{{∆}_x}{\left|x\right|}=\frac{25}{320}\approx 0,078$.

A błąd procentowybłąd procentowy bezwzględnybłąd procentowy to

${\delta }_x=\frac{{∆}_x}{\left|x\right|}·100\%\approx 0,078·100\%=7,8\%$.

Z kolei rzeczywista odległość z Warszawy do Londynu wynosi $y=1625\mathrm{k}\mathrm{m}$.

Jeżeli błąd bezwzględny ${∆}_y$ wyniesie $25 \mathrm{km}$, to błąd względny przybliżenia wynosi

${\delta }_y=\frac{{∆}_y}{\left|y\right|}=\frac{25}{1625}\approx 0,015$.

A błąd procentowy to

${\delta }_y=\frac{{∆}_y}{\left|y\right|}·100\%\approx 0,015·100\%=1,5\%$

A zatem, choć w obu przypadkach pomyliliśmy się o $25 \mathrm{km}$, to w przypadku trasy Warszawa‑Kraków pomyliliśmy się o około  $8\%$, a w przypadku trasy Warszawa‑Londyn tylko o około $1,5\%$.

Plac z ławeczkami przed szkołą ma długość $96,5 \mathrm{m}$. Uczniowie na przerwie zmierzyli długość tego placu i ich pomiar wyniósł $100 \mathrm{m}$. Obliczmy błąd bezwzględny i błąd względny tego przybliżenia.

Wartość dokładna

$x=96,5 \mathrm{m}$

Wartość przybliżona

$p=100 \mathrm{m}$

Błąd bezwzględny przybliżenia

${∆}_x=\left|96,5-100\right| \mathrm{m}=\left|-3,5\right| \mathrm{m}=3,5 \mathrm{m}$

Błąd względny przybliżeniabłąd względny przybliżeniaBłąd względny przybliżenia

${\delta }_x=\frac{3,5}{\left|96,5\right|}\approx 0,036=3,6\%$

Uczniowie pomylili się o ponad $3,5\%$.

Państwo Nowakowie postanowili latem zrobić remont łazienki. Pan Nowak postanowił sam wykonać całą pracę i zaczął od oszacowania kosztów remontu. Obliczył, że na wykonanie zmian oraz zakup nowych mebli i sprzętów do łazienki potrzebne będzie $10000 \mathrm{zł}$. Jednak koszty rzeczywiste tego remontu wyniosły $10685 \mathrm{zł}$. Obliczymy jaki błąd bezwzględny i względny popełnił pan Nowak?

Wartość dokładna

$x=10685 \mathrm{zł}$

Wartość przybliżona

$p=10000 \mathrm{zł}$

Błąd bezwzględny przybliżenia

${∆}_x=\left|10685-10000\right|\mathrm{ }\mathrm{zł}=\left|685\right| \mathrm{zł}=685\mathrm{ }\mathrm{zł}$

Błąd względny przybliżenia

${\delta }_x=\frac{685}{\left|10685\right|}\approx 0,064=6,4\%$

Pan Nowak pomylił się o około $6\%$.

Oblicz, ile wynosi błąd względny przybliżenia liczby $\frac{7}{12}$ do części setnych.

$\frac{7}{12}=0,58333...=0,58\left(3\right)\approx 0,58$

Wartość dokładna

$x=\frac{7}{12}$

Wartość przybliżona

$p=0,58=\frac{58}{100}=\frac{29}{50}$

Błąd bezwzględny przybliżenia

${∆}_x=\left|\frac{7}{12}-\frac{29}{50}\right|=\left|\frac{175-174}{300}\right|=\frac{1}{300}$

Błąd względny przybliżenia

${\delta }_x=\frac{\frac{1}{300}}{\left|\frac{7}{12}\right|}=\frac{1}{300}·\frac{12}{7}=\frac{1}{175}\approx 0,005714\approx 0,6\%$

Błąd względny tego przybliżenia wynosi około $0,6\%$.

Przybliżenie z nadmiarem pewnej liczby dodatniej $x$ do drugiego miejsca po przecinku jest równe $12,35$. Błąd względny tego przybliżenia wynosi $\frac{1}{4200}$. Obliczymy dokładną wartość liczby $x$.

Korzystając ze wzoru na błąd względny przybliżeniabłąd względny przybliżeniabłąd względny przybliżenia możemy zapisać

$\frac{\left|x-12,35\right|}{\left|x\right|}=\frac{1}{4200}$

Wiemy, że liczba $12,35$ jest przybliżeniem z nadmiarem, a zatem

$x<12,35$

Zatem

$x-12,35<0$

Więc

$\left|x-12,35\right|=-x+12,35$

Wiemy również, że liczba $x$ jest dodatnia, więc $\left|x\right|=x$.

Wtedy

$\frac{-x+12,35}{x}=\frac{1}{4200}$

$x=-4200x+51870$

$x+4200x=51870$

$4201x=51870$

$x=\frac{51870}{4201}$

$x=12\frac{1458}{4201}$

Szukaną liczbą jest liczba $x=12\frac{1458}{4201}$.

iloraz błędu bezwzględnego i modułu wartości dokładnej

błąd względny przybliżenia wyrażony w procentach