Ilustracja przedstawia elipsę reprezentującą zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ zawierający następujące podzbiory: zbiór liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ oraz niewymiernych. Podzbiorem liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ jest zbiór liczb całkowitych $\mathbb{Z}$, a podzbiorem liczb całkowitych $\mathbb{Z}$ jest z kolei zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}$. Liczby naturalne odpowiadają na pytanie, ile elementów ma dany zbiór skończony? Na przykład liczba słoni w piwnicy zwykle jest równa zero, liczba nauczycieli podczas lekcji najczęściej jest równa jeden, liczba miejsc siedzących w przedziale pociągu to sześć. W przypadku pytań dotyczącej przyrody, rzadko podajemy odpowiedź wyrażającą się liczbą inną, niż naturalna: na drzewie rośnie "naturalna" liczba jabłek, stado antylop składa się z naturalnej liczby osobników, i tak dalej. Zbiór liczb naturalnych można zapisać następująco: $\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,...,\mathrm{100,101},...\right\}$. Rysunek ilustrujący zbiór liczb naturalnych przedstawia trzy okręgi reprezentujące zbiory. Rysunek zatytułowany jest "Liczby określające, ile elementów ma dany zbiór". Zbiór pierwszy to okrąg zawierający pięć prostokątów i podpisany jest liczbą naturalną pięć. Drugi zbiór to okrąg zawierający osiem małych okręgów i jest podpisany liczbą naturalną osiem. Zbiór trzeci to pusty okrąg podpisany liczbą naturalną zero. Przejdźmy teraz do zbioru liczb całkowitych. Jeśli do liczb naturalnych dołączymy do nich przeciwne, czyli liczby ujemne, otrzymamy zbiór liczb całkowitych. Liczby ujemne mają zastosowanie, kiedy chcemy wyrazić matematycznie brak czegoś, na przykład brak ciepła można określić przy pomocy temperatury ujemnej. Zbiór liczb całkowitych ma następującą postać: $\left\{...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\right\}$. Ilustracja przedstawiająca przykład zastosowania liczb całkowitych. Na rysunku znajduje się termometr, a obok niego zapisana jest temperatura, którą wskazuje, czyli minus siedem stopni Celsjusza. Przejdźmy teraz do zbioru liczb wymiernych. Liczbami wymiernymi są na przykład $-4;0;\frac{2}{3};1,\left(3\right);5\frac{3}{7};271$. Liczbą wymierną nazywamy każdą liczbę, którą można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, czyli liczbę, którą można przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych, przy czym mianownik jest różny od zera. Liczby o rozwinięciu dziesiętnym skończonym lub okresowym są również wymierne. Pomiędzy dwiema dowolnymi liczbami całkowitymi znajduje się nieskończenie wiele liczb wymiernych. W życiu codziennym stosujemy je do wskazania części całości oraz aby wyrazić wielkość niecałkowitą. Przykłady przedstawiono na ilustracji. Liczbą wymierną jest jedna szósta pizzy, cena mleka w wysokości trzy pięćdziesiąt, składniki w przepisie jak na przykład pół kilograma mąki, ćwierć litra mleka, jedno jajko czy trzecia część kostki masła. Przejdźmy teraz zbioru liczb niewymiernych. Są to liczby, które dopełniają liczby wymierne z zbiorze liczb rzeczywistych. Nie można ich dokładnie wyrazić liczbami wymiernymi, ale można je nimi przybliżać z dowolnie dużą dokładnością. Liczby wymiernej nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego. Rozwinięcie liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Przykłady liczb niewymiernych to na przykład: $-\sqrt{3};\frac{\pi }{2};1,123456789101012...;lo{g}_{2}3;\frac{\sqrt{5}+1}{2};e$. Przejdźmy teraz do zbioru liczb rzeczywistych. Zbiór ten interpretujemy zwykle jako prostą z określonym zwrotem oraz z z liczbami w określonych odległościach od siebie. Tak skonstruowaną prostą nazywamy osią liczbową. Przyporządkowanie liczb rzeczywistych punktom na osi liczbowej jest wzajemne jednoznaczne, co oznacza, że każdemu punktowi na osi odpowiada dokładnie jedna liczba rzeczywista i każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden punkt na osi liczbowej. Przypomnijmy prawa działań na liczbach rzeczywistych. 1. Łączność dodawania. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi równość $\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$. Obliczając wartość sumy trzech lub większej liczby składników, możemy wykonywać dodawanie dowolnych dwóch sąsiadujących liczb bez konieczności wykonywania działań od lewej strony do prawej. 2. Przemienność dodawania. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodzi równość $a+b=b+a$. Przemienność dodawania oznacza, że możemy składniki zamieniać miejscami. 3. Element neutralny dodawania. Dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi równość $a+0=a$. Zero jest elementem neutralnym dodawania, ponieważ dodane do dowolnej liczby nie zmienia jej wartości. 4. Istnienie elementu przeciwnego. Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje liczba rzeczywista b, dla której zachodzi równość $a+b=0$. Każda liczba rzeczywista ma liczbę przeciwną, a ich suma równa jest zero. 5. Łączność mnożenia. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi równość $\left(a•b\right)•c=a•\left(b•c\right)$. Obliczając iloczyn trzech lub większej liczby czynników, możemy wykonywać mnożenie dowolnych dwóch sąsiadujących ze sobą liczb bez konieczności wykonywania działań od lewej do prawej strony. 6. Przemienność mnożenia. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi równość $a•b=b•a$. Przemienność mnożenia oznacza, że możemy zamieniać czynniki miejscami. 7. Element neutralny mnożenia. Dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi równość $a•1=a$. Jeden jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ pomnożenie dowolnej liczby przez jeden nie zmienia jej wartości. 8. Istnienie elementu odwrotnego. Dla każdej niezerowej liczby rzeczywistej a istnieje liczba b, dla której zachodzi równość $a•b=1$. 9. Rozdzielność mnożenia względem dodawania. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi równość: $a•\left(b+c\right)=a•b+a•c$. Jeśli pomnożymy sumę przez liczbę a, to otrzymana wartość będzie równa sumie iloczynów każdego ze składników sumy przez liczbę a.