Przeczytaj

Zbiór liczb rzeczywistych złożony jest ze wszystkich liczb wymiernych i wszystkich liczb niewymiernych.

Oznaczamy go symbolem $ℝ$ , który pochodzi od pierwszej litery angielskiego słowa real, oznaczającego rzeczywisty, realny.

“Najmniejszym” w sensie zawierania jest zbiór liczb naturalnych.

Liczby całkowite możemy skonstruować z liczb naturalnych: wystarczy do liczb naturalnych dodać liczby do nich przeciwne.

Liczby wymierne powstają jako ilorazy liczb całkowitych przy założeniu że dzielnik nie jest równy $0$ .

Liczby niewymierne “dopełniają” zbiór liczb wymiernych do całej osi liczbowej.

Zbiór liczb wymiernych i zbiór liczb niewymiernych nie mają wspólnych elementów, ale razem tworzą zbiór liczb rzeczywistych. Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować dokładnie jeden punkt na osi liczbowej i odwrotnie każdy punkt osi odpowiada jednej liczbie rzeczywistej.

Na podstawie powyższych faktów możemy sporządzić rysunek:

RmnjgMTb9SVlz

Ilustracja przedstawia graficzną interpretację zbiorów liczb jako elipsy zawierające się w kolejnych elpisach. Największtm zbiorem jest tu zbiór liczb rzeczywistych oznaczny jako jako wielka podwójna litera R. Zbiór ten dzieli się na rozłączne podzbiory: liczb wymiernych oznaczonych podwójną wielką literą Q oraz liczb niewymiernych, oznaczonych wielkimi podwójnymi literami R odjąć Q, przy czym odjąć jest różnicą zbiorów, czyli ukośnikiem. Zbiór liczb niewymiernych nie ma dalszych podzbiorów, natomiast zbiór liczb wymiernych zawiera podzbiór liczb całkowitych oznaczonych podwójną wielką literą Z, a jego podzbiorem z kolei jest zbiór liczb naturalnych oznaczonych wielką podwójna literą N.

Ciekawostka

Jako ciekawostkę podamy fakt, że liczb naturalnych jest dokładnie tyle samo co liczb całkowitych i dokładnie tyle samo co liczb wymiernych.

Liczb niewymiernych jest “więcej” niż liczb wymiernych. Wydawać by się mogło, że skoro każdy z omawianych zbiorów jest nieskończony, to wszystkie mają tyle samo elementów – nieskończenie wiele. Okazuje się jednak, że istnieją różne nieskończoności, a bada je dział matematyki o nazwie teoria mnogości.

Sformułowanie “w zbiorze $A$ jest tyle samo elementów co w zbiorze $B$ ” oznacza tu, że każdemu elementowi zbioru $A$ możemy przyporządkować dokładnie jeden element ze zbioru $B$ i odwrotnie – każdemy elementowie ze zbioru $B$ możemy przyporządkować dokładnie jeden element ze zbioru $A$ .

Innymi słowy elementy zbiorów $A$ i $B$ możemy połączyć w pary. Jeżeli w żadnym ze zbiorów nie zostanie element bez pary, to zbiory mają tyle samo elementów. Jeżeli w jednym ze zbiorów wykorzystamy wszystkie elementy, a w drugim zostaną elementy bez pary, to powiemy, że w tym drugim elementów jest więcej.

Aby pokazać, że w zbiorze liczb całkowitych jest tyle samo elementów, co w zbiorze liczb naturalnych ustawmy liczby całkowite w nieskończony ciąg o wyrazach np. $0, - 1, 1, - 2, 2, - 3, 3, - 4, 4, . . .$ . Zauważmy, że każda liczba całkowita pojawi się w nim dokładnie jeden raz, co oznacza że jest ich tyle ile liczb naturalnych. Na tej samej zasadzie można pokazać, że liczb wymiernych jest tyle samo, co liczb naturalnych ustawiając liczby wymierne w ciąg o niepowtarzających się wyrazach.

Własność trychotomii

Własność: Własność trychotomii

Jeśli $x$ i $y$ są liczbami rzeczywistymi, to zachodzi dokładnie jedna z trzech możliwości:

albo $x < y$ , albo $x = y$ , albo $x > y$ .

Innymi słowy własność trychotomii orzeka, że dowolne dwie liczby rzeczywiste można porównać.

Prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych

Prawo: Prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych

Dla porządku przypomnijmy podstawowe prawa działań na liczbach rzeczywistych:

zbiórzbiór zamknięty na działaniezbiór liczb rzeczywistych jest zamknięty na dodawanie, mnożenie, odejmowanie i dzieleniezbiór zamknięty na działaniezamknięty na dodawanie, mnożenie, odejmowanie i dzielenie (poza dzieleniem przez zero);
dodawanie jest łącznedziałanie łącznedodawanie jest łączne;
liczba $0$ jest elementem neutralnym dodawaniaelement neutralny działaniaelementem neutralnym dodawania;
każda liczba rzeczywista $x$ posiada dokładnie jedną liczbę przeciwną $(- x)$ ;
dodawanie jest przemienne;
mnożenie jest łącznedziałanie łącznemnożenie jest łączne;
liczba $1$ jest elementem neutralnym mnożenia;
mnożenie jest przemiennedziałanie przemiennemnożenie jest przemienne;
mnożenie jest rozdzielne względem dodawania;
każda niezerowa liczba rzeczywista $x$ posiada dokładnie jedną liczbę rzeczywistą odwrotną $\frac{1}{x}$ .

Przykład 1

Liczbą przeciwnąliczba przeciwnaLiczbą przeciwną do liczby $x = 2 - 3 \sqrt{2}$ jest liczba $- x = - (2 - 3 \sqrt{2}) = - 2 + 3 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} - 2$ .

Liczbą odwrotnąliczba odwrotnaLiczbą odwrotną do liczby $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ jest liczba $\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Przykład 2

Zauważmy, że:

$\sqrt{3^{2}} = \sqrt{9} = 3$

$\sqrt{{(- 3)}^{2}} = \sqrt{9} = 3$

$\sqrt{5^{2}} = \sqrt{25} = 5$

$\sqrt{{(- 5)}^{2}} = \sqrt{25} = 5$

$\sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} = \sqrt{2} - 1$

$\sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} = - (1 - \sqrt{2}) = - 1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$ (liczba $1 - \sqrt{2}$ jest ujemna, zaś wynik pierwiastkowania z definicji jest nieujemny – liczba $\sqrt{2} - 1$ jest przeciwna do $1 - \sqrt{2}$ i dodatnia, więc to ona jest wynikiem tego działania)

$\sqrt{{(\sqrt{5} - 2)}^{2}} = \sqrt{5} - 2$

$\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} = - (2 - \sqrt{5}) = - 2 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 2$ (liczba $2 - \sqrt{5}$ jest ujemna, zaś wynik pierwiastkowania z definicji jest nieujemny – liczba $\sqrt{5} - 2$ jest przeciwna do $2 - \sqrt{5}$ i dodatnia, więc to ona jest wynikiem tego działania)

Ale

$\sqrt[3]{2^{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$

$\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} = \sqrt[3]{- 8} = - 2$

$\sqrt[3]{5^{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$

$\sqrt[3]{{(- 5)}^{3}} = \sqrt[3]{- 125} = - 5$

$\sqrt[3]{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}} = \sqrt{3} - 1$

$\sqrt[3]{{(1 - \sqrt{3})}^{3}} = 1 - \sqrt{3}$

$\sqrt[3]{{(\sqrt{7} - 2)}^{3}} = \sqrt{7} - 2$

$\sqrt[3]{{(2 - \sqrt{7})}^{3}} = 2 - \sqrt{7}$

Przykład 3

Wykonamy mnożenie, dodawanie i odejmowanie liczb $x = \frac{1}{\sqrt{5} - 1}$ oraz $y = \frac{1}{\sqrt{5} + 1}$ .

a) $x \cdot y = \frac{1}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{5} + 1}$

Aby pomnożyć te liczby, wystarczy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego oraz mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego. Otrzymane iloczyny stają się odpowiednio licznikiem i mianownikiem iloczynu liczb $x$ i $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{1}{(\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1)} = \frac{1}{5 + \sqrt{5} - \sqrt{5} - 1} = \frac{1}{4}$

b) $x + y = \frac{1}{\sqrt{5} - 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + 1}$

Aby dodać te liczby, sprowadzamy je do wspólnego mianownika. W tym celu pierwszy składnik rozszerzamy przez $\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1}$ , zaś drugi przez $\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1}$ :

$\frac{1}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + 1} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1)} + \frac{\sqrt{5} - 1}{(\sqrt{5} + 1) (\sqrt{5} - 1)} =$

$= \frac{\sqrt{5} + 1}{5 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1} + \frac{\sqrt{5} - 1}{5 + \sqrt{5} - \sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} + \frac{\sqrt{5} - 1}{4} =$

$= \frac{\sqrt{5} + 1 + \sqrt{5} - 1}{4} = \frac{2 \sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

c) $x - y = \frac{1}{\sqrt{5} - 1} - \frac{1}{\sqrt{5} + 1}$

Aby odjąć te liczby, sprowadzamy je do wspólnego mianownika. W tym celu pierwszy składnik rozszerzamy przez $\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1}$ , zaś drugi przez $\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1}$ :

$\frac{1}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} - \frac{1}{\sqrt{5} + 1} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1)} - \frac{\sqrt{5} - 1}{(\sqrt{5} + 1) (\sqrt{5} - 1)} =$

$= \frac{\sqrt{5} + 1}{5 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1} - \frac{\sqrt{5} - 1}{5 + \sqrt{5} - \sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} - \frac{\sqrt{5} - 1}{4} =$

$= \frac{\sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Przykład 4

Wykonamy działania

$\sqrt{1 + \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{144}{144} + \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{169}{144}} = \frac{13}{12}$

$\sqrt{\frac{45}{9} - 1} = \sqrt{\frac{45}{9} - \frac{9}{9}} = \sqrt{\frac{36}{9}} = \sqrt{4} = 2$

$\sqrt{12^{2} + 16^{2}} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$

$\sqrt{15^{2} - 9^{2}} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$

Przykład 5

Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania)rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania) opuścimy nawiasy:

$\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} + 3) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot \sqrt{2} = 2 + 3 \sqrt{2}$

$\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{8}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{12} + \sqrt{16} =$

$= \sqrt{4 \cdot 3} + 4 = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} + 4 = 2 \sqrt{3} + 4$

$\sqrt{3} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3 \cdot 6} - \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{18} - \sqrt{9} =$

$\sqrt{9 \cdot 2} - \sqrt{9} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} - 3 = 3 \sqrt{2} - 3$

Przykład 6

Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania wyłączymy wspólny czynnik przed nawias.

$\sqrt{10} + \sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 2} + \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5} \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3})$

$10 + \sqrt{10} = \sqrt{100} + \sqrt{10} = \sqrt{10 \cdot 10} + \sqrt{10} =$

$= \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} + \sqrt{10} = \sqrt{10} \cdot (\sqrt{10} + 1)$

$\sqrt{12} - 4 = \sqrt{4 \cdot 3} - 4 = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} - 4 = 2 \sqrt{3} - 2 \cdot 2 = 2 \cdot (\sqrt{3} - 2)$

Słownik

zbiór zamknięty na działanie

mówimy, że zbiór $A$ jest zamknięty na działanie (*), gdy dla dowolnych elementów $x$ , $y$ należących do zbioru $A$ element ( $x$ * $y$ ) również należy do zbioru $A$

działanie łączne

mówimy, że działanie (*) jest łączne, gdy dla dowolnych elementów $x$ , $y$ , $z$ zachodzi równość ( $x$ * $y$ ) * $z$ = $x$ * ( $y$ * $z$ )

element neutralny działania

mówimy, że element $e$ jest elementem neutralnym działania (*), jeśli dla dowolnego elementu $x$ zachodzi warunek $x$ * $e$ = $e$ * $x$ = $x$

liczba przeciwna

mówimy, że liczba $a$ jest przeciwna do liczby $b$ , gdy $a + b = 0$ ; możemy tez powiedzieć, że liczby $a$ i $b$ są wzajemnie przeciwne

liczba odwrotna

mówimy, że niezerowa liczba $a$ jest odwrotna do niezerowej liczby $b$ , gdy $a \cdot b = 1$

działanie przemienne

mówimy, że działanie (*) jest przemienne, gdy dla dowolnych elementów $x$ , $y$ zachodzi równość $x$ * $y$ = $y$ * $x$

rozdzielność działania * względem działania #

mówimy, że działanie (*) jest rozdzielne względem działania #, gdy dla dowolnych elementów $x$ , $y$ , $z$ zachodzi równość $x$ * ( $y$ # $z$ ) = ( $x$ * $y$ ) # ( $x$ * $z$ )

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Słownik