Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby udostępnić materiał Dodaj całą stronę do teczki

Przypomnijmy własności funkcji tangens, z których będziemy korzystać przy rozwiązywaniu równań.

o własnościach funkcji tangens
Twierdzenie: o własnościach funkcji tangens

Opiszmy własności funkcji y=tgx, gdy xπ2+kπ, gdzie k.

  1. Funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym T=π.

  2. Funkcja tangens jest funkcją nieparzystą.

  3. Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.

  4. Funkcja tangens nie ma wartości największej. Funkcja tangens nie ma wartości najmniejszej.

  5. Środkiem symetrii wykresu funkcji tangens jest każdy punkt o współrzędnych kπ2,0, gdzie k.

Liczba rozwiązań równania tgx=a w przedziale (-π2,π2)

Narysujmy wykres funkcji y=tgx w przedziale (-π2,π2). Narysujmy także prostą o równaniu y=a, gdzie a jest pewną ustaloną liczbą rzeczywistą.

Poruszajmy suwakiem na poniższym aplecie.

RpoCkQaLQb5qh
Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pi do pi oraz pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y=tgx w przedziale -π2; π2 oraz pozioma prosta równoległa do osi x o równaniu y=a. Współczynnik a jest interaktywny i może przyjąć wartości w przedziale -4; 4. Zmiana współczynnika powoduje przesunięcie prostej w górę lub w dół. Prosta ta, przecina wykres funkcji y=tgx. Miejsce przecięcia jest zrzutowane na poziomą oś X i oznaczone jako argument x indeks dolny zero koniec indeksu.

Zauważmy, że w przedziale (-π2,π2) funkcja y=tgx przyjmuje każdą wartość rzeczywistą dokładnie jeden raz. Zatem równanie tgx=a ma w przedziale (-π2,π2) dokładnie jedno rozwiązanierozwiązanie równania z jedną niewiadomąjedno rozwiązanie. Na aplecie zostało oznaczone jako x0, czyli tgx0=a.

Rozwiązania równania tgx=a w dziedzinie

Funkcja y=tgx jest funkcją okresową o okresie zasadniczym T=π.

Zobaczmy w aplecie, jak zachowują się punkty wspólne wykresu funkcji y=tgx i prostej o równaniu y=a.

R1DFr8myI8qUr
Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pi do pi oraz pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y=tgx oraz pozioma prosta równoległa do osi x o równaniu y=a. Współczynnik a jest interaktywny i może przyjąć wartości w przedziale -4; 4. Zmiana współczynnika powoduje przesunięcie prostej w górę lub w dół. Prosta ta, przecina wykres funkcji y=tgx. Miejsce przecięcia jest zrzutowane na poziomą oś X i oznaczone jako argument x indeks dolny zero koniec indeksu i powtarza się dokładnie co pi.

Zauważmy zatem, że jeżeli x0 jest rozwiązaniem równania tgx=a w przedziale (-π2,π2), to wszystkie rozwiązaniazbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomąwszystkie rozwiązania tego równania mają postać: x=x0+kπ, gdzie k.

o rozwiązywaniu równania tgx=a
Twierdzenie: o rozwiązywaniu równania tgx=a

Algorytm szukania rozwiązań równania tgx=a:

  1. Znajdujemy jedno rozwiązanie x0 takie, że tgx0=a.

  2. Zapisujemy wszystkie rozwiązania równania tgx=a:

x=x0+kπ, gdzie k.

Przykłady

Przykład 1

Rozwiążemy w przedziale (-π2,π2) równanie: tgx=-33.

Rozwiązanie

Najpierw wyznaczymy jedno rozwiązanie równania tgx=-33 w przedziale (-π2,π2).

Ponieważ tgπ6=33, to korzystając z zależności tg(-x)=-tgx otrzymujemy:
tg(-π6)=-tgπ6=-33.

Zatem rozwiązaniem równania tgx=-33 w przedziale (-π2,π2) jest x=-π6.

Przykład 2

Rozwiążemy równanie: tgx=-33 w całej dziedzinie.

Rozwiązanie

Skorzystamy z rozwiązania poprzedniego przykładu.

Rozwiązaniem równania tgx=-33 w przedziale (-π2,π2) jest x0=-π6.

Korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równania tgx=a, otrzymujemy odpowiedź:
x=-π6+kπ, gdzie k.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie 3tg(2x+1)=-3.

Rozwiązanie

Przekształcamy równanie do postaci: tg(2x+1)=-3.

Podstawmy z=2x+1, otrzymujemy wówczas równanie tgz=-3.

Znajdujemy jedno rozwiązanie:  z 0 = π 3 .

Zatem rozwiązaniami równania tgz=-3 są: z=-π3+kπ, gdzie k.
Ponieważ z=2x+1, wówczas rozwiązaniami równania są x=-12-π6+kπ2, gdzie k.

Przykład 4

Dla jakich wartości parametru m równanie |tgx|=m2-3m ma dwa rozwiązania w przedziale (-π2,π2).

Rozwiązanie

Zauważmy, że zbiorem wartości funkcji y=|tgx| jest jest przedział 0,+).

Funkcja y=|tgx| wartość 0 przyjmuje tylko dla argumentu 0, natomiast każdą wartość dodatnią przyjmuje dla dwóch argumentów o przeciwnych znakach.

Zatem równanie |tgx|=m2-3m ma dwa rozwiązania w przedziale (-π2,π2) wtedy i tylko wtedy, gdy m2-3m>0.

Rozwiązujemy nierówność kwadratową: m(m-3)>0
otrzymujemy odpowiedź: m(-,0)(3,+).

Słownik

rozwiązanie równania z jedną niewiadomą
rozwiązanie równania z jedną niewiadomą

liczba spełniająca równanie, czyli liczba, która po podstawieniu za zmienną daje równość liczb po prawej i lewej stronie równania.

zbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomą
zbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomą

zbiór liczb spełniających równanie.

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida