Przeczytaj
Rozpoczniemy od omówienia dwóch podstawowych kątów między płaszczyznami, charakterystycznych dla ostrosłupów.
W tych wielościanach wyróżniamy dwa rodzaje ścian:
podstawę,
ścianę boczną.
Dlatego w ostrosłupach możemy definiować dwa rodzaje kątów dwuściennych. Pierwszym z nich jest kąt między płaszczyzną podstawy ostrosłupa a jego ścianą boczną. Drugi kąt, to kąt między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa.
Wykorzystaj poniższy aplet, aby zaobserwować, jak zaznaczyć w ostrosłupie kąt liniowy kąta dwuściennego między płaszczyzną podstawy ostrosłupa i płaszczyzną jego ściany bocznej. Zmieniając aktywne okienko możesz obserwować kąt między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa.
Pamiętaj, że powyższy aplet przedstawia jedynie przykładowy ostrosłup. W zależności od rodzaju ostrosłupa kąt liniowy kąta dwuściennego może być definiowany za pomocą inaczej położonych ramion. Najważniejszym jest to, by zapamiętać, że ramiona takiego kąta muszą być prostopadłe do prostej wspólnej dla płaszczyzn definiujących kąt dwuścienny.
Narysuj ostrosłup prawidłowyostrosłup prawidłowy czworokątny i zaznacz w nim kąt między płaszczyzną podstawy a ścianą boczną ostrosłupa. Wiedząc, że wysokość ostrosłupa jest trzy razy krótsza od wysokości jego ściany bocznej, oblicz miarę kąta liniowego zaznaczonego kąta dwuściennegokąta dwuściennego.
Rozwiązanie:
Zaczniemy oczywiście od rysunku:
Aby zaznaczyć kąt między płaszczyzną podstawy a płaszczyzną ściany bocznej ostrosłupa, określamy najpierw prostą wspólną dla tych dwóch płaszczyzn.
Dla ściany bocznej jest to oczywiście prosta .
Kąt liniowyKąt liniowy naszego kąta dwuściennego można zatem zaznaczyć jako kąt między wysokością ściany bocznej prostopadłą do krawędzi podstawy ostrosłupa a odcinkiem podstawy prostopadłym do tej samej krawędzi.
Aby wyznaczyć miarę tego kąta wystarczy wykorzystać definicję funkcji trygonometrycznej sinus w trójkącie prostokątnym :
Wykorzystując tablice matematyczne możemy podać już miarę kąta, o który pytają w zadaniu: . Odpowiedź jest przybliżona ze względu na wykorzystanie tablic trygonometrycznych.
W zadaniach nie zawsze należy obliczyć miarę kąta dwuściennegomiarę kąta dwuściennego. Niekiedy podaje się pewien kąt w celu zdefiniowania ostrosłupa i dzięki tej informacji oblicza długości elementów ostrosłupa. Najistotniejszą częścią rozwiązania jest wtedy poprawne zaznaczenie opisanego w treści kąta dwuściennego.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o podstawie krawędź podstawy jest równa , a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę . Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa.
Rozwiązanie:
Zacznijmy ponownie od rysunku bryły.
W przypadku ostrosłupa prawidłowego wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.
Stąd długości wysokości oraz ścian bocznych są identyczne.
Ponieważ dodatkowo przekątna kwadratu o boku długości to odcinek o długości , możemy wykorzystać twierdzenie cosinusów, by obliczyć opisaną wcześniej wysokość ściany bocznej.
Wykorzystamy twierdzenie cosinusówtwierdzenie cosinusów w trójkącie :
.
Zauważmy teraz, że trójkąt jest podobny do trójkąta .
Istotnie, oba są trójkątami prostokątnymi o wspólnym kącie ostrym przy wierzchołku .
Wystarczy zatem obliczyć długość odcinka i potem , aby wyznaczyć długość krawędzi bocznej ostrosłupa.
Długość obliczymy z trójkąta prostokątnego :
.
Rozpatrzmy teraz tylko część przekroju ostrosłupa, trójkąt
W tym trójkącie znamy oraz .
Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość :
.
Ostatecznie wykorzystując podobieństwo trójkątów oraz możemy obliczyć długość krawędzi bocznej ostrosłupa:
.
Zgodnie z poleceniem, mamy obliczyć sumę wszystkich krawędzi ostrosłupa. Ponieważ ostrosłup czworokątny ma cztery krawędzie podstawy i cztery krawędzie boczne, otrzymujemy ostateczny wynik:
Zaznaczanie kątów między płaszczyznami w ostrosłupach prawidłowych jest dość powtarzalne. Po rozwiązaniu kilku zadań można zauważyć, że kąt między ścianami bocznymi, to kąt między wysokościami ścian bocznych opuszczonymi na wspólną krawędź tych ścian. Analogicznie kąt między podstawą a ścianą boczną, to kąt między wysokością ściany bocznej opuszczoną na krawędź podstawy a odpowiednim odcinkiem podstawy. Jednak nie zawsze mamy do czynienia z ostrosłupami prawidłowymi. W rozwiązaniu niektórych zadań szczególną uwagę musimy przywiązać do analizy własności ostrosłupa, aby poprawnie zaznaczyć kąt dwuścienny.
Podstawą ostrosłupa jest czworokąt . Wszystkie ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem . Uzasadnij, że spodek wysokości tego ostrosłupa pokrywa się z punktem przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych danego czworokąta.
Rozwiązanie:
Zacznijmy od rysunku:
Przeanalizujemy najpierw kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy ostrosłupa.
Wspólną prostą dla płaszczyzn zawierających te ściany jest prosta .
Prowadzimy płaszczyznę zawierającą wysokość ostrosłupa, prostopadłą do prostej .
Jeżeli punkt będzie spodkiem wysokości ostrosłupa, to otrzymujemy odcinek prostopadły do boku czworokąta podstawy oraz odcinek na ścianie bocznej.
Mamy zatem trójkąt prostokątny , którego kąt wewnętrzny jest kątem liniowym kąta dwuściennegokąta dwuściennego między płaszczyzną podstawy i ścianą boczną ostrosłupa.
Wynika stąd, że .
Analogicznie postępujemy dla kolejnych ścian bocznych ostrosłupa i otrzymujemy podobny wynik.
Jedyną zmienną w powyższej równości jest punkt , który będzie definiowany kolejno jako , , i należał do kolejnych krawędzi podstawy ostrosłupa.
Na rysunku sytuację możemy przedstawić następująco:
Dowodzi to, że spodek wysokości ostrosłupa znajduje się w równej odległości od wszystkich boków czworokąta i odległość ta jest równa .
Oznacza to, że do czworokąta można wpisać okrąg (istnieje punkt równo odległy od wszystkich boków czworokąta). Jak wiadomo, środek tego okręgu jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych czworokąta.
Rozwiązanie ostatniego przykładu wymagało bezpośrednio znajomości definicji kąta dwuściennego.
Warto zauważyć, że podobnie dowodzi się ogólniejsze twierdzenie:
W ostrosłupie wypukłym spodek wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są nachylone pod tym samym kątem do płaszczyzny podstawy.
Twierdzenie to jest często wykorzystywane do rozwiązywania zadań ze stereometrii.
Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny , w którym , . Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem . Uzasadnij, że wysokość tego ostrosłupa wyraża się wzorem .
Rozwiązanie:
Przyjmijmy następujące oznaczenia dla ostrosłupa:
Ponieważ wszystkie ściany boczne są nachylone do podstawy pod tym samym kątem, to w podstawę ostrosłupa można wpisać okrąg, a spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem tego okręgu.
Przeanalizujmy zatem samą podstawę ostrosłupa:
Z warunku czworokąta opisanego na okręgu wynika, że suma ramion trapezu jest równa sumie jego podstaw, stąd:
Jeżeli zauważymy teraz, że gdy podstawa trapezu ma długość oraz odcinek tej podstawy ma długość , to z faktu, że trapez jest równoramienny wynika, że odcinek trapezu ma długość .
Możemy wykorzystać twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta , by obliczyć wysokość trapezu:
Promień okręgu wpisanego w trapez jest połową jego wysokości, zatem:
Ostatecznie wykorzystując w ostrosłupie trójkąt otrzymujemy długość wysokości ostrosłupa:
.
Słownik
każda z dwóch części przestrzeni, na jakie dzielą ją dwie półpłaszczyzny, nazywane ścianami kąta dwuściennego, mające wspólną krawędź nazywaną krawędzią kąta dwuściennego, wraz z punktami każdej półpłaszczyzny
kątem liniowym kąta dwuściennego nazywa się kąt płaski będący częścią wspólną tego kąta dwuściennego oraz płaszczyzny prostopadłej do jego krawędzi
miarą kąta dwuściennego nazywa się miarę jego dowolnego kąta liniowego (wszystkie są przystające)
twierdzenie określające związek między kątem wewnętrznym trójkąta i bokami tego trójkąta:
w dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego z boków jest równy sumie kwadratów długości pozostałych dwóch boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi zawartego
ostrosłupem prawidłowym nazywamy taki ostrosłup prosty, którego podstawa jest wielokątem foremnym