Przeczytaj
Pierwszym krokiem znajdowania przybliżonej wartości danej liczby jest zapisanie jej w takiej postaci, żeby występowała we wzorze jakiejś znanej, nieskomplikowanej funkcji.
Jeżeli, na przykład, będziemy próbować szacować wartość liczby , możemy ją zapisać jako , używając funkcji , a gdy chcemy wyznaczyć przybliżoną wartość pierwiastka z , to możemy podobnie zapisać go jako . Dla wygody dalszego postępowania będziemy chcieli za każdym razem otrzymać równanie, w którym po prawej stronie będzie zero, więc w przypadku musieliśmy użyć funkcji kwadratowej, przesuniętej w dół.
Naszym głównym narzędziem będzie twierdzenie Darboux.
Niech będzie funkcją ciągłą, określoną na domkniętym przedziale . Załóżmy, że . Niech będzie mniejszą z liczb i , zaś większą z nich. Dla każdej wartości takiej, że , istnieje argument taki, że i .
Twierdzenie to mówi, że każda funkcja ciągła, określona na przedziale domkniętym, przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy wartościami na swoich brzegach, i taką cechę nazywamy własnością Darbouxwłasnością Darboux.
Dowiedzmy się teraz, jak go użyć do przybliżania wartości pewnych liczb.
Metoda bisekcji
Jak już ustaliliśmy wcześniej, będziemy próbować wyznaczać przybliżenie nieznanej liczby poprzez zapisanie jej w postaci , gdzie będzie pewną znaną funkcją ciągłą na przedziale domkniętym . Przedział musimy dobrać tak, aby wartości funkcji na jego brzegach miały różne znaki. Niestety, jeżeli są tych samych znaków, musimy poszukać innego przedziału – czasami warto narysować najpierw wykres funkcji , żeby wyznaczyć potrzebny przedział. Załóżmy, że mamy taki przedział, w którym znaki wartości funkcji w punktach i są różne. Zdefiniujmy, jak w twierdzeniu Darboux, liczbę jako mniejszą z wartości i , a jako większą z nich. Ponieważ wiemy, że znaki wartości i są różne, wiemy teraz, że jest liczbą ujemną, a liczbą dodatnią. Jeżeli jako wartość przyjmiemy zero, widzimy, że jest to na pewno wartość pomiędzy i , więc używając twierdzenia Darboux zdobywamy pewność, że istnieje argument pomiędzy i taki, że .
Pokazaliśmy, że na pewno istnieje rozwiązanie naszego równania pomiędzy i , teraz spróbujmy przybliżyć jego wartość.
Utworzymy ciąg kolejnych przybliżeń wartości . Na początek przyjmijmy, że pierwszym naszym przybliżeniem będzie środek przedziału , czyli
Jeżeli , to znaczy, że znaleźliśmy dokładną wartość liczby i możemy zakończyć nasze poszukiwania.
Zazwyczaj jednak tak nie będzie i będzie albo dodatnie, albo ujemne. Popatrzmy teraz na znaki wartości funkcji na brzegach, jedna jest dodatnia, druga ujemna. Tym samym w każdej sytuacji albo wartość jest takiego samego znaku, jak wartość , a wartość jest innego znaku, albo na odwrót.
Możemy zatem zawęzić nasz obszar poszukiwań liczby do połowy poprzedniego przedziału, wybierając jedną z połówek: lub tak, by znaki wartości funkcji na brzegach nowego, krótszego o połowę przedziału, były różne.
Oznaczmy odpowiednio brzegi nowego przedziału przez i , to znaczy
oraz
Możemy teraz rozpatrzyć tę samą funkcję , co wcześniej, ale na dwukrotnie węższym przedziale, .
Jesteśmy pewni, że znaki wartości funkcji na brzegach są różne, więc ponownie dzięki twierdzeniu Darboux możemy być pewni, że w tym przedziale zawiera się rozwiązanie równania .
Wybierzmy następnie drugie przybliżenie naszej wartości, , ponownie jako środek przedziału .
Tę procedurę możemy kontynuować, za każdym razem skracając dwukrotnie długość przeszukiwanego przedziału, tworząc ciąg przybliżeń , , , oraz ciągi lewych i prawych krańców rozpatrywanych przedziałów, , , , oraz , , , odpowiednio.
W ten sposób poznaliśmy metodę bisekcji (czyli połowienia) poszukiwania kolejnych przybliżeń nieznanych wartości zerowych funkcji.
Użyjemy metody bisekcji do znalezienia przybliżenia liczby .
Rozwiązanie
Zapiszmy tę wartość jako miejsce zerowe funkcji .
Wybierzmy końce rozważanego przedziału: i , i sprawdźmy założenia twierdzenia Darboux:
funkcja jest ciągła na przedziale ;
wartości na końcach mają różne znaki: , .
Zatem pomiędzy a znajduje się poszukiwana wartość.
Pierwszym przybliżeniem będzie środek przedziału, .
Zauważmy, że: , więc ; oraz , .
Drugim przybliżeniem będzie środek obecnie rozważanego przedziału, czyli . Wartość funkcji dla tego argumentu jest ujemna: , więc i . Sprawdźmy znaki na brzegu, , .
Trzecim przybliżeniem będzie środek aktualnie wybranego przedziału, czyli liczba . Wartość funkcji dla tego argumentu wynosi , czyli jest dodatnia. Zatem i .
Proces moglibyśmy kontynuować, ale już po dwóch krokach z wartości pierwszego przybliżenia, równego , wyznaczonego z błędem , otrzymaliśmy wartość trzeciego przybliżenia równą , czyli wyznaczoną z czterokrotnie mniejszym błędem . Im więcej wykonamy kroków, tym otrzymamy lepsze przybliżenie.
Proces ten możemy również obejrzeć, używając poniższego apletu.
Proces ten możemy również zaobserwować w poniższym aplecie.
Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do trzech oraz z pionową osią Y od minus jeden do dwóch. W aplecie przedstawiono pięć przypadków.
Przypadek pierwszy:
Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowano ukośną prostą określoną wzorem . Na prostej wyróżniono trzy zamalowane punkty: będący początkiem odcinka, oraz będący końcem odcinka. Na osi X zaznaczono punkty: , , oraz , pod układem znajdują się zapisy , , , a oraz .
W przypadku drugim na płaszczyźnie również narysowano przerywaną ukośną prostą określoną wzorem . Na prostej wyróżniono trzy punkty: będący początkiem odcinka, oraz będący końcem odcinka. Na osi X zaznaczono punkty: , , oraz , pod układem znajdują się zapisy , , , a oraz .
Przypadek trzeci:
Na płaszczyźnie narysowano przerywaną ukośną prostą określoną wzorem . Na prostej wyróżniono trzy punkty będący początkiem odcinka, oraz będący końcem odcinka. Na osi X zaznaczono punkty: , , oraz , pod układem znajdują się zapisy , , , a oraz .
W przypadku czwartym na płaszczyźnie narysowano przerywaną ukośną prostą określoną wzorem . Na prostej wyróżniono trzy punkty będący początkiem odcinka, oraz będący końcem odcinka. Na osi X zaznaczono punkty: , , oraz , pod układem znajdują się zapisy , , , a oraz .
W ostatnim piątym przypadku na płaszczyźnie narysowano przerywaną ukośną prostą określoną wzorem . Na prostej wyróżniono trzy punkty będący początkiem odcinka, oraz będący końcem odcinka. Na osi X zaznaczono punkty: , , oraz , pod układem znajdują się zapisy , , , a oraz .
Użyjemy metody bisekcji do znalezienia przybliżeń wartości pierwiastka .
Rozwiązanie
Zdefiniujmy funkcję .
Funkcja ta jest funkcją ciągłą dla każdej liczby rzeczywistej.
Przyjmijmy, że i . Zauważmy, że i .
Obliczenia przedstawimy w skróconej postaci, za każdym razem sprawdzając, czy spełnione są założenia twierdzenia Darboux o różnych znakach wartości funkcji na krańcach nowych przedziałów.
Pierwsze przybliżenie: , wartość funkcji , wybieramy „prawą część przedziału pierwszego”.
Drugi przedział: , oraz , .
Drugie przybliżenie: , wartość funkcji , wybieramy „prawą część przedziału drugiego”.
Trzeci przedział: , oraz , .
Trzecie przybliżenie: .
Po trzech krokach otrzymaliśmy przybliżenie wartości pierwiastka z , , które niewiele różni się od rzeczywistej wartości,
Użyjemy metody bisekcji do wyznaczania ciągu przybliżeń wartości liczby .
Rozwiązanie
Zdefiniujemy funkcję i przedział początkowy dla i .
Funkcja jest ciągła w całej swojej dziedzinie.
Obliczenie ponownie przedstawimy w skróconej postaci, sprawdzając za każdym razem znaki wartości funkcji na krańcach otrzymanych przedziałów.
Pierwszy przedział: , oraz , .
Pierwsze przybliżenie: , wartość funkcji , wybieramy lewy przedział.
Drugi przedział: , , wartość funkcji , .
Drugie przybliżenie: oraz , wybieramy „lewy przedział”.
Trzeci przedział: , oraz , .
Trzecie przybliżenie: .
Po trzech krokach otrzymaliśmy przybliżenie liczby postaci , które niewiele różni się od rzeczywistej wartości,
Słownik
funkcja posiada własność Darboux, jeżeli przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy wartościami na krańcach swojego przedziału określoności