Przeczytaj
Doświadczenie losowe kilkuetapowe wygodnie jest zilustrować za pomocą drzewa doświadczenia losowego (drzewa stochastycznego). Możemy w ten sposób graficznie przedstawić przebieg i wyniki doświadczenia.
Rysunek rozpoczynamy od punktu, zwanego startem (korzeniami drzewa). Wyniki kolejnych etapów doświadczenia to węzły. Odcinki, które łączą dwa kolejne węzły to krawędzie. Każdy końcowy węzeł to wierzchołek drzewa (zatem drzewo może mieć kilka wierzchołków!). Kolejne krawędzie łączące początek drzewa z jednym z wierzchołków to gałąź drzewa. Każdej gałęzi odpowiada jeden wynik doświadczenia wieloetapowego.
Zbudujemy drzewo stochastyczne dla rzutu monetą.
Drzewo składa się z dwóch gałęzi, odpowiadających wynikom (orzeł), (reszka). Na każdej gałęzi zapisane jest prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia (czyli wyrzucenia orła bądź reszki).
Budujemy drzewo stochastyczne dla dwukrotnego rzutu monetą.
Aby obliczyć prawdopodobieństwo na przykład wyrzucenia za pierwszym razem reszki, a za drugim orła (na rysunku tą sytuację ilustruje gałąź pomarańczowa), mnożymy liczby zapisane przy pomarańczowych krawędziach.
W urnie znajdują się cztery kule fioletowe i sześć niebieskich. Wyciągamy losowo jedną kulę, zapisujemy jej kolor i z powrotem wrzucamy do urny. Następnie wyciągamy losowo drugą kulę. Obliczymy prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wyciągniemy kulę niebieską, a za drugim fioletową.
Zilustrujemy przebieg doświadczenia za pomocą drzewa.
Przy każdej krawędzi zapisaliśmy prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia. Zauważmy, że
,
czyli suma prawdopodobieństw zapisanych przy wierzchołkach krawędzi wychodzących z jednego korzenia jest równa .
Zdarzenie: za pierwszym razem wylosowaliśmy kulę niebieską, a za drugim fioletową, zilustrowane jest za pomocą dwóch krawędzi tej samej gałęzi. Prawdopodobieństwo zdarzenia obliczamy, mnożąc liczby zapisane przy krawędziach tej gałęzi.
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wyciągniemy kulę niebieską, a za drugim fioletową, jest równe .
Wiemy już, że prawdopodobieństwo zdarzenia jednoelementowego reprezentowanego przez daną gałąź jest równe iloczynowi prawdopodobieństw wypisanych obok krawędzi tej gałęzi. Ten sposób wyznaczania prawdopodobieństwa zdarzeń jednoelementowych w wieloetapowych doświadczeniach, nazywamy regułą mnożenia prawdopodobieństw dla drzewa stochastycznegoregułą mnożenia prawdopodobieństw dla drzewa stochastycznego.
Prawdopodobieństwo zdarzenia jednoelementowego reprezentowanego przez daną gałąź drzewa, jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom, z których składa się rozważana gałąź.
Jeżeli zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych wieloetapowego doświadczenia składa się z elementów, to liczba gałęzi drzewa sporządzonego dla tego doświadczenia jest równa ().
W urnie znajduje się (, ) kul pomarańczowych i kul zielonych. Losujemy dwie kule bez zwracania. Wiedząc, że prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul pomarańczowych jest równe , obliczymy ile jest wszystkich kul.
Tworzymy model graficzny doświadczenia.
Tym razem odpowiednie prawdopodobieństwa zapisaliśmy tylko przy interesujących nas krawędziach.
W urnie jest kul pomarańczowych. W etapie losujemy kulę pomarańczową spośród wszystkich kul znajdujących się w urnie.
Teraz w urnie jest już tylko kul, w tym pomarańczowych. W etapie losujemy więc kulę pomarańczową spośród kul.
Odczytujemy z drzewa, że prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul pomarańczowych jest równe
.
Na podstawie treści zadania zapisujemy równanie (patrz: reguła mnożenia prawdopodobieństw dla drzewa stochastycznegoreguła mnożenia prawdopodobieństw dla drzewa stochastycznego):
Przekształcamy zapisane równanie, otrzymując równanie kwadratowe.
Rozwiązujemy równanie.
– nie spełnia warunków zadania
Obliczamy ile jest wszystkich kul: .
Odpowiedź:
W urnie są kule.
Nie zawsze prawdopodobieństwo danego zdarzenia jest reprezentowane przez jedną gałąź. Korzystamy wtedy z reguły sum.
Prawdopodobieństwo zdarzenia opisanego przez kilka gałęzi drzewa jest równe sumie prawdopodobieństw otrzymanych zgodnie z regułą mnożenia dla tych gałęzi.
Rzucamy dwiema monetami. Jeżeli wpadnie co najmniej jeden orzeł – losujemy osobę z klasy . W przeciwnym wypadku losujemy osobę z klasy . W klasie jest ośmiu chłopców i są dwie dziewczyny, w klasie jest dwunastu chłopców i osiem dziewcząt. Obliczymy prawdopodobieństwo wylosowania chłopca.
Tworzymy model graficzny doświadczenia.
Zaznaczamy na niebiesko gałęzie, na których opisane jest interesujące nas zdarzenie. Żeby obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia – wylosowano chłopca, najpierw mnożymy liczby zapisane wzdłuż niebieskich krawędzi na każdej z gałęzi, a następnie dodajemy otrzymane liczby.
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo wylosowania chłopca jest równe .
W przypadku, gdy doświadczenie składa się z kilku etapów, na drzewie stochastycznym można zaznaczać tylko gałęzie obrazujące rozpatrywane doświadczenie.
Prawdopodobieństwo, że jutro będzie padał śnieg jest równe . W każdym innym dniu, jeśli pada śnieg, prawdopodobieństwo, że będzie padał śnieg następnego dnia jest równe . Jeśli śnieg nie pada prawdopodobieństwo, że śnieg będzie padać następnego dnia jest równe . Obliczymy prawdopodobieństwo, że śnieg będzie padać popojutrze.
Jeśli prawdopodobieństwo tego, że śnieg będzie padał następnego dnia, jest równe , czyli , to prawdopodobieństwo tego, że śnieg nie będzie padał jest równe .
Jeśli śnieg nie pada w danym dniu, prawdopodobieństwo, że śnieg będzie padać następnego dnia jest równe , to prawdopodobieństwo tego, że śnieg nie będzie padał jest równe .
Sporządzamy drzewo prawdopodobieństwa, na którym zaznaczymy tylko przydatne gałęzie.
Obliczając prawdopodobieństwo, skorzystamy z reguły sum.
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo tego, że popojutrze będzie padał śnieg jest równe .
Słownik
prawdopodobieństwo zdarzenia jednoelementowego reprezentowanego przez daną gałąź drzewa, jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom, z których składa się rozważana gałąź