Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Zbiór liczb rzeczywistych złożony jest ze wszystkich liczb wymiernych i wszystkich liczb niewymiernych.

Oznaczamy go symbolem , który pochodzi od pierwszej litery angielskiego słowa real, oznaczającego rzeczywisty, realny.

“Najmniejszym” w sensie zawierania jest zbiór liczb naturalnych.

Liczby całkowite możemy skonstruować z liczb naturalnych: wystarczy do liczb naturalnych dodać liczby do nich przeciwne.

Liczby wymierne powstają jako ilorazy liczb całkowitych przy założeniu że dzielnik nie jest równy 0.

Liczby niewymierne “dopełniają” zbiór liczb wymiernych do całej osi liczbowej.

Zbiór liczb wymiernych i zbiór liczb niewymiernych nie mają wspólnych elementów, ale razem tworzą zbiór liczb rzeczywistych. Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować dokładnie jeden punkt na osi liczbowej i odwrotnie każdy punkt osi odpowiada jednej liczbie rzeczywistej.

Na podstawie powyższych faktów możemy sporządzić rysunek:

RmnjgMTb9SVlz
Ciekawostka

Jako ciekawostkę podamy fakt, że liczb naturalnych jest dokładnie tyle samo co liczb całkowitych i dokładnie tyle samo co liczb wymiernych.

Liczb niewymiernych jest “więcej” niż liczb wymiernych. Wydawać by się mogło, że skoro każdy z omawianych zbiorów jest nieskończony, to wszystkie mają tyle samo elementów – nieskończenie wiele. Okazuje się jednak, że istnieją różne nieskończoności, a bada je dział matematyki o nazwie teoria mnogości.

Sformułowanie “w zbiorze A jest tyle samo elementów co w zbiorze B” oznacza tu, że każdemu elementowi zbioru A możemy przyporządkować dokładnie jeden element ze zbioru B i odwrotnie – każdemy elementowie ze zbioru B możemy przyporządkować dokładnie jeden element ze zbioru A.

Innymi słowy elementy zbiorów AB możemy połączyć w pary. Jeżeli w żadnym ze zbiorów nie zostanie element bez pary, to zbiory mają tyle samo elementów. Jeżeli w jednym ze zbiorów wykorzystamy wszystkie elementy, a w drugim zostaną elementy bez pary, to powiemy, że w tym drugim elementów jest więcej.

Aby pokazać, że w zbiorze liczb całkowitych jest tyle samo elementów, co w zbiorze liczb naturalnych ustawmy liczby całkowite w nieskończony ciąg o wyrazach np. 0,-1, 1,-2, 2,-3, 3,-4, 4,.... Zauważmy, że każda liczba całkowita pojawi się w nim dokładnie jeden raz, co oznacza że jest ich tyle ile liczb naturalnych. Na tej samej zasadzie można pokazać, że liczb wymiernych jest tyle samo, co liczb naturalnych ustawiając liczby wymierne w ciąg o niepowtarzających się wyrazach.

Własność trychotomii
Własność: Własność trychotomii

Jeśli xy są liczbami rzeczywistymi, to zachodzi dokładnie jedna z trzech możliwości:

albo x<y, albo x=y, albo x>y.

Innymi słowy własność trychotomii orzeka, że dowolne dwie liczby rzeczywiste można porównać.

Prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych
Prawo: Prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych

Dla porządku przypomnijmy podstawowe prawa działań na liczbach rzeczywistych:

  1. zbiórzbiór zamknięty na działaniezbiór liczb rzeczywistych jest zamknięty na dodawanie, mnożenie, odejmowanie i dzieleniezbiór zamknięty na działaniezamknięty na dodawanie, mnożenie, odejmowanie i dzielenie (poza dzieleniem przez zero);

  2. dodawanie jest łącznedziałanie łącznedodawanie jest łączne;

  3. liczba 0 jest elementem neutralnym dodawaniaelement neutralny działaniaelementem neutralnym dodawania;

  4. każda liczba rzeczywista x posiada dokładnie jedną liczbę przeciwną -x;

  5. dodawanie jest przemienne;

  6. mnożenie jest łącznedziałanie łącznemnożenie jest łączne;

  7. liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia;

  8. mnożenie jest przemiennedziałanie przemiennemnożenie jest przemienne;

  9. mnożenie jest rozdzielne względem dodawania;

  10. każda niezerowa liczba rzeczywista x posiada dokładnie jedną liczbę rzeczywistą odwrotną 1x.

Przykład 1

Liczbą przeciwnąliczba przeciwnaLiczbą przeciwną do liczby x=2-32 jest liczba -x=-2-32=-2+32=32-2.

Liczbą odwrotnąliczba odwrotnaLiczbą odwrotną do liczby x=32 jest liczba 1x=132=23=2333=233.

Przykład 2

Zauważmy, że:

32=9=3

-32=9=3

52=25=5

-52=25=5

2-12=2-1

1-22=-1-2=-1+2=2-1 (liczba 1-2 jest ujemna, zaś wynik pierwiastkowania z definicji jest nieujemny – liczba 2-1 jest przeciwna do 1-2 i dodatnia, więc to ona jest wynikiem tego działania)

5-22=5-2

2-52=-2-5=-2+5=5-2 (liczba 2-5 jest ujemna, zaś wynik pierwiastkowania z definicji jest nieujemny – liczba 5-2 jest przeciwna do 2-5 i dodatnia, więc to ona jest wynikiem tego działania)

Ale

233=83=2

-233=-83=-2

533=1253=5

-533=-1253=-5

3-133=3-1

1-333=1-3

7-233=7-2

2-733=2-7

Przykład 3

Wykonamy mnożenie, dodawanie i odejmowanie liczb x=15-1 oraz y=15+1.

a) xy=15-115+1

Aby pomnożyć te liczby, wystarczy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego oraz mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego. Otrzymane iloczyny stają się odpowiednio licznikiem i mianownikiem iloczynu liczb xy.

15-115+1=15-15+1=15+5-5-1=14

b) x+y=15-1+15+1

Aby dodać te liczby, sprowadzamy je do wspólnego mianownika. W tym celu pierwszy składnik rozszerzamy przez 5+15+1, zaś drugi przez 5-15-1:

15-15+15+1+15+15-15-1=5+15-15+1+5-15+15-1=

=5+15-5+5-1+5-15+5-5-1=5+14+5-14=

=5+1+5-14=254=52

c) x-y=15-1-15+1

Aby odjąć te liczby, sprowadzamy je do wspólnego mianownika. W tym celu pierwszy składnik rozszerzamy przez 5+15+1, zaś drugi przez 5-15-1:

15-15+15+1-15+15-15-1=5+15-15+1-5-15+15-1=

=5+15-5+5-1-5-15+5-5-1=5+14-5-14=

=5+1-5+14=24=12

Przykład 4

Wykonamy działania

1+25144=144144+25144=169144=1312

459-1=459-99=369=4=2

122+162=144+256=400=20

152-92=225-81=144=12

Przykład 5

Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania)rozdzielność działania * względem działania #rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania) opuścimy nawiasy:

2·2+3=22+32=2+32

2·6+8=26+28=12+16=

=43+4=43+4=23+4

3·6-3=36-33=36-33=18-9=

92-9=92-3=32-3

Przykład 6

Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania wyłączymy wspólny czynnik przed nawias.

10+15=52+53=52+53=5·2+3

10+10=100+10=1010+10=

=1010+10=10·10+1

12-4=43-4=43-4=23-22=2·3-2

Słownik

zbiór zamknięty na działanie
zbiór zamknięty na działanie

mówimy, że zbiór A jest zamknięty na działanie (*), gdy dla dowolnych elementów x, y należących do zbioru A element (x * y) również należy do zbioru A

działanie łączne
działanie łączne

mówimy, że działanie (*) jest łączne, gdy dla dowolnych elementów x, y, z zachodzi równość (x * y) * z = x * (y * z)

element neutralny działania
element neutralny działania

mówimy, że element e jest elementem neutralnym działania (*), jeśli dla dowolnego elementu x zachodzi warunek x * e = e * x = x

liczba przeciwna
liczba przeciwna

mówimy, że liczba a jest przeciwna do liczby b, gdy a+b=0; możemy tez powiedzieć, że liczby ab są wzajemnie przeciwne

liczba odwrotna
liczba odwrotna

mówimy, że niezerowa liczba a jest odwrotna do niezerowej liczby b, gdy ab=1

działanie przemienne
działanie przemienne

mówimy, że działanie (*) jest przemienne, gdy dla dowolnych elementów x, y zachodzi równość x * y = y * x

rozdzielność działania * względem działania #
rozdzielność działania * względem działania #

mówimy, że działanie (*) jest rozdzielne względem działania #, gdy dla dowolnych elementów x, y, z zachodzi równość x * (y # z) = (x * y) # (x * z)

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida