Na podstawie wykresu funkcji $f\left(x\right)=x$ narysuj wykres funkcji $y=-f\left(\left|x\right|\right)+1$.

Rozwiązanie:

1. Rysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=x$.

R18NV8tlSy09a

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres rosnącej funkcji $y=x$. Wykres funkcji stanowi ukośna prosta przechodząca przez punkty $\left(-4;-4\right)$, $\left(0;0\right)$, oraz $\left(4;4\right)$.

2. Rysujemy wykres funkcji $f\left(\left|x\right|\right)=\left|x\right|$. Część wykresu dla $x<0$ otrzymujemy odbijając symetrycznie względem osi $Y$ te części wykresu funkcji $f\left(x\right)=x$, dla których $x⩾0$.

R16LpCXzd4WiI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch ukośnych półprostych. Od lewej mamy ukośną biegnącą od minus nieskończoności przez punkt $\left(-2;2\right)$ o końcu w punkcie $\left(0;0\right)$. Druga półprosta ma swój początek w punkcie $\left(0;0\right)$ i biegnie do plus nieskończoności przez punkt $\left(2;2\right)$.

3. Rysujemy wykres funkcji $-f\left(\left|x\right|\right)=-\left|x\right|$. Odbijamy symetrycznie względem osi $X$ wykres funkcji $f\left(\left|x\right|\right)=\left|x\right|$.

RkIeTUlWTn6me

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch ukośnych półprostych. Od lewej mamy ukośną biegnącą od minus nieskończoności przez punkt $\left(-4;4\right)$ o końcu w punkcie $\left(0;0\right)$. Druga półprosta ma swój początek w punkcie $\left(0;0\right)$ i biegnie do plus nieskończoności przez punkt $\left(4;-4\right)$.

4. Rysujemy wykres funkcji $y=-\left|x\right|+1$. Przesuwamy wykres funkcji $-f\left(\left|x\right|\right)=-\left|x\right|$ względem osi $Y$ o $1$ jednostkę w górę.

RkTVVHH17es5F

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch ukośnych półprostych. Od lewej mamy ukośną biegnącą od minus nieskończoności przez punkt $\left(-4;-3\right)$ o końcu w punkcie $\left(0;1\right)$. Druga półprosta ma swój początek w punkcie $\left(0;1\right)$ i biegnie do plus nieskończoności przez punkt $\left(4;-3\right)$.

Narysuj wykres funkcji $y=-2\left|x\right|+3$.

Rozwiązanie:

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji $y=2x$, $y=2\left|x\right|$, $y=-2\left|x\right|$, $y=-2\left|x\right|+3$.

1. Rysujemy wykres funkcji $y=2x$.

Wartość funkcji dla argumentu $0$ to

$y=2·0=0$

Wartość funkcji dla argumentu $1$ to

$y\left(1\right)=2·1=2$

R14oy5bSc8KSb

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykrea rosnącej funkcji $y=2x$. Wykres funkcji stanowi ukośna prosta przechodząca przez punkty $\left(-2;-4\right)$, $\left(0;0\right)$, oraz $\left(2;4\right)$.

2. Rysujemy wykres funkcji $y=2\left|x\right|$. Część wykresu dla $x<0$ otrzymujemy odbijając symetrycznie względem osi $Y$ te części wykresu funkcji $y=2x$, dla których $x⩾0$.

RYHGCkJ7qBTha

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch ukośnych półprostych. Od lewej mamy ukośną biegnącą od minus nieskończoności przez punkt $\left(-2;4\right)$ o końcu w punkcie $\left(0;0\right)$. Druga półprosta ma swój początek w punkcie $\left(0;0\right)$ i biegnie do plus nieskończoności przez punkt $\left(2;4\right)$.

3. Rysujemy wykres funkcji $y=-2\left|x\right|$. Odbijamy symetrycznie względem osi $X$ wykres funkcji $y=2\left|x\right|$.

R1dCSiSM0bzOq

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch ukośnych półprostych. Od lewej mamy ukośną biegnącą od minus nieskończoności przez punkt $\left(-2;-4\right)$ o końcu w punkcie $\left(0;0\right)$. Druga półprosta ma swój początek w punkcie $\left(0;0\right)$ i biegnie do plus nieskończoności przez punkt $\left(2;-4\right)$.

4. Rysujemy wykres funkcji $y=-2\left|x\right|+3$. Przesuwamy wykres funkcji $y=-\left|x\right|$ względem osi $Y$ o $3$ jednostki w górę.

R1JJgiuCKKucM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch ukośnych półprostych. Od lewej mamy ukośną biegnącą od minus nieskończoności przez punkt $\left(-2;-1\right)$ o końcu w punkcie $\left(0;3\right)$. Druga półprosta ma swój początek w punkcie $\left(0;3\right)$ i biegnie do plus nieskończoności przez punkt $\left(2;-1\right)$.

Na podstawie wykresu funkcji $f\left(x\right)=-\left(x+2\right)x$

R1Dvm4TJqFinb

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę, której ramiona skierowane są w dół. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych $\left(-1;1\right)$. Funkcja przecina oś $X$ w punkcie $\left(-2;0\right)$, oraz $\left(0;0\right)$.

narysuj wykres funkcji $y=-f\left(\left|x\right|\right)-1$, a następnie odczytaj z wykresu dziedzinę i zbiór wartości otrzymanej funkcji.

Rozwiązanie:

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji $y=-\left(\left|x\right|+2\right)\left|x\right|$, $y=-\left(-\left(\left|x\right|+2\right)\left|x\right|\right)$, $y=\left(\left|x\right|+2\right)\left|x\right|-1$.

1. Rysujemy wykres funkcji $y=-\left(\left|x\right|+2\right)\left|x\right|$. Część wykresu dla $x<0$ otrzymujemy odbijając symetrycznie względem osi $Y$ te części wykresu funkcji $y=-\left(x+2\right)x$, dla których $x⩾0$.

R14ysyYgK2QC9

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres, składający się z dwóch ukośnych, delikatnie zakrzywionych linii. Od lewej mamy ukośną biegnącą od minus nieskończoności, przez punkt $\left(-2;-3\right)$, o końcu w punkcie $\left(0;0\right)$. Druga ukośna ma początek w punkcie $\left(0;0\right)$ i biegnie do plus nieskończoności przez punkt $\left(1;-3\right)$.

2. Rysujemy wykres funkcji $y=-\left(-\left(\left|x\right|+2\right)\left|x\right|\right)=\left(\left|x\right|+2\right)\left|x\right|$. Odbijamy symetrycznie względem osi $X$ wykres funkcji $y=-\left(\left|x\right|+2\right)\left|x\right|$.

RHHqFGBQksnfl

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres, składający się z dwóch ukośnych, delikatnie zakrzywionych linii. Od lewej mamy ukośną biegnącą od minus nieskończoności, przez punkt $\left(-1;3\right)$, o końcu w punkcie $\left(0;0\right)$. Druga ukośna ma początek w punkcie $\left(0;0\right)$ i biegnie do plus nieskończoności przez punkt $\left(1;3\right)$.

3. Rysujemy wykres funkcji $y=\left(\left|x\right|+2\right)\left|x\right|-1$. Przesuwamy wykres funkcji $y=\left(\left|x\right|+2\right)\left|x\right|$ względem osi $Y$ o $1$ jednostkę w dół.

RbsHTBiT6m8cQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres, składający się z dwóch ukośnych, delikatnie zakrzywionych linii. Od lewej mamy ukośną biegnącą od minus nieskończoności, przez punkt $\left(-1;2\right)$, o końcu w punkcie $\left(0;-1\right)$. Druga ukośna ma początek w punkcie $\left(0;-1\right)$ i biegnie do plus nieskończoności przez punkt $\left(2;1\right)$.

Odczytujemy z wykresu:

• dziedzinaDziedzina funkcjidziedzina: $D=\mathrm{ℝ}$,

• zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbiór wartości funkcji: $ZW=\left.⟨-1,\infty \right)$.

Na podstawie wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$

R1lQ9TeICwSIE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Asymptotą pionową funkcji jest prosta $x=-1$. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji. Wykresem funkcji jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych względem asymptoty $x=-1$. Wykres przechodzi przez punkty o współrzędnych $\left(0;1\right)$, oraz $\left(-2;-1\right)$.

narysuj wykres funkcji $y=-f\left(\left|x\right|\right)+1$, a następnie odczytaj z wykresu dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji.

Rozwiązanie:

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji $y=\frac{1}{\left|x\right|+1}$, $y=-\frac{1}{\left|x\right|+1}$, $y=-\frac{1}{\left|x\right|+1}+1$.

1. Rysujemy wykres funkcji $y=\frac{1}{\left|x\right|+1}$. Część wykresu dla $x<0$ otrzymujemy odbijając symetrycznie względem osi $Y$ części wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$, dla których $x⩾0$.

RJZxl1r4XRqcE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres, składający się z dwóch, delikatnie zakrzywionych linii. Znajduje się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Zaznaczono asymptotę poziomą $y=0$. Od lewej mamy krzywą biegnącą od minus nieskończoności, wypłaszczoną do osi $X$, kończącą się w punkcie $\left(0;1\right)$. Druga krzywa ma początek w punkcie $\left(0;1\right)$ i wypłaszcza się do osi $X$, biegnąc do plus nieskończoności.

2. Rysujemy wykres funkcji $y=-\frac{1}{\left|x\right|+1}$. Odbijamy symetrycznie względem osi $X$ wykres funkcji $y=\frac{1}{\left|x\right|+1}$.

R1DJ9zxbaycKt

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Zaznaczono asymptotę poziomą $y=0$. Na płaszczyźnie narysowano wykres, składający się z dwóch, delikatnie zakrzywionych linii. Znajduje się w trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Od lewej mamy krzywą biegnącą od minus nieskończoności, wypłaszczoną do osi $X$, kończącą się w punkcie $\left(0;-1\right)$. Druga krzywa ma początek w punkcie $\left(0;-1\right)$ i wypłaszcza się do osi $X$, biegnąc do plus nieskończoności.

3. Rysujemy wykres funkcji $y=-\frac{1}{\left|x\right|+1}+1$. Przesuwamy wykres funkcji $y=-\frac{1}{\left|x\right|+1}$ względem osi $Y$ o $1$ jednostkę w górę.

R14lIGs1SZkbH

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres, składający się z dwóch, delikatnie zakrzywionych linii. Zaznaczono asymptotę poziomą $y=1$. Wykres znajduje się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Krzywa biegnie od minus nieskończoności, wypłaszczona do asymptoty poziomej i kończy się w punkcie $\left(0;0\right)$. Druga krzywa ma początek w punkcie $\left(0;0\right)$ i biegnie do plus nieskończoności, wypłaszczając się do asymptoty poziomej.

Odczytujemy z wykresu:

• dziedzinaDziedzina funkcjidziedzina: $D=\mathrm{ℝ}$,

• zbiór wartości funkcji:zbiór wartości funkcji liczbowejzbiór wartości funkcji: $ZW=\left.⟨0,1\right)$.

dziedzina funkcji liczbowej określonej wzorem w postaci wyrażenia algebraicznego – zbiór wszystkich liczb, dla których  wzór funkcji ma sens liczbowy

zbiór wszystkich  liczb, które może przybierać zmienna zależna $y$ danej funkcji $f\left(x\right)$