Przedstawimy różne interpretacje okręgu na podstawie:
rysunku, gdy dany jest środek oraz promień okręgu lub punkty należące do okręgu,
równania okręgu w postaci kanonicznej.
Przypomnijmy definicję okręgu na płaszczyźnie oraz równania okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej.
okrąg
Definicja: okrąg
Okręgiem o środku w punkcie i promieniu długości , gdzie , nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu jest równa długości promienia .
równanie okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej
Definicja: równanie okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej
Równanie postaci opisuje okrąg na płaszczyźnie kartezjańskiej, gdzie jest środkiem okręgu oraz jest promieniem okręgu.
Z równania możemy odczytać, że środek okręgu oraz długość promienia .
Rysunek tego okręgu przedstawia się następująco:
R1Sx6RiQFAI3l
Przykład 2
Zapiszmy równanie okręgu, którego wykres przedstawiono na poniższym rysunku.
Rozwiązanie:
RrMFotMwvIlba
Z rysunku możemy odczytać, że środek okręgu , a promień ma długość .
Okrąg przedstawiony na rysunku zapisujemy za pomocą równania:
.
Przykład 3
Zapiszmy równanie okręgu oraz naszkicujmy jego wykres, jeżeli wiadomo, że środkiem okręgu jest punkt i należy do niego punkt .
Rozwiązanie:
Punkt należy do okręgu o środku w punkcie , zatem długość promienia jest równa odległości punktów i .
Zatem .
Okrąg zapisujemy za pomocą równania:
.
Rysunek tego okręgu przedstawia się następująco:
R12USOurQlUsj
Przykład 4
Wyznaczmy, dla jakiej wartości parametru równanie opisuje okrąg, a następnie naszkicujemy ten okrąg dla najmniejszej liczby naturalnej , dla której jest to równanie okręgu.
Rozwiązanie:
Jeżeli równanie opisuje okrąg, to spełniony jest warunek , a zatem:
.
Nierówność jest prawdziwa dla .
Najmniejsza liczba naturalna spełniająca tę nierówność jest równa .
Zatem dla równanie okręgu przyjmuje postać:
.
Z równania możemy odczytać, że środkiem okręgu jest punkt oraz .
Do okręgu należy punkt .
Rysunek tego okręgu przedstawia się następująco:
RWSUey646zM6F
Przykład 5
Wyznaczmy równania okręgów o promieniu długości , stycznych do obu osi układu współrzędnych.
Rozwiązanie:
Jeżeli promień okręgu stycznego do obu osi układu współrzędnych ma długość , to istnieją cztery takie okręgi, jak na poniższym rysunku.
RTSYjpWuKMHIW
Równania tych okręgów przedstawiają się następująco:
,
,
,
.
Zauważmy, że jeśli okrąg o promieniu długości jest styczny do obu osi układu współrzędnych, to jego środek ma współrzędne: , , lub .
Przykład 6
Wyznaczmy równanie okręgu przechodzącego przez punkt , stycznego do obu osi układu współrzędnych.
Rozwiązanie:
Wiemy już, że równanie takiego okręgu możemy zapisać w postaci:
.
W celu wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
.
Równanie jest równoważne równaniu , zatem .
Rozwiązaniami tego równania są liczby oraz .
Istnieją zatem dwa okręgi spełniające warunki zadania. Ich równania zapisujemy w postaci:
oraz .
Słownik
postać kanoniczna równania okręgu
postać kanoniczna równania okręgu
, gdzie jest środkiem okręgu oraz jest promieniem okręgu