Przeczytaj

Dane jest wyrażenie wymierne $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , gdzie $P (x)$ i $Q (x)$ są pewnymi wielomianami, $Q (x)$ nie jest wielomianem zerowym. Do dziedziny wyrażeniadziedzina wyrażenia algebraicznegodziedziny wyrażenia należą wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem pierwiastków wielomianu $Q (x)$ .

Wyrażenie $\frac{P (x)}{Q (x)}$ możemy rozszerzyć przez wielomian niezerowy $W (x)$ , sprowadzając je do postaci $\frac{P (x) \cdot W (x)}{Q (x) \cdot W (x)}$ .

Wyrażenia wymierne $\frac{P (x)}{Q (x)}$ oraz $\frac{P (x) \cdot W (x)}{Q (x) \cdot W (x)}$ są równe dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem pierwiastków wielomianów z mianownika (czyli $Q (x)$ i $W (x)$ ).

Przykład 1

Rozszerzymy ułamek $\frac{2 x - 1}{3 x + 4}$ przez $2 x^{2} + x - 6$ .

Po wykonaniu mnożenia wielomianów możemy zapisać, że
$\frac{2 x - 1}{3 x + 4} = \frac{4 x^{3} - 13 x + 6}{6 x^{3} + 11 x^{2} - 14 x - 24} .$

Ze względu na konieczność określenia założeń, zwykle wygodniejszy będzie zapis licznika i mianownika w postaci iloczynowej.
Wyrażenie, przez które rozszerzamy, można zapisać w postaci iloczynu: $2 x^{2} + x - 6 = (x + 2) (2 x - 3)$ .
Zatem $\frac{2 x - 1}{3 x + 4} = \frac{(2 x - 1) (x + 2) (2 x - 3)}{(3 x + 4) (x + 2) (2 x - 3)}$ ,
przy czym $\{\begin{cases} 3 x + 4 \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \\ 2 x - 3 \neq 0 \end{cases},$
czyli $x \in ℝ ∖ \{- 2; - \frac{4}{3}; \frac{3}{2}\}$ .

Przykład 2

Rozszerzymy ułamek $\frac{x - 7}{x - 5}$ tak, by otrzymać ułamek o liczniku $x^{3} - 7 x^{2} - x + 7$ .
Podamy potrzebne założenia.

Sprowadźmy licznik do postaci iloczynowej:
$x^{3} - 7 x^{2} - x + 7 = x^{2} (x - 7) - (x - 7) =$
$= (x - 7) (x^{2} - 1) = (x - 7) (x - 1) (x + 1)$ .

Ułamek należy zatem rozszerzyć przez $(x - 1) (x + 1)$ :
$\frac{x - 7}{x - 5} = \frac{(x - 7) (x - 1) (x + 1)}{(x - 5) (x - 1) (x + 1)} = \frac{x^{3} - 7 x^{2} - x + 7}{x^{3} - 5 x^{2} - x + 5}$ ,
przy czym $x \in ℝ ∖ \{- 1; 1; 5\}$ .

Przykład 3

Rozszerzymy ułamek $\frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 4}$ tak, by otrzymać ułamek, którego mianownikiem będzie dwumian $x^{3} + 8$ .
Podamy potrzebne założenia.

Zauważmy, że $x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ .

Wystarczy zatem rozszerzyć ułamek przez $x + 2$ :
$\frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 4} = \frac{(x - 2) (x + 2)}{(x^{2} - 2 x + 4) (x + 2)} = \frac{x^{2} - 4}{x^{3} + 8}$ .

Ułamki są równe, gdy $x \in ℝ ∖ \{- 2\}$ .

Przy uwzględnieniu potrzebnych założeń analogicznie można rozszerzać dowolne wyrażenia algebraiczne zapisane w formie ułamka. Nie muszą być ilorazami dwóch wielomianów. Wyrażenie, przez które rozszerzamy, nie musi być wielomianem.

W kolejnych przykładach pokażemy, jak rozszerzając wyrażenia zapisane w formie ułamka, sprowadzić do prostszej postaci ułamki piętrowe.

Przykład 4

Rozszerzając odpowiednio wyrażenie
$\frac{\frac{a + 1}{a^{3} - 1}}{\frac{a^{3} + a^{2} + 2 a}{a^{3} - 1}}$
zapisane w formie ułamka piętrowego, sprowadzimy je do postaci wyrażenia wymiernego, czyli ułamka, którego licznik i mianownik to wielomiany.
Podamy potrzebne założenia.

Rozszerzmy ułamek piętrowy przez wyrażenie $a^{3} - 1$ :
$\frac{\frac{a + 1}{a^{3} - 1}}{\frac{a^{3} + a^{2} + 2 a}{a^{3} - 1}} = \frac{\frac{a + 1}{a^{3} - 1} \cdot (a^{3} - 1)}{\frac{a^{3} + a^{2} + 2 a}{a^{3} - 1} \cdot (a^{3} - 1)} = \frac{a + 1}{a^{3} + a^{2} + 2 a}$ .

Ustalmy założenia pamiętając, że nie wolno dzielić przez $0$ .
$\{\begin{cases} a^{3} - 1 \neq 0 \\ a^{3} + a^{2} + 2 a \neq 0 \end{cases}$
$\{\begin{cases} (a - 1) (a^{2} + a + 1) \neq 0 \\ a (a^{2} + a + 2) \neq 0 \end{cases}$
Wyrażenia $a^{2} + a + 1$ oraz $a^{2} + a + 2$ nie przyjmują wartości $0$ dla żadnej liczby rzeczywistej (w obu przypadkach $Δ < 0$ ).
Zatem $\{\begin{cases} a - 1 \neq 0 \\ a \neq 0 \end{cases},$
czyli $a \in ℝ ∖ \{0; 1\}$ .

Przykład 5

Rozszerzając odpowiednio wyrażenie
$\frac{\frac{x^{2} - x - 2}{x^{3} + 4 x^{2} + 10 x + 12}}{\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + 2 x + 6}}$
zapisane w formie ułamka piętrowego sprowadź je do postaci wyrażenia wymiernego, czyli ułamka, którego licznik i mianownik to wielomiany.
Podaj potrzebne założenia.

Na początek sprowadźmy do postaci iloczynowej wielomiany $x^{3} + 4 x^{2} + 10 x + 12$ i $x^{2} + 2 x + 6$ .

Łatwo zauważyć, że wielomian $x^{2} + 2 x + 6$ jest nierozkładalny ( $Δ < 0$ ).

Rozkładając wielomian $x^{3} + 4 x^{2} + 10 x + 12$ możemy użyć metody grupowania:
$x^{3} + 4 x^{2} + 10 x + 12 = (x^{3} + 4 x^{2} + 4 x) + (6 x + 12) =$
$= x {(x + 2)}^{2} + 6 (x + 2) = (x + 2) (x^{2} + 2 x + 6)$ .

Rozszerzmy ułamek z zadania przez $(x + 2) (x^{2} + 2 x + 6)$ :
$\frac{\frac{x^{2} - x - 2}{(x + 2) (x^{2} + 2 x + 6)}}{\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + 2 x + 6}} = \frac{\frac{x^{2} - x - 2}{(x + 2) (x^{2} + 2 x + 6)} \cdot (x + 2) (x^{2} + 2 x + 6)}{\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + 2 x + 6} \cdot (x + 2) (x^{2} + 2 x + 6)} =$
$= \frac{x^{2} - x - 2}{(x^{2} - 4 x + 3) (x + 2)}$ .

Wyznaczmy potrzebne założenia:
$\{\begin{cases} x^{2} + 2 x + 6 \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \\ x^{2} - 4 x + 3 \neq 0 \end{cases},$
czyli $x \in ℝ ∖ \{- 2; 1; 3\}$ .

Przykład 6

Rozszerzając odpowiednio wyrażenie

$\frac{\frac{x + 4}{x^{3} - 3 x^{2} + 8 x}}{\frac{x + 5}{x^{3} - x^{2} + 2 x + 16}}$

zapisane w formie ułamka piętrowego, sprowadź je do postaci wyrażenia wymiernego, czyli ułamka, którego licznik i mianownik to wielomiany.
Podamy potrzebne założenia.

Sprowadźmy do postaci iloczynowej mianowniki ułamków:
$x^{3} - 3 x^{2} + 8 x = x (x^{2} - 3 x + 8)$ $x^{3} - x^{2} + 2 x + 16 = (x + 2) (x^{2} - 3 x + 8)$ .

Rozszerzmy cały ułamek przez $x (x + 2) (x^{2} - 3 x + 8)$ :
$\frac{\frac{x + 4}{x (x^{2} - 3 x + 8)}}{\frac{x + 5}{(x + 2) (x^{2} - 3 x + 8)}} = \frac{\frac{x + 4}{x (x^{2} - 3 x + 8)} \cdot x (x + 2) (x^{2} - 3 x + 8)}{\frac{x + 5}{(x + 2) (x^{2} - 3 x + 8)} \cdot x (x + 2) (x^{2} - 3 x + 8)} =$
$= \frac{(x + 4) (x + 2)}{(x + 5) x} = \frac{x^{2} + 6 x + 8}{x^{2} + 5 x}$ .

Wyznaczmy założenia:
$\{\begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq - 2 \\ x \neq - 5 \end{cases}$ .

Słownik

dziedzina wyrażenia algebraicznego

wszystkie liczby rzeczywiste, dla których to wyrażenie ma sens liczbowy

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik