Przeczytaj

Przedstawimy różne interpretacje okręgu na podstawie:

rysunku, gdy dany jest środek oraz promień okręgu lub punkty należące do okręgu,
równania okręgu w postaci kanonicznej.

Przypomnijmy definicję okręgu na płaszczyźnie oraz równania okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej.

okrąg

Definicja: okrąg

Okręgiem o środku w punkcie $S$ i promieniu długości $r$ , gdzie $r > 0$ , nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu $S$ jest równa długości promienia $r$ .

równanie okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej

Definicja: równanie okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej

Równanie postaci ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ opisuje okrąg na płaszczyźnie kartezjańskiej, gdzie $S = (a, b)$ jest środkiem okręgu oraz $r$ jest promieniem okręgu.

Wzór ten nazywamy postacią kanoniczną równania okręgupostać kanoniczna równania okręgupostacią kanoniczną równania okręgu.

Przykład 1

Naszkicujmy okrąg opisany za pomocą równania ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ .

Rozwiązanie:

Z równania możemy odczytać, że środek okręgu $S = (3, 1)$ oraz długość promienia $r = 2$ .

Rysunek tego okręgu przedstawia się następująco:

R1Sx6RiQFAI3l

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus czterech do sześciu i pionową osią y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się okrąg. Środek okręgu S znajduje się w punkcie początek nawiasu, 3, 1, zamknięcie nawiasu. Promień okręgu r jest równy dwa.

Przykład 2

Zapiszmy równanie okręgu, którego wykres przedstawiono na poniższym rysunku.

Rozwiązanie:

RrMFotMwvIlba

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus siedmiu do dwóch i pionową osią y od minus ośmiu do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się okrąg. Środek okręgu S znajduje się w punkcie początek nawiasu, minus 2, minus 4, zamknięcie nawiasu. Okrąg przechodzi przez punkt początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu.

Z rysunku możemy odczytać, że środek okręgu $S = (- 2, - 4)$ , a promień $r$ ma długość $3$ .

Okrąg przedstawiony na rysunku zapisujemy za pomocą równania:

${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9$ .

Przykład 3

Zapiszmy równanie okręgu oraz naszkicujmy jego wykres, jeżeli wiadomo, że środkiem okręgu jest punkt $S = (1, 2)$ i należy do niego punkt $A = (- 2, 4)$ .

Rozwiązanie:

Punkt $A$ należy do okręgu o środku w punkcie $S$ , zatem długość promienia jest równa odległości punktów $A$ i $S$ .

Zatem $r = \sqrt{{(- 2 - 1)}^{2} + {(4 - 2)}^{2}} = \sqrt{13}$ .

Okrąg zapisujemy za pomocą równania:

${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 13$ .

Rysunek tego okręgu przedstawia się następująco:

R12USOurQlUsj

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie znajduje się okrąg. Środek okręgu S znajduje się w punkcie początek nawiasu, 1, 2, zamknięcie nawiasu. Okrąg przechodzi przez punkt A o współrzędnych początek nawiasu, minus 2, 4, zamknięcie nawiasu.

Przykład 4

Wyznaczmy, dla jakiej wartości parametru $m$ równanie $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = m^{2} - m - 12$ opisuje okrąg, a następnie naszkicujemy ten okrąg dla najmniejszej liczby naturalnej $m$ , dla której jest to równanie okręgu.

Rozwiązanie:

Jeżeli równanie opisuje okrąg, to spełniony jest warunek $r > 0$ , a zatem:

$m^{2} - m - 12 > 0$ .

Nierówność jest prawdziwa dla $m \in (- \infty, - 3) \cup (4, \infty)$ .

Najmniejsza liczba naturalna spełniająca tę nierówność jest równa $5$ .

Zatem dla $m = 5$ równanie okręgu przyjmuje postać:

$x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$ .

Z równania możemy odczytać, że środkiem okręgu jest punkt $S = (0, 2)$ oraz $r = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .

Do okręgu należy punkt $A = (2, 0)$ .

Rysunek tego okręgu przedstawia się następująco:

RWSUey646zM6F

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do pięciu i pionową osią y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie znajduje się okrąg. Środek okręgu S znajduje się w punkcie początek nawiasu, 0, 2, zamknięcie nawiasu. Okrąg przechodzi przez punkt A o współrzędnych początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu. Punkt A jest połączony ze środkiem okręgu S linią, która jest podpisana literą r.

Przykład 5

Wyznaczmy równania okręgów o promieniu długości $2$ , stycznych do obu osi układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Jeżeli promień okręgu stycznego do obu osi układu współrzędnych ma długość $2$ , to istnieją cztery takie okręgi, jak na poniższym rysunku.

RTSYjpWuKMHIW

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do pięciu i pionową osią y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie znajdują się cztery okręgi. Każdy z okręgów znajduje się w innej ćwiartce. Środek okręgu znajdującego się w ćwiartce pierwszej jest w punkcie początek nawiasu, 2, 2, zamknięcie nawiasu. Okrąg z ćwiartki pierwszej jest styczny do okręgu z ćwiartki drugiej w punkcie początek nawiasu, 0, 2, zamknięcie nawiasu oraz styczny do okręgu z ćwiartki czwartej w punkcie początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu. Środek okręgu z ćwiartki drugiej znajduje się w punkcie początek nawiasu, minus 2, 2, zamknięcie nawiasu. Okrąg znajdujący się w ćwiartce drugiej styka się z tym z ćwiartki pierwszej oraz z okręgiem w ćwiartce trzeciej w punkcie początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu. Środek okręgu znajdującego się w ćwiartce trzeciej ma współrzędne początek nawiasu, minus 2, minus 2, zamknięcie nawiasu. Okrąg z ćwiartki trzeciej, styka się z okręgiem z ćwiartki drugiej oraz z okręgiem z ćwiartki czwartej w punkcie początek nawiasu 0, minus 2, zamknięcie nawiasu. Środek okręgu znajdującego się w ćwiartce czwartej ma współrzędne początek nawiasu, 2, minus 2, zamknięcie nawiasu. Okrąg z ćwiartki czwartej styka się z okręgami z ćwiartki pierwszej oraz trzeciej.

Równania tych okręgów przedstawiają się następująco:

${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ,

${(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ,

${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ ,

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ .

Zauważmy, że jeśli okrąg o promieniu długości $r$ jest styczny do obu osi układu współrzędnych, to jego środek ma współrzędne: $(r, r)$ , $(- r, r)$ , $(r, - r)$ lub $(- r, - r)$ .

Przykład 6

Wyznaczmy równanie okręgu przechodzącego przez punkt $A = (- 2, - 1)$ , stycznego do obu osi układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Wiemy już, że równanie takiego okręgu możemy zapisać w postaci:

${(x - r)}^{2} + {(y - r)}^{2} = r^{2}$ .

W celu wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

${(- 2 - r)}^{2} + {(- 1 - r)}^{2} = r^{2}$ .

Równanie jest równoważne równaniu $4 + 4 r + r^{2} + 1 + 2 r + r^{2} = r^{2}$ , zatem $r^{2} + 6 r + 5 = 0$ .

Rozwiązaniami tego równania są liczby $(- 5)$ oraz $(- 1)$ .

Istnieją zatem dwa okręgi spełniające warunki zadania. Ich równania zapisujemy w postaci:

${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ oraz ${(x + 5)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 25$ .

Słownik

postać kanoniczna równania okręgu

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , gdzie $S = (a, b)$ jest środkiem okręgu oraz $r$ jest promieniem okręgu

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik