Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Przedstawimy różne interpretacje okręgu na podstawie:

  • rysunku, gdy dany jest środek oraz promień okręgu lub punkty należące do okręgu,

  • równania okręgu w postaci kanonicznej.

Przypomnijmy definicję okręgu na płaszczyźnie oraz równania okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej.

okrąg
Definicja: okrąg

Okręgiem o środku w punkcie S i promieniu długości r, gdzie r>0, nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu S jest równa długości promienia r.

równanie okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej
Definicja: równanie okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej

Równanie postaci x-a2+y-b2=r2 opisuje okrąg na płaszczyźnie kartezjańskiej, gdzie S=a,b jest środkiem okręgu oraz r jest promieniem okręgu.

Wzór ten nazywamy postacią kanoniczną równania okręgupostać kanoniczna równania okręgupostacią kanoniczną równania okręgu.

Przykład 1

Naszkicujmy okrąg opisany za pomocą równania x-32+y-12=4.

Rozwiązanie:

Z równania możemy odczytać, że środek okręgu S=3,1 oraz długość promienia r=2.

Rysunek tego okręgu przedstawia się następująco:

R1Sx6RiQFAI3l
Przykład 2

Zapiszmy równanie okręgu, którego wykres przedstawiono na poniższym rysunku.

Rozwiązanie:

RrMFotMwvIlba

Z rysunku możemy odczytać, że środek okręgu S=-2,-4, a promień r ma długość 3.

Okrąg przedstawiony na rysunku zapisujemy za pomocą równania:

x+22+y+42=9.

Przykład 3

Zapiszmy równanie okręgu oraz naszkicujmy jego wykres, jeżeli wiadomo, że środkiem okręgu jest punkt S=1,2 i należy do niego punkt A=-2,4.

Rozwiązanie:

Punkt A należy do okręgu o środku w punkcie S, zatem długość promienia jest równa odległości punktów AS.

Zatem r=-2-12+4-22=13.

Okrąg zapisujemy za pomocą równania:

x-12+y-22=13.

Rysunek tego okręgu przedstawia się następująco:

R12USOurQlUsj
Przykład 4

Wyznaczmy, dla jakiej wartości parametru m równanie x2+y-22=m2-m-12 opisuje okrąg, a następnie naszkicujemy ten okrąg dla najmniejszej liczby naturalnej m, dla której jest to równanie okręgu.

Rozwiązanie:

Jeżeli równanie opisuje okrąg, to spełniony jest warunek r>0, a zatem:

m2-m-12>0.

Nierówność jest prawdziwa dla m-,-34,.

Najmniejsza liczba naturalna spełniająca tę nierówność jest równa 5.

Zatem dla m=5 równanie okręgu przyjmuje postać:

x2+y-22=8.

Z równania możemy odczytać, że środkiem okręgu jest punkt S=0,2 oraz r=8=22.

Do okręgu należy punkt A=2,0.

Rysunek tego okręgu przedstawia się następująco:

RWSUey646zM6F
Przykład 5

Wyznaczmy równania okręgów o promieniu długości 2, stycznych do obu osi układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Jeżeli promień okręgu stycznego do obu osi układu współrzędnych ma długość 2, to istnieją cztery takie okręgi, jak na poniższym rysunku.

RTSYjpWuKMHIW

Równania tych okręgów przedstawiają się następująco:

x-22+y-22=4,

x+22+y-22=4,

x+22+y+22=4,

x-22+y+22=4.

Zauważmy, że jeśli okrąg o promieniu długości r jest styczny do obu osi układu współrzędnych, to jego środek ma współrzędne: r,r, -r,r, r,-r lub -r,-r.

Przykład 6

Wyznaczmy równanie okręgu przechodzącego przez punkt A=-2,-1, stycznego do obu osi układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Wiemy już, że równanie takiego okręgu możemy zapisać w postaci:

x-r2+y-r2=r2.

W celu wyznaczenia wartości r rozwiązujemy równanie:

-2-r2+-1-r2=r2.

Równanie jest równoważne równaniu 4+4r+r2+1+2r+r2=r2, zatem r2+6r+5=0.

Rozwiązaniami tego równania są liczby 5 oraz 1.

Istnieją zatem dwa okręgi spełniające warunki zadania. Ich równania zapisujemy w postaci:

x+12+y+12=1 oraz x+52+y+52=25.

Słownik

postać kanoniczna równania okręgu
postać kanoniczna równania okręgu

x-a2+y-b2=r2, gdzie S=a,b jest środkiem okręgu oraz r jest promieniem okręgu