Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunek $\left|x-4\right|<2$.

Warunek ten spełniają wszystkie liczby rzeczywiste $x$, których odległość od liczby $4$ jest mniejsza od $2$.

R1UznTe7z99sQ

Ilustracja przedstawia oś X z opisanymi wartościami od minus siedem do siedem. Zaznaczono za pomocą pustych kropek zbiór od dwa do sześć oraz za pomocą pełnej kropki punkt cztery wewnątrz zbioru. Nad zbiorem od punktu cztery w lewo narysowano strzałkę z podpisem minus dwa a w prawą stronę od punktu cztery strzałkę opisano jako dodać dwa.

Rozwiązaniem nierówności $\left|x-4\right|<2$ jest przedział otwarty $\left(2, 6\right)$.

Zwróć uwagę, że liczby $2$ oraz $6$ nie należą do tego przedziału, ponieważ ich odległość od liczby cztery jest równa $2$.

Rozwiąż nierówność $\left|x-3\right|\le 4$. Zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej i zapisz za pomocą przedziału.

Warunek ten spełniają wszystkie liczby rzeczywiste $x$, których odległość od liczby $3$ jest równa $4$ oraz te, których ta odległość jest mniejsza od $4$.

R2ha3aFCUx1TV

Ilustracja przedstawia oś X z opisanymi wartościami od minus siedem do siedem. Zaznaczono za pomocą pełnych kropek zbiór od minus jeden do siedem oraz za pomocą pełnej kropki punkt trzy wewnątrz zbioru. Nad zbiorem od punktu trzy w lewo narysowano strzałkę z podpisem minus cztery a w prawą stronę od punktu trzy strzałkę opisano jako dodać cztery.

Rozwiązaniem nierówności $\left|x-3\right|\le 4$ jest przedział domknięty $⟨-1, 7⟩$.

Liczby $-1$ oraz $7$ należą do tego przedziału.

Rozwiąż nierówność $\left|x+2\right|\le 3$. Zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej i zapisz za pomocą przedziału.

Aby różnica pod modułem była widoczna, możemy zapisać powyższą nierówność następująco:

$\left|x-\left(-2\right)\right|\le 3$

A zatem ten warunek jest spełniony przez wszystkie liczby rzeczywiste $x$, których odległość od liczby $\left(-2\right)$ jest równa $3$ oraz te, których ta odległość jest mniejsza od $3$.

RMH0kH2Ox9nSG

Ilustracja przedstawia oś X z opisanymi wartościami od minus siedem do siedem. Zaznaczono za pomocą pełnych kropek zbiór od pięć jeden do jeden oraz za pomocą pełnej kropki punkt minus dwa wewnątrz zbioru. Nad zbiorem od punktu minus dwa w lewo jest minus trzy a w prawą stronę od punktu minus dwa dodać trzy.

Rozwiązaniem nierówności $\left|x+2\right|\le 3$ jest przedział domknięty $⟨-5, 1⟩$.

Przypomnij sobie jak wyglądają wykresy funkcji, we wzorze których pojawia się symbol modułu. Przeanalizuj poniższe przykłady.

Rqmo4S5NgPwrA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziesięciu do dziesięciu z podziałką co dwa oraz z pionowej osi Y od minus czterech do ośmiu z podziałką co dwa. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch ukośnych półprostych. Pierwsza ukośna biegnie w drugiej ćwiartce od minus nieskończoności do środka układu współrzędnych. Z punktu $(0, 0)$ biegnie druga półprosta, która w całości znajduje się w pierwszej ćwiartce, biegnie ona do plus nieskończoności.

R1SFRwJPRJxf8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziesięciu do dziesięciu z podziałką co dwa oraz z pionowej osi Y od minus czterech do ośmiu z podziałką co dwa. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch ukośnych półprostych. Pierwsza ukośna znajduje się w drugiej i częściowo w pierwszej ćwiartce układu. Biegnie ona od minus nieskończoności do punktu $(2, 0)$ i przecina oś w punkcie $(0,2)$. Z punktu $(2, 0)$ do plus nieskończoności biegnie druga półprosta, znajduje się ona w całości w pierwszej ćwiartce.

RnHYOEW2OIjgh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziesięciu do dziesięciu z podziałką co dwa oraz z pionowej osi Y od minus czterech do ośmiu z podziałką co dwa. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch ukośnych półprostych. Pierwsza ukośna biegnie w drugiej ćwiartce od minus nieskończoności do punktu $\left(-2;0\right)$. Z tego punktu biegnie druga półprosta przebiegająca przez drugą i pierwszą ćwiartkę oraz przecina pionową oś w wyróżnionym punkcie $\left(0;2\right)$.

Rozwiąż graficznie nierówność $\left|x-1\right|\le 5$. Zapisz rozwiązanie za pomocą przedziału.

Rysujemy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji $f\left(x\right)=5$ oraz $g\left(x\right)=\left|x-1\right|$.

R1ZThg3KaWuOp

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu z podziałką co jeden oraz z pionowej osi Y od minus dwóch do siedmiu z podziałką co jeden. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy: wykres funkcji g składający się z dwóch ukośnych półprostych oraz wykres funkcji f będący prostą równoległą do osi x. Pierwsza ukośna wykresu funkcji g biegnie przez pierwszą oraz drugą ćwiartkę, od minus nieskończoności, przez punkt $(0,1)$do punktu $(1,0)$. Z tego punktu do plus nieskończoności biegnie druga półprosta przebiegająca przez pierwszą ćwiartkę. Wykres funkcji f jest prostą równoległą do osi x i przecina oś y  punkcie $(5,0)$.

Odczytujemy z wykresu w jakim przedziale, wartości funkcji $g$ są równe wartościom funkcji $f$ lub od nich mniejsze.

R198s3vR47rLV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu z podziałką co jeden oraz z pionowej osi Y od minus dwóch do siedmiu z podziałką co jeden. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy: wykres funkcji g składający się z dwóch ukośnych półprostych oraz wykres funkcji f będący prostą równoległą do osi x. Pierwsza ukośna wykresu funkcji g biegnie przez pierwszą oraz drugą ćwiartkę, od minus nieskończoności, przez punkt $(0,1)$do punktu $(1,0)$. Z tego punktu do plus nieskończoności biegnie druga półprosta przebiegająca przez pierwszą ćwiartkę. Wykres funkcji f jest prostą równoległą do osi x i przecina oś y  punkcie $(5,0)$. Część wykresu funkcji g znajdująca się pod wykresem funkcji f została zaznaczona na kolor zielony. Z punktów, w których przecinają się wykresy, czyli kolejno: $(-4,5)$ i $(6,5)$ poprowadzone zostały linie przerywane łączące te punkty z osią x. Na osi x zaznaczony został obszar od minus 4 do 6, przy czym zarówno wartość minus 4 i 6 są oznaczone zamalowaną kropką.

Rozwiązaniem nierówności $\left|x-1\right|\le 5$ jest przedział domknięty $⟨-4, 6⟩$.

wartość bezwzględna różnicy współrzędnych tych punków $\left|x_1-x_2\right|$