$\frac{\left(1{\displaystyle \frac{16}{75}}+2{\displaystyle \frac{46}{100}}\right):11{\displaystyle \frac{2}{100}}}{{\displaystyle \frac{5}{3}}:\left[{\displaystyle \frac{17}{9}}:\left({\displaystyle \frac{2}{15}}+{\displaystyle \frac{15}{100}}\right)\right]}=\frac{\left(1{\displaystyle \frac{16}{75}}+2{\displaystyle \frac{23}{50}}\right):11{\displaystyle \frac{1}{50}}}{{\displaystyle \frac{5}{3}}:\left[{\displaystyle \frac{17}{9}}:\left({\displaystyle \frac{2}{15}}+{\displaystyle \frac{3}{20}}\right)\right]}=\frac{\left({\displaystyle \frac{91}{75}}+{\displaystyle \frac{123}{50}}\right):{\displaystyle \frac{551}{50}}}{{\displaystyle \frac{5}{3}}:\left[{\displaystyle \frac{17}{9}}:\left({\displaystyle \frac{8}{60}}+{\displaystyle \frac{9}{60}}\right)\right]}=\frac{\left({\displaystyle \frac{91}{75}}+{\displaystyle \frac{123}{50}}\right)·{\displaystyle \frac{50}{551}}}{{\displaystyle \frac{5}{3}}:\left[{\displaystyle \frac{17}{9}}:\left({\displaystyle \frac{17}{60}}\right)\right]}=$

$=\frac{{\displaystyle \frac{91}{75}·\frac{{\displaystyle 50}}{{\displaystyle 551}}+\frac{123}{50}·\frac{50}{551}}}{{\displaystyle \frac{5}{3}:\left[\frac{17}{9}·\frac{60}{17}\right]}}=\frac{{\displaystyle \frac{91}{3}·\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 551}}+\frac{123}{1}·\frac{1}{551}}}{{\displaystyle \frac{5}{3}:\left[\frac{1}{3}·\frac{20}{1}\right]}}=\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 182}}{{\displaystyle 1653}}+\frac{123}{551}}}{{\displaystyle \frac{5}{3}:\frac{20}{3}}}=\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 182}}{{\displaystyle 1653}}+\frac{369}{1653}}}{{\displaystyle \frac{5}{3}·\frac{3}{20}}}=\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 551}}{{\displaystyle 1653}}}}{{\displaystyle \frac{1}{1}·\frac{1}{4}}}=$

$=\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 551}}{{\displaystyle 3·551}}}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}·\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle 1}}=\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle 3}}$

Działanie $\ast$ będzie przemienne, gdy dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych $x$, $y$ spełniony będzie warunek

$x\ast y=y\ast x$

Zauważmy, że

$x\ast y=x+y+2$ oraz $y\ast x=y+x+2$.

Ponieważ dodawanie liczb rzeczywistych jest przemienne, więc

$x+y+2=y+x+2$.

Zatem dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ zachodzi równość

$x\ast y=y\ast x$,

co oznacza, że działanie $\ast$ jest przemienne.

Działanie $\ast$ będzie łączne, gdy dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$, $y$, $z$ spełniony będzie warunek

$\left(x\ast y\right)\ast z=x\ast\left(y\ast z\right)$

Zauważmy, że

$\left(x\ast y\right)\ast z=\left(x+y+2\right)\ast z=\left(x+y+2\right)+z+2=x+y+z+4$

oraz

$x\ast\left(y\ast z\right)=x\ast \left(y+z+2\right)=x+\left(y+z+2\right)+2=x+y+z+4$.

Ponieważ dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$, $y$, $z$ zachodzi równość

$\left(x\ast y\right)\ast z=x\ast \left(y\ast z\right)$,

więc działanie $\ast$ jest łączne.

Działanie $\#$ będzie przemienne, gdy dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych $x$, $y$ spełniony będzie warunek

$x \# y=y \# x$

Zauważmy, że

$x \# y=\frac{x+y}{3}$ oraz $y \# x=\frac{y+x}{3}$.

Ponieważ dodawanie liczb rzeczywistych jest przemienne, więc

$x+y=y+x$

Zatem dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ zachodzi równość $x \# y=y \# x$, co oznacza, że działanie $\#$ jest przemienne.

Działanie $\#$ będzie łączne, gdy dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$, $y$, $z$ spełniony będzie warunek

$\left(x \# y\right) \# z=x \# \left(y \# z\right)$

Zauważmy, że

$\left(x \# y\right) \# z=\left(\frac{x+y}{3}\right) \# z=\frac{\frac{x+y}{3}+z}{3}=\frac{\frac{x+y+3z}{3}}{3}=\frac{x+y+3z}{9}$

oraz

$x \# \left(y \# z\right)=x \# \left(\frac{y+z}{3}\right)=\frac{x+\frac{y+z}{3}}{3}=\frac{\frac{3x+y+z}{3}}{3}=\frac{3x+y+z}{9}$.

Wydaje się, że działanie $\#$ nie jest łączne.

Aby się o tym przekonać wskażemy trzy liczby rzeczywiste $x$, $y$, $z$, dla których wyrażenia $\left(x \# y\right) \# z$ oraz $x \# \left(y \# z\right)$ przyjmują różne wartości.

Niech

$x=1$, $y=2$, $z=3$.

Wówczas

$\left(1 \# 2\right) \# 3=\left(\frac{1+2}{3}\right) \# 3=1 \# 3=\frac{1+3}{3}=\frac{4}{3}$

zaś

$1 \# \left(2 \# 3\right)=1 \# \left(\frac{2+3}{3}\right)=1 \# \frac{5}{3}=\frac{1+\frac{5}{3}}{3}=\frac{\frac{8}{3}}{3}=\frac{8}{9}$

Ponieważ wyrażenia $\left(1 \# 2\right) \# 3$ oraz $1 \# \left(2 \# 3\right)$ mają różne wartości, działanie $\#$ nie jest łącze.